Problèmes sur les probabilités en sixième

Un dé, un sac de billes, une roue de fête foraine : le hasard se compte quand toutes les issues se valent.

Classer un évènement entre impossible, possible et certain
Calculer une probabilité par dénombrement
Comparer une fréquence observée à une probabilité
Comparer deux probabilités pour choisir

Le lancer de dé

On lance un dé équilibré à six faces, numérotées de $1$ à $6$.

Quelle est la probabilité d'obtenir le $4$ ?

Un seul cas favorable sur six possibles :

$$ p = \frac{1}{6} $$
Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?

Les cas favorables sont $2$, $4$ et $6$ :

$$ p = \frac{3}{6} $$

$$ p = \frac{1}{2} $$
Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre supérieur à $6$ ? Et un nombre inférieur ou égal à $6$ ?

Aucun cas favorable dans le premier cas, tous dans le second :

$$ p = \frac{0}{6} = 0 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} p = \frac{6}{6} = 1 $$

$$ \text{l'un est impossible, l'autre est certain} $$

Le sac de billes

Un sac contient $5$ billes rouges, $3$ billes vertes et $4$ billes bleues, indiscernables au toucher. On en tire une au hasard.

Combien de billes le sac contient-il ?

$$ 5 + 3 + 4 $$

$$ 12 \text{ billes} $$
Calculer la probabilité de tirer une bille rouge, puis une bille verte.

Le dénominateur est toujours le nombre total de billes :

$$ p_{\text{rouge}} = \frac{5}{12} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} p_{\text{verte}} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} $$
Calculer la probabilité de ne pas tirer une bille bleue.

Les cas favorables sont les billes rouges et vertes :

$$ p = \frac{5 + 3}{12} = \frac{8}{12} $$

$$ p = \frac{2}{3} $$
Additionner les probabilités des trois couleurs. Que remarque-t-on ?

$$ \frac{5}{12} + \frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{12}{12} $$

$$ \text{la somme vaut } 1 $$

C'est logique : la bille tirée est forcément de l'une des trois couleurs, ce qui est certain.

La roue de la fête foraine

Une roue est partagée en $8$ secteurs de même taille : $3$ rouges, $2$ bleus et $3$ jaunes.

Pourquoi peut-on calculer les probabilités par un simple quotient ?

Les huit secteurs ont la même taille : ils ont donc tous autant de chances les uns que les autres d'être désignés.
Calculer la probabilité de tomber sur le rouge, puis sur le bleu.

$$ p_{\text{rouge}} = \frac{3}{8} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} p_{\text{bleu}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} $$
Sur quelle couleur de cette roue a-t-on le plus de chances de tomber ?

Le jaune occupe aussi $3$ secteurs sur $8$, autant que le rouge.

$$ \text{le rouge et le jaune, à égalité} $$

Le dé est-il truqué ?

Marius lance un dé $60$ fois et obtient $12$ fois le $6$. Il en conclut que son dé est truqué.

Quelle est la probabilité d'obtenir le $6$ avec un dé équilibré ?

$$ p = \frac{1}{6} $$
Sur $60$ lancers, combien de $6$ pouvait-on s'attendre à obtenir ?

On prend le sixième des $60$ lancers :

$$ 60 \div 6 $$

$$ 10 \text{ fois} $$
Calculer la part de $6$ réellement obtenue, et la comparer à la probabilité.

La part observée vaut :

$$ \frac{12}{60} = \frac{1}{5} = 0.2 $$

alors que la probabilité vaut :

$$ \frac{1}{6} \approx 0.17 $$

$$ 0.2 \text{ est proche de } 0.17 $$
La conclusion de Marius est-elle justifiée ? Que faudrait-il faire pour en savoir plus ?

Non. Un écart de deux lancers sur soixante n'a rien d'anormal : la probabilité annonce ce qui se passe sur un grand nombre d'essais, pas le résultat exact d'une série courte.

Pour trancher, il faudrait répéter bien davantage l'expérience. Si l'écart persistait sur plusieurs milliers de lancers, le soupçon deviendrait sérieux.

La roue de Léo

On fait tourner la roue ci-dessous ; la flèche désigne une couleur.

Léo affirme : « Il y a trois couleurs, donc la probabilité de tomber sur le rouge est $\frac{1}{3}$. »

Expliquer l'erreur de Léo.

Le quotient « cas favorables sur cas possibles » ne vaut que si toutes les issues ont autant de chances. Ici les trois secteurs n'ont pas la même taille : le rouge occupe à lui seul la moitié de la roue.
Donner la probabilité de tomber sur chacune des trois couleurs de cette roue.

