Problèmes sur l'organisation de données

L'enquête de la classe

On a demandé à chaque élève d'une classe quel sport il pratiquait. Voici les résultats :

1. Quel est l'effectif total de la classe ?
   $$ 9 + 6 + 4 + 6 $$

   $$ 25 \text{ élèves} $$
2. Quel sport est le plus pratiqué ? Y a-t-il une égalité entre deux sports ?

   Le football arrive en tête avec \(9\) élèves. La natation et la danse sont à égalité avec \(6\) élèves chacune.

3. Combien d'élèves ne pratiquent pas le football ?
   $$ 25 - 9 $$

   $$ 16 \text{ élèves} $$
4. Quelle fraction de la classe pratique la natation ?

   \(6\) élèves sur les \(25\) de la classe pratiquent la natation :

   $$ \frac{6}{25} $$

Le club de sport

Un club répartit ses adhérents selon leur niveau. Certaines cases du tableau ont été effacées.

1. Compléter toutes les cases manquantes.

   Total des filles :

   $$ 12 + 8 = 20 $$

   Garçons confirmés, en partant du total de la ligne :

   $$ 25 - 15 = 10 $$

   Totaux des colonnes :

   $$ 12 + 15 = 27 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 8 + 10 = 18 $$

   Effectif total, en bas à droite :

   $$ 20 + 25 = 45 $$

   	Débutants	Confirmés	Total
   Filles	\(12\)	\(8\)	\(20\)
   Garçons	\(15\)	\(10\)	\(25\)
   Total	\(27\)	\(18\)	\(45\)

2. Vérifier l'effectif total de deux façons différentes.

   Par la dernière ligne, puis par la dernière colonne :

   $$ 27 + 18 = 45 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 20 + 25 = 45 $$

   Les deux lectures concordent : le tableau est cohérent.

3. Combien d'adhérents de ce club sont des garçons débutants ? Et combien sont des filles ou des débutants ?

   Garçons et débutants : c'est une seule case du tableau.

   $$ 15 \text{ adhérents} $$

   Filles ou débutants : on prend toutes les filles, puis on ajoute les débutants qui ne sont pas des filles, c'est-à-dire les garçons débutants.

   $$ 20 + 15 $$

   $$ 35 \text{ adhérents} $$

   Il ne faut pas additionner \(20\) et \(27\) : les filles débutantes seraient comptées deux fois.

Préparer une enquête

Une classe veut savoir combien de temps les élèves du collège passent devant un écran chaque jour.

1. Quelle est la population étudiée ? Quel est le caractère observé ?

   La population est l'ensemble des élèves du collège. Le caractère observé est la durée quotidienne passée devant un écran.

2. Les élèves n'interrogent finalement que leur propre classe. Peuvent-ils annoncer un résultat valable pour tout le collège ? Justifier.

   Non : ils n'ont interrogé qu'une partie de la population, et rien ne garantit que leur classe ressemble aux autres. Le résultat ne vaut que pour la classe interrogée.

3. La question « Passes-tu beaucoup de temps devant un écran ? » convient-elle ? Proposer une meilleure formulation.

   Le mot « beaucoup » ne veut pas dire la même chose pour tout le monde : les réponses ne seraient pas comparables. Il faut une question dont la réponse est mesurable.

   « Combien de minutes as-tu passées devant un écran hier ? »

Le tableau de Jules

On a demandé aux \(20\) élèves d'un groupe combien ils ont de frères et sœurs. Voici le relevé des réponses :

Jules a rangé ce relevé dans un tableau d'effectifs :

1. Sans recompter le relevé, montrer que le tableau de Jules contient une erreur.

   L'effectif total doit être la taille du groupe, \(20\) élèves. Or le tableau de Jules donne :

   $$ 4 + 9 + 5 + 2 + 1 = 21 $$

   $$ 21 \neq 20 $$

   Un élève a été compté deux fois, ou une réponse a été mal lue.

