Les probabilités en sixième

Du vocabulaire au calcul : dire ce qui peut arriver, puis chiffrer ses chances.

Dans un sac, $3$ billes rouges et $7$ bleues. On en tire une sans regarder.

Impossible de dire laquelle sortira, mais la bleue est plus probable.

Le hasard ne se prévoit pas, mais il se mesure : d'impossible à certain, entre $0$ et $1$.

Une expérience au hasard

Une expérience au résultat imprévisible - lancer un dé, tirer une carte - se déroule au hasard.

Sans calcul, on classe ce qui peut arriver :

On dit que c'est...	Lorsque...
Impossible	Cela ne peut jamais se produire
Possible	Cela peut se produire, sans certitude
Certain	Cela se produit à coup sûr

Exemple : avec un dé à six faces, obtenir $7$ est impossible, $3$ est possible, moins de $10$ est certain.

La probabilité mesure les chances qu'une chose se produise : c'est un nombre compris entre $0$ et $1$ :

$$ 0 \leqslant p \leqslant 1 $$

Les valeurs extrêmes :

une probabilité de $0$ signale quelque chose d'impossible ;
une probabilité de $1$ signale quelque chose de certain ;
plus la probabilité est proche de $1$, plus la chose a de chances de se produire.

Exemple : on lance un dé à six faces. Où placer, entre $0$ et $1$, les chances d'obtenir $7$, un nombre pair, ou moins de $10$ ?

Un résultat négatif ou plus grand que $1$ est forcément faux.

Quand tous les résultats ont autant de chances, la probabilité est un quotient :

$$ p = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}} $$

$\frac{a}{b}$ se lit « $a$ sur $b$ ».

Exemple : un nombre pair sur un dé, c'est $2$, $4$ ou $6$, soit $3$ cas favorables sur $6$ :

$$ p = \frac{3}{6} $$

$$ p = \frac{1}{2} $$

Il s'écrit aussi $0.5$ ou $50 \ \%$.

Second exemple : une urne contient $4$ boules rouges et $6$ vertes, indiscernables. Tirer une rouge :

$$ p = \frac{4}{10} $$

$$ p = \frac{2}{5} $$

Le dénominateur est le nombre total de boules, non celui de l'autre couleur.

Le calcul annonce ce qui devrait arriver sur un grand nombre d'essais.

Exemple : sur $100$ lancers d'une pièce, $54$ « pile ». La part observée :

$$ \frac{54}{100} = 0.54 $$

alors que le calcul donnait :

$$ \frac{1}{2} = 0.5 $$

Ces deux nombres sont proches sans être égaux.

Plus on répète, plus la part observée se rapproche de la probabilité calculée.