On redécoupe la roue en $4$ quarts de même taille : $2$ quarts rouges, $1$ bleu et $1$ vert.

$$ p_{\text{rouge}} = \frac{2}{4} $$

$$ p_{\text{rouge}} = \frac{1}{2} \hspace{2em} p_{\text{bleu}} = \frac{1}{4} \hspace{2em} p_{\text{vert}} = \frac{1}{4} $$
Zoé annonce que, sur cette même roue, la probabilité de tomber sur le bleu ou le vert vaut $\frac{3}{2}$. Sans calcul, expliquer pourquoi c'est faux, puis donner la bonne valeur.

$\frac{3}{2}$ est plus grand que $1$ : une probabilité est toujours comprise entre $0$ et $1$. Le bleu et le vert occupent ensemble deux quarts de la roue :

$$ \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} $$

$$ p = \frac{1}{2} $$

Le jeu de la kermesse

À la kermesse, on tire au hasard une bille dans le sac de son choix ; on gagne si la bille est gagnante. Les billes sont indiscernables au toucher.

Calculer la probabilité de gagner avec le sac A, puis avec le sac B.

Le sac A contient $3 + 5 = 8$ billes, le sac B $5 + 10 = 15$ billes :

$$ p_{\text{A}} = \frac{3}{8} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} p_{\text{B}} = \frac{5}{15} $$

$$ p_{\text{A}} = \frac{3}{8} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} p_{\text{B}} = \frac{1}{3} $$
Tom choisit le sac B, « parce qu'il contient plus de billes gagnantes ». A-t-il fait le bon choix ? Justifier.

On récrit les deux probabilités avec le même dénominateur $24$ :

$$ \frac{3}{8} = \frac{9}{24} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \frac{1}{3} = \frac{8}{24} $$

$$ p_{\text{B}} < p_{\text{A}} $$

Non : le sac B a plus de billes gagnantes, mais aussi beaucoup plus de perdantes. C'est le sac A qui donne le plus de chances de gagner.
L'organisateur ajoute une bille gagnante dans le sac B. Quel sac vaut-il mieux choisir maintenant ? Justifier.

Le sac B contient alors $6$ billes gagnantes sur $16$ :

$$ p_{\text{B}} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} $$

$$ \text{les deux sacs donnent autant de chances} $$

Le dé à fabriquer

Samia écrit un nombre entier de $1$ à $6$ sur chaque face d'un dé équilibré vierge ; plusieurs faces peuvent porter le même nombre. Elle veut que la probabilité d'obtenir $2$ soit $\frac{1}{3}$, et celle d'obtenir un nombre impair $\frac{1}{2}$.

Sur combien de faces Samia doit-elle écrire $2$ ? Sur combien de faces un nombre impair ? Que peut porter la face qui reste ?

Les six faces ont autant de chances. Une probabilité de $\frac{1}{3}$, c'est $2$ faces sur $6$, et une probabilité de $\frac{1}{2}$, c'est $3$ faces sur $6$ :

$$ \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $$

$$ 2 \text{ faces portent le nombre } 2 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 3 \text{ faces sont impaires} $$

Il reste $6 - 2 - 3 = 1$ face. Elle ne peut porter ni $2$, ni un nombre impair : l'une des deux probabilités serait trop grande. Elle porte donc un nombre pair autre que $2$ :

$$ \text{la dernière face porte } 4 \text{ ou } 6 $$
Samia peut-elle faire en sorte que la somme des nombres des six faces vaille $12$ ? Justifier.

Les deux faces « $2$ » et la dernière face sont paires : leur somme est paire. Deux nombres impairs font une somme paire, et le troisième la rend impaire : la somme des trois faces impaires est impaire.

Un nombre pair plus un nombre impair donne un nombre impair. Or $12$ est pair :

$$ \text{Non, la somme des six faces est toujours impaire} $$

Samia choisit finalement une somme de $13$. Trouver tous les dés possibles, sans tenir compte de la place des nombres sur le dé, et montrer qu'il n'y en a pas d'autre.

Les deux faces « $2$ » donnent $4$ ; les quatre autres faces doivent donner :

$$ 13 - 4 = 9 $$

Si la dernière face porte $4$ : les trois faces impaires font $9 - 4 = 5$. Un $5$ est exclu, car $5 + 1 + 1 = 7$ dépasse déjà. Avec des $1$ et des $3$ :

$$ 1 + 1 + 1 = 3 \hspace{2em} 1 + 1 + 3 = 5 $$

$$ 1 + 3 + 3 = 7 \hspace{2em} 3 + 3 + 3 = 9 $$

Seul $1 + 1 + 3$ convient.