2. Recompter le relevé pour trouver la case fausse, puis corriger le tableau.

   En barrant chaque réponse au fur et à mesure, on trouve \(4\) fois la valeur \(0\), \(8\) fois la valeur \(1\), \(5\) fois la valeur \(2\), \(2\) fois la valeur \(3\) et \(1\) fois la valeur \(4\). Jules s'est trompé sur la valeur \(1\) :

   $$ 8 \text{ élèves ont un frère ou une sœur, et non } 9 $$

   Nombre de frères et sœurs	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	Total
   Effectif	\(4\)	\(8\)	\(5\)	\(2\)	\(1\)	\(20\)

3. À l'aide du tableau corrigé, calculer le nombre d'élèves de ce groupe qui ont au moins deux frères et sœurs.

   « Au moins deux », c'est \(2\), \(3\) ou \(4\) frères et sœurs :

   $$ 5 + 2 + 1 $$

   $$ 8 \text{ élèves} $$

Les prêts du CDI

Le diagramme en barres ci-dessous donne le nombre de livres empruntés au CDI du collège, chaque mois, de septembre à janvier.

1. Lire le nombre de livres empruntés en novembre.

   Le haut de la barre de novembre est à mi-chemin entre les graduations \(40\) et \(50\) :

   $$ 45 \text{ livres} $$
2. Calculer le nombre total de livres empruntés sur ces cinq mois.
   $$ 35 + 50 + 45 + 25 + 55 $$

   $$ 210 \text{ livres} $$
3. La documentaliste affirme : « En janvier, on a emprunté deux fois plus de livres qu'en décembre. » A-t-elle raison ? Justifier.

   En décembre, \(25\) livres ont été empruntés ; le double vaut :

   $$ 25 \times 2 = 50 $$

   En janvier, on en a emprunté \(55\), et non \(50\) :

   $$ \text{Non, c'est même un peu plus que le double} $$
4. Le CDI s'est fixé un objectif de \(300\) livres empruntés de septembre à février. Combien faudrait-il en emprunter en février ? Cet objectif te paraît-il réaliste ? Justifier à l'aide du diagramme.
   $$ 300 - 210 = 90 $$

   $$ 90 \text{ livres en février} $$

   Le mois le plus fort, janvier, n'a compté que \(55\) prêts, et aucune barre n'atteint \(60\). Il faudrait presque doubler le meilleur mois : l'objectif paraît peu réaliste.

Vélo ou trottinette ?

On a demandé aux \(30\) élèves d'une classe s'ils possèdent un vélo, une trottinette, les deux ou aucun des deux : \(18\) élèves ont un vélo, \(13\) ont une trottinette, et \(4\) n'ont ni l'un ni l'autre.

1. Nathan affirme : « \(18 + 13 = 31\), c'est plus que les \(30\) élèves de la classe : l'enquête contient une erreur. » A-t-il raison ? Justifier.

   Les élèves qui ont à la fois un vélo et une trottinette sont comptés deux fois dans la somme de Nathan : une fois parmi les \(18\), une fois parmi les \(13\). Cette somme peut donc dépasser le nombre d'élèves.

   $$ \text{Non, certains élèves sont comptés deux fois} $$
2. Compléter le diagramme : combien d'élèves de cette classe se trouvent dans chacune des quatre zones ?

   Les élèves qui ont au moins un vélo ou une trottinette sont :

   $$ 30 - 4 = 26 $$

   La somme \(18 + 13 = 31\) compte une fois de trop chaque élève qui a les deux :

   $$ 31 - 26 $$

   $$ 5 \text{ élèves ont les deux} $$

   Il reste \(18 - 5 = 13\) élèves avec seulement un vélo, et \(13 - 5 = 8\) avec seulement une trottinette :

   Vérification : \(13 + 5 + 8 + 4 = 30\).

3. On change de classe : sur \(30\) élèves, \(18\) ont un vélo et \(13\) une trottinette, mais on ne sait pas combien n'ont ni l'un ni l'autre. Quels sont tous les nombres possibles d'élèves qui ont les deux ? Montrer qu'il n'y en a pas d'autre.

