Problèmes sur la continuité en terminale

Une équation qu'on ne sait pas résoudre, une suite dont on ignore le terme général, un algorithme qui encadre : trois situations où l'on démontre qu'une solution existe sans jamais l'écrire.

Démontrer l'existence et l'unicité d'une solution à une équation f(x) = k.
Encadrer cette solution.
Étudier une suite définie par une relation de récurrence, et déterminer sa limite.
Interpréter un algorithme de dichotomie.

L'équation sans solution évidente

On considère la fonction définie sur $\bigl[0 \ ; \ 2\bigr]$ par :

$$ f(x) = x^3 + x - 3 $$

Démontrer que $f$ est strictement croissante sur $\bigl[0 \ ; \ 2\bigr]$.

$$ f'(x) = 3x^2 + 1 $$

Cette dérivée est strictement positive pour tout réel, puisque $3x^2 \geqslant 0$.

$$ f \ \text{est strictement croissante sur} \ \bigl[0 \ ; \ 2\bigr] $$
En déduire que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur cet intervalle.

$f$ est continue sur $\bigl[0 \ ; \ 2\bigr]$, car dérivable, et strictement croissante. De plus :

$$ f(0) = -3 \hspace{2em} f(2) = 7 $$

Zéro est compris entre ces deux valeurs : le théorème des valeurs intermédiaires, dans sa version stricte, s'applique.

$$ \text{il existe un unique } \alpha \in \bigl]0 \ ; \ 2\bigr[ \text{ tel que } f(\alpha) = 0 $$
Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0.1$.

On calcule quelques valeurs et l'on repère le changement de signe :

$$ f(1.2) \approx -0.072 \hspace{2em} f(1.3) \approx 0.497 $$

$$ 1.2 < \alpha < 1.3 $$

La suite qui tend vers 2

On considère la suite définie par :

$$ u_0 = 0 \hspace{2em} u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2} $$

Calculer $u_1$ et $u_2$, arrondis au millième.

$$ u_1 = \sqrt{2} \approx 1.414 $$

$$ u_2 = \sqrt{\sqrt{2} + 2} \approx 1.848 $$
Démontrer par récurrence que $0 \leqslant u_n < 2$ pour tout $n$.

Initialisation : $u_0 = 0$, qui vérifie bien $0 \leqslant 0 < 2$.

Hérédité : supposons $0 \leqslant u_n < 2$. En ajoutant $2$ :

$$ 2 \leqslant u_n + 2 < 4 $$

La racine carrée étant croissante :

$$ \sqrt{2} \leqslant u_{n+1} < 2 $$

$$ \text{pour tout } n, \ 0 \leqslant u_n < 2 $$
Démontrer que la suite est croissante.

Les termes étant positifs, on compare les carrés :

$$ u_{n+1}^{\,2} - u_n^{\,2} = u_n + 2 - u_n^{\,2} = -\bigl(u_n - 2\bigr)\bigl(u_n + 1\bigr) $$

Or $0 \leqslant u_n < 2$ : le premier facteur est négatif, le second positif, donc leur produit est négatif et son opposé positif.

$$ u_{n+1} > u_n $$
En déduire que la suite converge, et déterminer sa limite.

Croissante et majorée par $2$, la suite converge vers un réel $\ell$.

La fonction $x \mapsto \sqrt{x + 2}$ est continue sur $\bigl[0 \ ; \ 2\bigr]$, donc la limite vérifie l'équation du point fixe :

$$ \ell = \sqrt{\ell + 2} \quad \Longleftrightarrow \quad \ell^2 - \ell - 2 = 0 $$

Les racines sont $-1$ et $2$, et la limite est positive :

$$ \ell = 2 $$

L'algorithme qui encadre

On reprend la fonction $f(x) = x^3 + x - 3$ et sa solution $\alpha$ sur $\bigl[0 \ ; \ 2\bigr]$. L'algorithme suivant en donne un encadrement.

a = 0
b = 2
while b - a > 0.01:
    m = (a + b) / 2
    if m**3 + m - 3 < 0:
        a = m
    else:
        b = m
print(a, b)

Expliquer pourquoi le test porte sur le signe de $f(m)$, et non sur sa valeur.

$f$ est croissante et s'annule en $\alpha$ : elle est négative avant, positive après. Le signe de $f(m)$ dit donc de quel côté de $\alpha$ se trouve $m$.