Si la dernière face porte $6$ : les trois faces impaires font $9 - 6 = 3$. Chaque face vaut au moins $1$, donc seul $1 + 1 + 1$ convient.

$$ \text{deux dés possibles} $$

Dé A	$1$	$1$	$2$	$2$	$3$	$4$
Dé B	$1$	$1$	$1$	$2$	$2$	$6$

Vérification : $1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 4 = 13$ et $1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 6 = 13$.

Samia a fabriqué l'un des dés de la question précédente et l'a lancé $600$ fois. Le $1$ est sorti $304$ fois ; quant au $2$, il est sorti $197$ fois. Quel dé a-t-elle vraisemblablement fabriqué ? Justifier.

Les deux dés ont chacun $2$ faces « $2$ » : obtenir $2$ a la même probabilité $\frac{1}{3}$ avec l'un ou l'autre. Les $197$ sorties du $2$, proches de $600 \div 3 = 200$, ne permettent donc pas de choisir.

Pour le $1$, les dés diffèrent :

$$ p_{\text{A}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} p_{\text{B}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $$

Sur $600$ lancers, on attend environ $200$ fois le $1$ avec le dé A, et environ $300$ fois avec le dé B. Or $304$ est tout près de $300$, et loin de $200$ :

$$ \text{vraisemblablement le dé B} $$

Ce n'est pas une certitude, mais sur $600$ lancers un écart d'une centaine serait énorme. Les autres faces le confirment : elles sont sorties $600 - 304 - 197 = 99$ fois, près des $100$ attendues pour la face $6$ du dé B, et loin des $200$ attendues pour les faces $3$ et $4$ du dé A.

La tombola du foyer

Le foyer du collège vend les $400$ tickets d'une tombola. On tire d'abord au hasard, parmi les $400$, le ticket qui gagne le vélo, puis ceux qui gagnent les autres lots ; un ticket ne gagne qu'une fois.

Lot	Vélo	Place de cinéma	Porte-clés
Nombre de lots	$1$	$9$	$30$

Quelle est la probabilité qu'un ticket soit gagnant ? La donner sous forme de fraction, puis de pourcentage.

Il y a $1 + 9 + 30 = 40$ tickets gagnants sur $400$ :

$$ p = \frac{40}{400} $$

$$ p = \frac{1}{10} = 10 \ \% $$
Nora achète $5$ tickets. Quelle est la probabilité que le vélo lui revienne ? Combien de tickets lui faudrait-il pour avoir une chance sur $4$ de le gagner ?

Le ticket du vélo est tiré parmi les $400$, et $5$ d'entre eux sont à Nora :

$$ p = \frac{5}{400} $$

$$ p = \frac{1}{80} $$

Pour une chance sur $4$, il faut le quart des $400$ tickets :

$$ \frac{1}{4} = \frac{100}{400} $$

$$ 100 \text{ tickets} $$
L'affiche annonce : « Un ticket sur dix gagne ! » Kylian achète $10$ tickets et ne gagne rien. Il accuse le foyer d'avoir menti. A-t-il raison ? Justifier.

Il y a $400 - 40 = 360$ tickets perdants : les $10$ tickets de Kylian peuvent tous en faire partie. « Un sur dix » veut dire que $40$ tickets gagnent sur $400$, pas que chaque lot de $10$ tickets en contient un.

$$ \text{Non, perdre avec } 10 \text{ tickets est possible} $$
Sacha veut être certain de gagner au moins un lot. Combien de tickets doit-il acheter, au minimum ? Et pour être certain de gagner le vélo ? Justifier.

Avec $360$ tickets, Sacha pourrait avoir exactement les $360$ perdants : il n'est pas certain de gagner. Avec un ticket de plus, ce n'est plus possible, puisqu'il n'existe que $360$ perdants : l'un au moins de ses tickets gagne.

$$ 360 + 1 $$

$$ 361 \text{ tickets pour un lot} $$

Un seul ticket gagne le vélo : tant qu'il manque un ticket à Sacha, ce peut être celui-là. Il doit donc tous les acheter, et la probabilité vaut alors $\frac{400}{400} = 1$ :

$$ 400 \text{ tickets pour le vélo} $$

Dé A	\(1\)	\(1\)	\(2\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)
Dé B	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(2\)	\(2\)	\(6\)