   Au moins \(1\) : si personne n'avait les deux, il faudrait \(18 + 13 = 31\) élèves différents, et la classe n'en compte que \(30\).

   Au plus \(13\) : un élève qui a les deux a une trottinette, et seuls \(13\) élèves en ont une.

   Toutes les valeurs entre les deux conviennent : chaque fois qu'un élève de plus a les deux, il y a un élève de moins avec seulement un vélo, un de moins avec seulement une trottinette, et un de plus sans rien. Le total reste \(30\). Voici les deux extrêmes :

   Les deux	Seulement un vélo	Seulement une trottinette	Aucun des deux	Total
   \(1\)	\(17\)	\(12\)	\(0\)	\(30\)
   \(13\)	\(5\)	\(0\)	\(12\)	\(30\)

   $$ \text{de } 1 \text{ à } 13 \text{ élèves} $$

La sortie de fin d'année

Une classe de \(27\) élèves part en sortie avec \(3\) accompagnateurs. Chaque personne du groupe occupe une place, mais seuls les élèves paient. Le trajet aller doit durer \(1\text{h}15\) au plus, et la classe dispose de \(350 \ \text{€}\) pour payer l'ensemble des élèves.

1. Sans effectuer aucune multiplication, éliminer le plus possible d'activités. Lesquelles restent ?

   Le groupe compte \(27 + 3 = 30\) personnes : le canoë, avec \(24\) places, et le laser game, avec \(28\) places, n'ont pas assez de places. Le laser game aurait assez de places pour les élèves, mais pas pour les accompagnateurs. Le trajet du parc animalier, \(1\text{h}45\), dépasse \(1\text{h}15\).

   $$ \text{restent l'accrobranche et le musée} $$

   Le musée n'a que \(30\) places : c'est tout juste assez.

2. Parmi ces deux activités restantes, laquelle respecte le budget ?

   Prix total pour les \(27\) élèves :

   $$ 27 \times 14 = 378 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 27 \times 9 = 243 $$

   Or \(378 > 350\) : l'accrobranche dépasse le budget.

   $$ \text{le musée, pour } 243 \ \text{€} $$
3. Les élèves préfèrent l'accrobranche. Le foyer du collège peut en baisser le prix par élève d'un nombre entier d'euros. Quelle est la plus petite baisse qui rende l'accrobranche possible ? Justifier.

   Une baisse de \(1 \ \text{€}\) met le prix à \(13 \ \text{€}\) :

   $$ 27 \times 13 = 351 $$

   C'est \(1 \ \text{€}\) de trop. Une baisse de \(2 \ \text{€}\) met le prix à \(12 \ \text{€}\) :

   $$ 27 \times 12 = 324 $$

   $$ 2 \ \text{€} \text{ par élève} $$

   Autre façon : la division euclidienne de \(350\) par \(27\) donne \(350 = 27 \times 12 + 26\). Le prix par élève ne peut donc pas dépasser \(12 \ \text{€}\).

4. On revient aux prix de départ, sans aide du foyer. Le car peut finalement rouler jusqu'à \(1\text{h}50\), mais seulement vers une activité à moins de \(12 \ \text{€}\) par élève. Quelles activités conviennent maintenant ? Justifier.

   Les conditions de places et de budget ne changent pas : le canoë et le laser game manquent toujours de places, l'accrobranche reste trop chère. Seul le parc animalier avait été écarté par son trajet.

   Son trajet, \(1\text{h}45\), ne dépasse pas \(1\text{h}50\), et son prix, \(11.50 \ \text{€}\), est inférieur à \(12 \ \text{€}\) : le trajet est accepté. Il a \(60\) places, et pour le budget :

   $$ 27 \times 11 + 27 \times 0.50 = 297 + 13.50 $$

   $$ 27 \times 11.50 = 310.50 $$

   Or \(310.50 < 350\).

   $$ \text{le musée et le parc animalier} $$