Problèmes sur les probabilités

Le lancer de dé

On lance un dé équilibré à six faces, numérotées de $1$ à $6$.

Quelle est la probabilité d'obtenir le $4$ ?

Un seul cas favorable sur six possibles :

$$ p = \frac{1}{6} $$
Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?

Les cas favorables sont $2$, $4$ et $6$ :

$$ p = \frac{3}{6} $$

$$ p = \frac{1}{2} $$
Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre supérieur à $6$ ? Et un nombre inférieur ou égal à $6$ ?

Aucun cas favorable dans le premier cas, tous dans le second :

$$ p = \frac{0}{6} = 0 \qquad \text{et} \qquad p = \frac{6}{6} = 1 $$

$$ \text{l'un est impossible, l'autre est certain} $$

Un sac contient $5$ billes rouges, $3$ billes vertes et $4$ billes bleues, indiscernables au toucher. On en tire une au hasard.

Combien de billes le sac contient-il ?

$$ 5 + 3 + 4 $$

$$ 12 \text{ billes} $$
Calculer la probabilité de tirer une bille rouge, puis une bille verte.

Le dénominateur est toujours le nombre total de billes :

$$ p_{rouge} = \frac{5}{12} \qquad \text{et} \qquad p_{verte} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} $$
Calculer la probabilité de ne pas tirer une bille bleue.

Les cas favorables sont les billes rouges et vertes :

$$ p = \frac{5 + 3}{12} = \frac{8}{12} $$

$$ p = \frac{2}{3} $$
Additionner les probabilités des trois couleurs. Que remarque-t-on ?

$$ \frac{5}{12} + \frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{12}{12} $$

$$ \text{la somme vaut } 1 $$

C'est logique : la bille tirée est forcément de l'une des trois couleurs, ce qui est certain.

Une roue est partagée en $8$ secteurs de même taille : $3$ rouges, $2$ bleus et $3$ jaunes.

Pourquoi peut-on calculer les probabilités par un simple quotient ?

Les huit secteurs ont la même taille : ils ont donc tous autant de chances les uns que les autres d'être désignés.
Calculer la probabilité de tomber sur le rouge, puis sur le bleu.

$$ p_{rouge} = \frac{3}{8} \qquad \text{et} \qquad p_{bleu} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} $$
Sur quelle couleur a-t-on le plus de chances de tomber ?

Le jaune occupe aussi $3$ secteurs sur $8$, autant que le rouge.

$$ \text{le rouge et le jaune, à égalité} $$

Marius lance un dé $60$ fois et obtient $12$ fois le $6$. Il en conclut que son dé est truqué.

Quelle est la probabilité d'obtenir le $6$ avec un dé équilibré ?

$$ p = \frac{1}{6} $$
Sur $60$ lancers, combien de $6$ pouvait-on s'attendre à obtenir ?

On prend le sixième des $60$ lancers :

$$ 60 \div 6 $$

$$ 10 \text{ fois} $$
Calculer la part de $6$ réellement obtenue, et la comparer à la probabilité.

La part observée vaut :

$$ \frac{12}{60} = \frac{1}{5} = 0.2 $$

alors que la probabilité vaut :

$$ \frac{1}{6} \approx 0.17 $$

$$ 0.2 \text{ est proche de } 0.17 $$
La conclusion de Marius est-elle justifiée ? Que faudrait-il faire pour en savoir plus ?

Non. Un écart de deux lancers sur soixante n'a rien d'anormal : la probabilité annonce ce qui se passe sur un grand nombre d'essais , pas le résultat exact d'une série courte.

Pour trancher, il faudrait répéter bien davantage l'expérience. Si l'écart persistait sur plusieurs milliers de lancers, le soupçon deviendrait sérieux.