Problèmes sur la pensée algébrique en sixième

Un nombre mystère, un motif qui se répète : on cherche la règle avant de chercher le nombre.

Trouver un nombre manquant dans une égalité
Décrire la règle d'un motif et la poursuivre
Traduire un programme de calcul
Résoudre un problème à l'aide d'un schéma en barres

Dans ces problèmes, on cherche des nombres inconnus. On peut s'aider d'un schéma, d'un tableau ou d'un raisonnement écrit avec des mots : il n'est pas nécessaire d'utiliser des lettres.

Le nombre mystère

Je pense à un nombre, je lui ajoute $17$ et j'obtiens $45$. Quel est ce nombre ?

On fait l'opération inverse de l'addition :

$$ 45 - 17 = 28 $$

$$ 28 $$

Vérification : $28 + 17 = 45$.
Je pense à un nombre, je le multiplie par $6$ et j'obtiens $84$. Quel est ce nombre ?

On fait l'opération inverse de la multiplication :

$$ 84 \div 6 = 14 $$

$$ 14 $$

Vérification : $14 \times 6 = 84$.

Les billes d'Ilan et Maya

Ilan et Maya possèdent $46$ billes à eux deux. Ilan en a $8$ de plus que Maya.

Représenter la situation par un schéma en barres.

le schéma en barres se dessine ici

On dessine une barre pour Maya, et pour Ilan la même barre suivie de $8$ billes. Les deux barres, plus les $8$ billes, valent $46$ :
En déduire le nombre de billes de chacun.

En retirant les $8$ billes du total, il reste deux barres identiques :

$$ 46 - 8 = 38 $$

Chaque barre vaut donc :

$$ 38 \div 2 = 19 $$

$$ \text{Maya : } 19 \text{ billes} \hspace{2em} \text{Ilan : } 27 \text{ billes} $$

Vérification : $19 + 27 = 46$ et $27 - 19 = 8$.

Le motif de carreaux

On construit une frise. À chaque étape, on compte le nombre de carreaux utilisés :

Numéro de l'étape	$$1$$	$$2$$	$$3$$	$$4$$
Nombre de carreaux	$$5$$	$$9$$	$$13$$	$$17$$

Combien de carreaux ajoute-t-on d'une étape à la suivante ?

$$ 9 - 5 = 4 \hspace{2em} 13 - 9 = 4 \hspace{2em} 17 - 13 = 4 $$

$$ 4 \text{ carreaux} $$
Décrire avec une phrase comment obtenir le nombre de carreaux à partir du numéro de l'étape.

« On multiplie le numéro de l'étape par $4$, puis on ajoute $1$. »

On la vérifie sur l'étape $3$ : $3 \times 4 + 1 = 13$.
Combien de carreaux faudra-t-il à l'étape $10$ ? Et à l'étape $50$ ?

$$ 10 \times 4 + 1 = 41 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 50 \times 4 + 1 = 201 $$

$$ 41 \text{ carreaux} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 201 \text{ carreaux} $$

La règle évite d'avoir à dessiner la frise.

Le programme de calcul

Voici un programme de calcul :

choisir un nombre ;
le multiplier par $3$ ;
ajouter $7$ au résultat.

Quel résultat obtient-on en choisissant $9$ ?

$$ 9 \times 3 = 27 \hspace{2em} \text{puis} \hspace{2em} 27 + 7 = 34 $$

$$ 34 $$
Avec ce même programme, Léa obtient $52$. Quel nombre a-t-elle choisi ?

On remonte le programme à l'envers, en inversant chaque opération et en commençant par la dernière :

$$ 52 - 7 = 45 \hspace{2em} \text{puis} \hspace{2em} 45 \div 3 = 15 $$

$$ 15 $$

Vérification : $15 \times 3 + 7 = 52$.
Peut-on obtenir $20$ en choisissant un nombre entier ? Justifier.

On remonte le programme à l'envers :

$$ 20 - 7 = 13 $$

Il faudrait ensuite diviser $13$ par $3$. Or la division euclidienne donne :

$$ 13 = 3 \times 4 + 1 $$

Le reste n'est pas nul, donc $13$ n'est pas un multiple de $3$.

$$ \text{Non, c'est impossible} $$

La rangée de triangles

Avec des allumettes, on construit une rangée de triangles. Voici les trois premières étapes :

Jade et Noé cherchent une règle qui donne le nombre d'allumettes à partir du numéro de l'étape.

