Les probabilités

Une expérience au hasard

Certaines expériences donnent un résultat que l'on ne peut pas prévoir : lancer un dé, tirer une carte, faire tourner une roue. On dit qu'elles se déroulent au hasard .

Sans calcul, on sait déjà classer ce qui peut arriver :

On dit que c'est...	Lorsque...
Impossible	Cela ne peut jamais se produire
Possible	Cela peut se produire, sans certitude
Certain	Cela se produit à coup sûr

Exemple : avec un dé à six faces, obtenir $7$ est impossible, obtenir $3$ est possible, et obtenir un nombre inférieur à $10$ est certain.

La probabilité, un nombre entre 0 et 1

La probabilité

La probabilité mesure les chances qu'une chose se produise. C'est toujours un nombre compris entre $0$ et $1$.

$$ 0 \leqslant p \leqslant 1 $$

Les deux valeurs extrêmes correspondent aux deux cas déjà rencontrés :

une probabilité de $0$ signale quelque chose d'impossible ;
une probabilité de $1$ signale quelque chose de certain ;
plus la probabilité est proche de $1$, plus la chose a de chances de se produire.

Un résultat négatif, ou plus grand que $1$, est donc forcément faux . C'est le premier contrôle à faire.

Calculer une probabilité

Lorsque tous les résultats possibles ont autant de chances les uns que les autres, la probabilité se calcule par un quotient :

$$ p = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}} $$

Ce quotient $\frac{a}{b}$ se lit simplement « $a$ sur $b$ ».

Exemple : on lance un dé à six faces. Obtenir un nombre pair, c'est obtenir $2$, $4$ ou $6$, soit $3$ cas favorables sur $6$ possibles :

$$ p = \frac{3}{6} $$

$$ p = \frac{1}{2} $$

On vérifie que le résultat est bien compris entre $0$ et $1$. On peut aussi l'écrire $0.5$, ou $50 \ \%$ : ce sont trois façons d'écrire le même nombre.

Second exemple : une urne contient $4$ boules rouges et $6$ boules vertes, indiscernables au toucher. La probabilité de tirer une boule rouge vaut :

$$ p = \frac{4}{10} $$

$$ p = \frac{2}{5} $$

Le dénominateur est le nombre total de boules, et non le nombre de boules de l'autre couleur : c'est l'erreur la plus fréquente.

Comparer une expérience à un calcul

Le calcul annonce ce qui devrait arriver sur un grand nombre d'essais . Il ne prédit jamais un résultat isolé.

Exemple : on lance une pièce $100$ fois et on obtient $54$ fois « pile ». La part observée vaut :

$$ \frac{54}{100} = 0.54 $$

alors que le calcul donnait :

$$ \frac{1}{2} = 0.5 $$

Ces deux nombres sont proches sans être égaux , et c'est normal. Obtenir exactement $50$ piles serait même surprenant.

En revanche, plus on répète l'expérience, plus la part observée se rapproche en général de la probabilité calculée. Un écart énorme sur un très grand nombre de lancers ferait soupçonner une pièce truquée.