Problèmes sur la pensée algébrique

Le nombre mystère

1. Je pense à un nombre, je lui ajoute \(17\) et j'obtiens \(45\). Quel est ce nombre ?

   On fait l'opération inverse de l'addition :

   $$ 45 - 17 = 28 $$

   $$ 28 $$

   Vérification : \(28 + 17 = 45\).

2. Je pense à un nombre, je le multiplie par \(6\) et j'obtiens \(84\). Quel est ce nombre ?

   On fait l'opération inverse de la multiplication :

   $$ 84 \div 6 = 14 $$

   $$ 14 $$

   Vérification : \(14 \times 6 = 84\).

Les billes d'Ilan et Maya

Ilan et Maya possèdent \(46\) billes à eux deux. Ilan en a \(8\) de plus que Maya.

1. Représenter la situation par un schéma en barres.

   On dessine une barre pour Maya, et pour Ilan la même barre suivie de \(8\) billes. Les deux barres mises bout à bout, plus les \(8\) billes, valent \(46\).

2. En déduire le nombre de billes de chacun.

   En retirant les \(8\) billes du total, il reste deux barres identiques :

   $$ 46 - 8 = 38 $$

   Chaque barre vaut donc :

   $$ 38 \div 2 = 19 $$

   $$ \text{Maya : } 19 \text{ billes} \qquad \text{Ilan : } 27 \text{ billes} $$

   Vérification : \(19 + 27 = 46\) et \(27 - 19 = 8\).

Le motif de carreaux

On construit une frise. À chaque étape, on compte le nombre de carreaux utilisés :

1. Combien de carreaux ajoute-t-on d'une étape à la suivante ?
   $$ 9 - 5 = 4 \qquad 13 - 9 = 4 \qquad 17 - 13 = 4 $$

   $$ 4 \text{ carreaux} $$
2. Décrire avec une phrase comment obtenir le nombre de carreaux à partir du numéro de l'étape.

   « On multiplie le numéro de l'étape par \(4\), puis on ajoute \(1\). »

   On la vérifie sur l'étape \(3\) : \(3 \times 4 + 1 = 13\).

3. Combien de carreaux faudra-t-il à l'étape \(10\) ? Et à l'étape \(50\) ?
   $$ 10 \times 4 + 1 = 41 \qquad \text{et} \qquad 50 \times 4 + 1 = 201 $$

   $$ 41 \text{ carreaux} \qquad \text{puis} \qquad 201 \text{ carreaux} $$

   La règle évite d'avoir à dessiner la frise.

Le programme de calcul

Voici un programme de calcul :

• choisir un nombre ;

• le multiplier par \(3\) ;

• ajouter \(7\) au résultat.

1. Quel résultat obtient-on en choisissant \(9\) ?
   $$ 9 \times 3 = 27 \qquad \text{puis} \qquad 27 + 7 = 34 $$

   $$ 34 $$
2. Léa obtient \(52\). Quel nombre a-t-elle choisi ?

   On remonte le programme à l'envers, en inversant chaque opération et en commençant par la dernière :

   $$ 52 - 7 = 45 \qquad \text{puis} \qquad 45 \div 3 = 15 $$

   $$ 15 $$

   Vérification : \(15 \times 3 + 7 = 52\).

3. Peut-on obtenir \(20\) en choisissant un nombre entier ? Justifier.

   On remonte le programme à l'envers :

   $$ 20 - 7 = 13 $$

   Il faudrait ensuite diviser \(13\) par \(3\). Or la division euclidienne donne :

   $$ 13 = 3 \times 4 + 1 $$

   Le reste n'est pas nul, donc \(13\) n'est pas un multiple de \(3\) .

   $$ \text{Non, c'est impossible} $$