Problèmes sur le calcul intégral en terminale

Une aire entre deux courbes, une consommation moyenne sur une journée, une suite d'intégrales qui se calcule de proche en proche : trois usages de l'intégrale, et trois questions qu'aucune primitive seule ne résout.

Calculer l'aire du domaine compris entre deux courbes.
Calculer une valeur moyenne et l'interpréter dans un contexte concret.
Majorer une intégrale à partir d'une majoration de la fonction.
Étudier une suite d'intégrales vérifiant une relation de récurrence.

L'aire entre les deux courbes

Dans un repère, on considère les deux courbes d'équations :

$$ y = 4 - x^2 \qquad \text{et} \qquad y = x + 2 $$

Déterminer les abscisses des points d'intersection.

$$ 4 - x^2 = x + 2 \quad \Longleftrightarrow \quad x^2 + x - 2 = 0 $$

Le discriminant vaut $1 + 8 = 9$, de racine $3$ :

$$ x = -2 \quad \text{et} \quad x = 1 $$
Préciser laquelle des deux courbes est au-dessus de l'autre sur cet intervalle.

En $x = 0$, la parabole donne $4$ et la droite $2$.

$$ \text{la parabole est au-dessus sur} \ \bigl[-2 \ ; \ 1\bigr] $$
Calculer l'aire du domaine compris entre les deux courbes.

L'aire est l'intégrale de la différence, dans l'ordre « celle du dessus moins celle du dessous » :

$$ \mathcal{A} = \int_{-2}^{1} \bigl(4 - x^2 - x - 2\bigr) \hspace{0.2em}dx = \int_{-2}^{1} \bigl(2 - x - x^2\bigr) \hspace{0.2em}dx $$

$$ \mathcal{A} = \left[ 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{1} = \frac{7}{6} - \left(-\frac{10}{3}\right) $$

$$ \mathcal{A} = \frac{9}{2} = 4{,}5 \ \text{unités d'aire} $$

La consommation de la journée

La puissance électrique appelée par un bâtiment, en kilowatts, $t$ heures après minuit, est modélisée sur $\bigl[0 \ ; \ 24\bigr]$ par :

$$ p(t) = 3 + 2\sin\left(\frac{\pi t}{12}\right) $$

Calculer la puissance moyenne sur la journée.

$$ \mu = \frac{1}{24} \int_{0}^{24} \left(3 + 2\sin\left(\frac{\pi t}{12}\right)\right) \hspace{0.2em}dt $$

Une primitive de $2\sin\left(\frac{\pi t}{12}\right)$ est $-\frac{24}{\pi}\cos\left(\frac{\pi t}{12}\right)$.

Entre $0$ et $24$, le cosinus reprend la même valeur : ce terme s'annule.

$$ \mu = \frac{72}{24} = 3 \ \text{kW} $$
En déduire l'énergie consommée sur la journée, en kilowattheures.

L'énergie est l'intégrale de la puissance, soit la moyenne multipliée par la durée :

$$ E = 3 \times 24 = 72 \ \text{kWh} $$
Majorer $p$ sur la journée, et en déduire une majoration de l'énergie. Commenter.

Le sinus est majoré par $1$, donc $p(t) \leqslant 5$ pour tout $t$.

L'intégration conserve l'inégalité :

$$ \int_{0}^{24} p(t) \hspace{0.2em}dt \leqslant \int_{0}^{24} 5 \hspace{0.2em}dt = 120 $$

$$ E \leqslant 120 \ \text{kWh} $$

La majoration est correcte, mais lâche : la consommation réelle vaut $72$ kWh. Majorer une fonction par son maximum revient à supposer qu'elle y reste toute la journée.

La suite d'intégrales

Pour tout entier $n \geqslant 0$, on pose :

$$ I_n = \int_{0}^{1} x^n \, e^x \hspace{0.2em}dx $$

Calculer $I_0$.

$$ I_0 = \int_{0}^{1} e^x \hspace{0.2em}dx = \Bigl[ e^x \Bigr]_{0}^{1} $$

$$ I_0 = e - 1 $$
Démontrer, par une intégration par parties, que $I_n = e - n \, I_{n-1}$ pour $n \geqslant 1$.

On pose $g(x) = x^n$ et $f'(x) = e^x$, donc $f(x) = e^x$ et $g'(x) = n x^{n-1}$ :

$$ I_n = \Bigl[ x^n e^x \Bigr]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} n x^{n-1} e^x \hspace{0.2em}dx $$

Le crochet vaut $1 \times e - 0 = e$, et l'intégrale restante est $n \, I_{n-1}$ :

$$ I_n = e - n \, I_{n-1} $$
En déduire $I_1$ et $I_2$.

$$ I_1 = e - 1 \times (e - 1) = 1 $$

$$ I_2 = e - 2 \times 1 = e - 2 \approx 0{,}718 $$

La relation de récurrence évite une seconde intégration par parties : chaque terme se déduit du précédent par une simple soustraction.