Jade propose : « On multiplie le numéro de l'étape par $3$. »
Noé propose : « On multiplie le numéro de l'étape par $2$, puis on ajoute $1$. »

Compter les allumettes de chacune des trois étapes, puis dire qui a raison.

Les trois étapes comptent $3$, $5$ puis $7$ allumettes. On teste chaque règle sur toutes les étapes :

$$ \text{Jade} : \ 1 \times 3 = 3 \hspace{2em} 2 \times 3 = 6 \hspace{2em} 3 \times 3 = 9 $$

$$ \text{Noé} : \ 1 \times 2 + 1 = 3 \hspace{2em} 2 \times 2 + 1 = 5 \hspace{2em} 3 \times 2 + 1 = 7 $$

$$ \text{Noé a raison} $$

La règle de Jade ne marche que pour l'étape $1$ : une règle doit fonctionner pour toutes les étapes connues.
Une étape de cette même rangée utilise $41$ allumettes. Retrouver son numéro.

On remonte la règle de Noé à l'envers, en commençant par la dernière opération :

$$ 41 - 1 = 40 \hspace{2em} \text{puis} \hspace{2em} 40 \div 2 = 20 $$

$$ \text{l'étape } 20 $$

Vérification : $20 \times 2 + 1 = 41$.
Chloé a une boîte de $50$ allumettes. Jusqu'à quelle étape de cette rangée peut-elle aller ? Combien d'allumettes lui restera-t-il ?

Une allumette sert au départ, les autres vont par deux :

$$ 50 - 1 = 49 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 49 = 2 \times 24 + 1 $$

L'étape $24$ utilise $24 \times 2 + 1 = 49$ allumettes, et l'étape $25$ en demanderait $51$ : c'est trop.

$$ \text{l'étape } 24 \text{, et il reste } 1 \text{ allumette} $$

Melons et ananas

Au marché, $3$ melons et $2$ ananas coûtent $13 \ \text{€}$ en tout. Un melon coûte $1 \ \text{€}$ de plus qu'un ananas.

Représenter ces achats par un schéma en barres, en dessinant chaque melon comme un ananas suivi de $1 \ \text{€}$.

le schéma en barres se dessine ici

Chaque melon est une barre d'ananas suivie de $1 \ \text{€}$ ; le tout vaut $13 \ \text{€}$ :
En déduire le prix d'un ananas, puis celui d'un melon.

En retirant les trois euros des melons, il reste cinq barres identiques :

$$ 13 - 3 = 10 $$

Chaque barre vaut donc :

$$ 10 \div 5 = 2 $$

$$ \text{ananas} : 2 \ \text{€} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \text{melon} : 3 \ \text{€} $$

Vérification : $3 \times 3 + 2 \times 2 = 9 + 4 = 13$.
Léna a $20 \ \text{€}$. Peut-elle acheter $4$ melons et $3$ ananas ? Justifier.

$$ 4 \times 3 + 3 \times 2 = 12 + 6 = 18 $$

Les achats coûtent $18 \ \text{€}$, moins que $20 \ \text{€}$ :

$$ \text{Oui, et il lui reste } 20 - 18 = 2 \ \text{€} $$

Les escaliers de cubes

Avec des cubes identiques, Lina construit des escaliers. Voici, vus de face, les quatre premiers :

Combien de cubes faut-il pour l'escalier de l'étape $5$ ? Et pour celui de l'étape $10$ ?

D'une étape à la suivante, on ajoute une colonne aussi haute que le numéro de la nouvelle étape. L'étape $4$ compte $1 + 2 + 3 + 4 = 10$ cubes, donc :

$$ \text{étape } 5 : \ 10 + 5 = 15 $$

$$ \text{étape } 10 : \ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 $$

$$ 15 \text{ cubes} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 55 \text{ cubes} $$
Lina pose deux escaliers de l'étape $4$ l'un contre l'autre, en retournant le second : ils forment un rectangle. Décrire avec une phrase comment obtenir le nombre de cubes d'un escalier à partir du numéro de son étape, puis calculer le nombre de cubes de l'étape $100$.

