La continuité en terminale

La continuité d'une fonction

Soit une fonction $f : x \longmapsto f(x) $ définie sur un intervalle $I$, ainsi qu'un point $ (x = a) $ appartenant à $I$.

On dit que $f$ est continue en un point $a$ , si et seulement si elle admet comme limite en ce même point son image par $f$ .

$$ f \ \text{est continue en} \ (x=a) \Longleftrightarrow \lim_{x \to a} f(x) = f(a) $$

Par ailleurs, on dit que $f$ est continue sur un intervalle , si et seulement si elle est définie en tout point de cet intervalle .

Propriétés d'une fonction continue

La somme, le produit ou la composée de fonctions continues est une fonction continue

L'inverse d'une fonction continue (si elle ne s'annule pas) est une fonction continue

Le théorème de valeurs intermédiaires (TVI)

Soit une fonction $f : x \longmapsto f(x) $ définie sur un intervalle $I = \bigl[a, b \bigr]$.

S'il existe un réel $k$ tel que : $f(a) \leqslant k \leqslant f(b)$, alors $k$ admet au moins un antécédent $\alpha_0$ tel que : $ a \leqslant \alpha_0 \leqslant b $.

TVI — illustration du théorème de valeurs intermédiaires

Dérivable entraîne continue

Toute fonction dérivable sur un intervalle y est continue . C'est le sens pratique de l'implication : dériver donne la continuité gratuitement .

$$ f \ \text{dérivable sur} \ I \quad \Longrightarrow \quad f \ \text{continue sur} \ I $$

La réciproque est fausse. La fonction valeur absolue est continue en $0$ - sa courbe ne se coupe pas - mais n'y est pas dérivable : la courbe y forme un angle, et il n'existe pas une tangente mais deux demi-tangentes .

Image d'une suite convergente

Une fonction continue transporte les limites :

$$ \lim_{n \to +\infty} u_n = \ell \ \text{et} \ f \ \text{continue en} \ \ell \quad \Longrightarrow \quad \lim_{n \to +\infty} f(u_n) = f(\ell) $$

C'est ce résultat qui permet d'étudier une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ : si elle converge, sa limite $\ell$ vérifie nécessairement $f(\ell) = \ell$ .

Exemple :

Soit $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$. Si cette suite converge vers $\ell$, alors :

$$ \ell = \sqrt{\ell + 2} \quad \Longrightarrow \quad \ell^2 = \ell + 2 $$

$$ \ell^2 - \ell - 2 = 0 \quad \Longrightarrow \quad (\ell - 2)(\ell + 1) = 0 $$

La suite étant positive, seule $\ell = 2$ convient :

$$ \ell = 2 $$

Ce calcul ne démontre pas la convergence : il donne la limite à condition qu'elle existe . La convergence se prouve à part, en général par la monotonie et une majoration .

Le cas des fonctions strictement monotones

Si $f$ est continue et strictement monotone sur $\bigl[a \ ; \ b\bigr]$, alors l'antécédent donné par le théorème des valeurs intermédiaires est unique .

$$ f \ \text{continue et strictement monotone} \quad \Longrightarrow \quad \text{une seule solution à} \ f(x) = k $$

C'est cette version qu'on emploie presque toujours, car elle répond aux deux questions à la fois : existence, puis unicité .

Exemple :

Montrer que $x^3 + x - 1 = 0$ a une unique solution sur $\bigl[0 \ ; \ 1\bigr]$.

$f(x) = x^3 + x - 1$ est un polynôme, donc continue sur $\bigl[0 \ ; \ 1\bigr]$
$f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$, donc $f$ est strictement croissante
$f(0) = -1$ et $f(1) = 1$, donc $0$ est bien compris entre les deux

$$ \text{l'équation admet une unique solution } \alpha \in \bigl] 0 \ ; \ 1 \bigr[ $$

L'encadrer par dichotomie

Une fois l'existence acquise, on approche la solution en coupant l'intervalle en deux à chaque étape, et en gardant la moitié qui change de signe .

a = 0
b = 1
while b - a > 0.001:
    m = (a + b) / 2
    if m**3 + m - 1 < 0:
        a = m
    else:
        b = m
print(a, b)

Chaque tour divise l'amplitude par deux : dix tours suffisent à passer de $1$ à moins d'un millième .

$$ 0{,}682 < \alpha < 0{,}683 $$