Initiation à la pensée algébrique

Dans ce chapitre, on cherche des nombres que l'on ne connaît pas encore. On les désigne par des mots, un schéma ou un point d'interrogation : les lettres seront introduites plus tard, au collège.

Un nombre inconnu

Un nombre inconnu est un nombre que l'on ne connaît pas, mais sur lequel l'énoncé donne des informations . Ces informations permettent de le retrouver.

Trouver le nombre manquant

Dans une égalité à trou, on cherche le nombre qui rend l'égalité vraie . Pour le trouver, on utilise l'opération inverse .

Opération	Opération inverse
Addition	Soustraction
Soustraction	Addition
Multiplication	Division
Division	Multiplication

Exemple :

$$ 27 + \ ? \ = 41 $$

On retrouve le nombre manquant en soustrayant :

$$ ? \ = 41 - 27 = 14 $$

On vérifie toujours en remplaçant le nombre trouvé dans l'égalité de départ.

Représenter un problème par un schéma

Avant de calculer, il est utile de dessiner la situation. Un schéma en barres montre d'un coup d'œil ce qui est connu et ce qui est cherché.

Exemple : Léa et Tom ont $30$ billes à eux deux. Léa en a $6$ de plus que Tom.

On représente la part de Tom par une barre, et celle de Léa par la même barre suivie de $6$ billes :

en retirant les $6$ billes du total, il reste deux barres identiques :

$$ 30 - 6 = 24 $$
chaque barre vaut donc :

$$ 24 \div 2 = 12 $$

$$ \text{Tom : } 12 \text{ billes} \qquad \text{Léa : } 18 \text{ billes} $$

On vérifie : $12 + 18 = 30$ et $18 - 12 = 6$.

Les motifs évolutifs

Un motif évolutif

C'est une suite de nombres ou de figures construite en répétant toujours la même règle .

Pour poursuivre un motif, on cherche comment on passe d'un terme au suivant.

Exemple : quelle est la règle de cette suite de nombres ?

$$ 7 \ ; \ 15 \ ; \ 31 \ ; \ 63 \ ; \ 127 $$

On teste le passage d'un terme au suivant :

$$ 7 \times 2 + 1 = 15 \qquad 15 \times 2 + 1 = 31 \qquad 31 \times 2 + 1 = 63 $$

La règle est donc : multiplier par 2, puis ajouter 1 . Le terme suivant est :

$$ 127 \times 2 + 1 = 255 $$

Une règle n'est valable que si elle fonctionne pour tous les termes déjà connus, et pas seulement pour le premier.

Décrire une règle avec des mots

Un motif de figures se décrit de la même façon. On compte les éléments de chaque étape, puis on cherche le lien avec le numéro de l'étape.

Numéro de l'étape	$$1$$	$$2$$	$$3$$	$$4$$
Nombre de carreaux	$$4$$	$$7$$	$$10$$	$$13$$

D'une étape à la suivante, on ajoute 3 carreaux . On peut alors décrire la règle en une phrase :

« On multiplie le numéro de l'étape par $3$, puis on ajoute $1$. »

On la vérifie sur l'étape $4$ : $4 \times 3 + 1 = 13$. Elle permet de prévoir l'étape $10$ sans dessiner la figure :

$$ 10 \times 3 + 1 = 31 \text{ carreaux} $$