Le rectangle compte $4$ colonnes de $5$ cubes, soit $4 \times 5 = 20$ cubes, et chaque escalier en est la moitié : $20 \div 2 = 10$ cubes, comme l'étape $4$. Pour n'importe quelle étape, le rectangle a autant de colonnes que le numéro de l'étape, et chaque colonne un cube de plus :

« On multiplie le numéro de l'étape par le nombre qui le suit, puis on divise par $2$. »

Pour l'étape $100$, le rectangle compte $100$ colonnes de $101$ cubes :

$$ 100 \times 101 = 10 \ 100 \hspace{2em} \text{puis} \hspace{2em} 10 \ 100 \div 2 = 5 \ 050 $$

$$ 5 \ 050 \text{ cubes} $$

Vérification de la règle sur l'étape $10$ : $10 \times 11 \div 2 = 55$, comme à la question précédente.
Lina affirme : « L'escalier de l'étape $50$ demande deux fois plus de cubes que celui de l'étape $25$. » A-t-elle raison ? Justifier, puis expliquer la réponse à l'aide des rectangles.

$$ \text{étape } 25 : \ 25 \times 26 \div 2 = 325 $$

$$ \text{étape } 50 : \ 50 \times 51 \div 2 = 1 \ 275 $$

Deux fois $325$ font $650$, bien moins que $1 \ 275$. Quatre fois $325$ font $1 \ 300$, à peine plus :

$$ \text{Non, il en faut presque quatre fois plus} $$

De l'étape $25$ à l'étape $50$, le rectangle devient deux fois plus large, $50$ colonnes au lieu de $25$, et presque deux fois plus haut, $51$ cubes par colonne au lieu de $26$. Son nombre de cubes est donc presque multiplié par $2 \times 2 = 4$, et celui de l'escalier aussi.

Les pesées du vétérinaire

Chez le vétérinaire, on pèse un chat, un chien et un lapin, deux par deux :

Dire qui est le plus lourd, du chat ou du lapin, et de combien, puis expliquer comment on le sait sans connaître la masse d'aucun animal.

Les deux premières pesées contiennent toutes les deux le chien. Celle avec le chat pèse plus que celle avec le lapin, de :

$$ 16 - 14 = 2 $$

$$ \text{Le chat pèse } 2 \ \text{kg} \text{ de plus que le lapin} $$
Calculer la masse de ces trois animaux réunis.

Dans les trois pesées mises ensemble, chaque animal figure deux fois : c'est comme si l'on avait pesé deux chats, deux chiens et deux lapins.

$$ 16 + 14 + 6 = 36 $$

Les trois animaux réunis pèsent la moitié de cette masse :

$$ 36 \div 2 $$

$$ 18 \ \text{kg} $$
En déduire la masse de chacun de ces trois animaux.

On retire des $18 \ \text{kg}$ la pesée où l'animal cherché n'est pas :

$$ \text{lapin} : \ 18 - 16 = 2 \hspace{2em} \text{chat} : \ 18 - 14 = 4 \hspace{2em} \text{chien} : \ 18 - 6 = 12 $$

$$ \text{chat} : 4 \ \text{kg} \hspace{2em} \text{chien} : 12 \ \text{kg} \hspace{2em} \text{lapin} : 2 \ \text{kg} $$

Vérification : $4 + 12 = 16$ ; $12 + 2 = 14$ ; $4 + 2 = 6$. Le chat pèse bien $2 \ \text{kg}$ de plus que le lapin.
On change d'objets : un stagiaire pèse deux par deux un sac de croquettes, un sac de litière et un sac de graines. Il note « croquettes et litière : $16 \ \text{kg}$ », « litière et graines : $14 \ \text{kg}$ » et « croquettes et graines : $31 \ \text{kg}$ ». Prouver qu'il s'est trompé.

Le sac de croquettes pèse moins de $16 \ \text{kg}$, puisqu'avec la litière il n'atteint que $16 \ \text{kg}$. De même, le sac de graines pèse moins de $14 \ \text{kg}$. Ensemble, ces deux sacs pèsent donc moins de :

$$ 16 + 14 = 30 $$

Or le stagiaire a noté $31 \ \text{kg}$ pour ces deux sacs, plus que $30 \ \text{kg}$ :

$$ \text{Les trois pesées ne peuvent pas être justes à la fois} $$

La masse totale le montre aussi : les trois sacs réunis pèseraient $(16 + 14 + 31) \div 2 = 30.5 \ \text{kg}$, moins que les seuls sacs de croquettes et de graines.