Initiation à la pensée algébrique en sixième

Un nombre inconnu se retrouve par le calcul, par un schéma ou par une règle qui se répète.

« Pense à un nombre, ajoute $3$, multiplie par $2$, enlève $6$. » Quel que soit le nombre de départ, on retombe sur son double.

$$ (n + 3) \times 2 - 6 = 2n $$

Ce n'est pas un hasard : la lettre montre pourquoi.

Une lettre garde la place d'un nombre inconnu : elle dit d'un coup ce qui vaut pour tous.

Un nombre inconnu se désigne par des mots, un schéma ou un point d'interrogation.

Un nombre inconnu

Un nombre inconnu est un nombre que l'on ne connaît pas, mais sur lequel l'énoncé donne des informations pour le retrouver.

Dans une égalité à trou, on cherche le nombre qui rend l'égalité vraie, avec l'opération inverse.

Exemple :

$$ 27 + \ ? \ = 41 $$

On retrouve le nombre manquant en soustrayant :

$$ ? \ = 41 - 27 = 14 $$

On vérifie en remplaçant le nombre trouvé dans l'égalité.

On peut dessiner la situation : un schéma en barres montre ce qui est connu et ce qui est cherché.

Exemple : Léa et Tom ont $30$ billes à eux deux. Léa en a $6$ de plus que Tom.

La part de Tom est une barre, celle de Léa la même barre suivie de $6$ billes :

en retirant les $6$ billes du total, il reste deux barres identiques :

$$ 30 - 6 = 24 $$
chaque barre vaut :

$$ 24 \div 2 = 12 $$

$$ \text{Tom : } 12 \text{ billes} \hspace{2em} \text{Léa : } 18 \text{ billes} $$

On vérifie : $12 + 18 = 30$ et $18 - 12 = 6$.

C'est une suite de nombres ou de figures construite en répétant toujours la même règle.

Pour poursuivre un motif, on cherche comment on passe d'un terme au suivant.

Exemple : quelle est la règle de cette suite de nombres ?

$$ 7 \ ; \ 15 \ ; \ 31 \ ; \ 63 \ ; \ 127 $$

On teste le passage d'un terme au suivant :

$$ 7 \times 2 + 1 = 15 \hspace{2em} 15 \times 2 + 1 = 31 \hspace{2em} 31 \times 2 + 1 = 63 $$

La règle est : multiplier par 2, puis ajouter 1. Le terme suivant est :

$$ 127 \times 2 + 1 = 255 $$

Une règle doit fonctionner pour tous les termes connus.

Pour un motif de figures, on compte les éléments de chaque étape, puis on cherche le lien avec le numéro de l'étape.

Numéro de l'étape	$$1$$	$$2$$	$$3$$	$$4$$
Nombre de carreaux	$$4$$	$$7$$	$$10$$	$$13$$

D'une étape à la suivante, on ajoute 3 carreaux. D'où la règle :

« On multiplie le numéro de l'étape par $3$, puis on ajoute $1$. »

Vérification : $4 \times 3 + 1 = 13$. Elle prévoit l'étape $10$ sans dessiner la figure :

$$ 10 \times 3 + 1 = 31 \text{ carreaux} $$