Si $f(m) < 0$, alors $m < \alpha$ et l'on remonte la borne inférieure ; sinon $m \geqslant \alpha$ et l'on abaisse la borne supérieure. L'encadrement se resserre en gardant $\alpha$ à l'intérieur.
Combien de passages dans la boucle l'algorithme effectue-t-il ?

L'amplitude vaut $2$ au départ, et se divise par deux à chaque passage. On cherche le plus petit $n$ tel que :

$$ \frac{2}{2^n} \leqslant 0.01 \quad \Longleftrightarrow \quad 2^n \geqslant 200 $$

Or $2^7 = 128$ et $2^8 = 256$ :

$$ n = 8 \ \text{passages} $$
Pourquoi la continuité de $f$ est-elle indispensable ici ?

Sans elle, un changement de signe entre deux bornes ne garantit plus qu'une valeur nulle soit atteinte : la fonction pourrait sauter par-dessus zéro. L'algorithme resserrerait alors un intervalle autour de rien.

Les trois équilibres de l'aimant

Un petit aimant coulisse sans frottement le long d'un rail gradué. Un ressort le tire vers l'origine, deux aimants fixes le repoussent. La résultante des forces, en newtons, pour une position $x$ comprise entre $- 3$ et $3$ décimètres, vaut :

$$ F(x) = x^3 - 3x + 1 $$

L'aimant est en équilibre là où la résultante s'annule. Le constructeur annonce « une position d'équilibre » ; il s'agit de savoir combien il y en a exactement, et où elles se trouvent.

Calculer $F'(x)$, puis dresser le tableau de variations de $F$ sur $\bigl[ - 3 \ ; \ 3 \bigr]$.

$$ x $$	$$ - 3 $$	$$ \hspace{10em} $$	$$ 3 $$
$$ F'(x) $$
$$ F(x) $$

tableau de variations de $F$ (à compléter)

$$ F'(x) = 3x^2 - 3 = 3 \bigl( x - 1 \bigr) \bigl( x + 1 \bigr) $$

Ce trinôme s'annule en $- 1$ et en $1$, et il est du signe de son coefficient dominant $3$ hors de ses racines.

$$ F(-3) = - 27 + 9 + 1 = - 17 \hspace{2em} F(-1) = - 1 + 3 + 1 = 3 $$

$$ F(1) = 1 - 3 + 1 = - 1 \hspace{2em} F(3) = 27 - 9 + 1 = 19 $$

variations de $F$ sur $\bigl[ - 3 \ ; \ 3 \bigr]$

Démontrer que l'équation $F(x) = 0$ admet exactement trois solutions sur $\bigl[ - 3 \ ; \ 3 \bigr]$.
$F$ est un polynôme, donc continue sur $\bigl[ - 3 \ ; \ 3 \bigr]$. Le tableau la découpe en trois intervalles sur chacun desquels elle est strictement monotone : on applique le théorème des valeurs intermédiaires sur chacun.
- Sur $\bigl[ - 3 \ ; \ - 1 \bigr]$, $F$ est continue et strictement croissante, et $0$ est compris entre $F(-3) = - 17$ et $F(-1) = 3$ : l'équation y admet une solution et une seule.
- Sur $\bigl[ - 1 \ ; \ 1 \bigr]$, $F$ est continue et strictement décroissante, et $0$ est compris entre $3$ et $- 1$ : une solution et une seule.
- Sur $\bigl[ 1 \ ; \ 3 \bigr]$, $F$ est continue et strictement croissante, et $0$ est compris entre $- 1$ et $19$ : une solution et une seule.
Ces trois intervalles recouvrent $\bigl[ - 3 \ ; \ 3 \bigr]$ et la stricte monotonie interdit une quatrième solution : il n'y en a pas ailleurs, et pas davantage sur chacun.

$$ \text{exactement trois positions d'équilibre} $$
Encadrer chacune des trois solutions par deux décimaux consécutifs au dixième.

On évalue $F$ de dixième en dixième dans chaque intervalle, et on repère le changement de signe :

$$ F(-1.9) = - 0.159 \hspace{2em} F(-1.8) = 0.568 $$

$$ F(0.3) = 0.127 \hspace{2em} F(0.4) = - 0.136 $$

$$ F(1.5) = - 0.125 \hspace{2em} F(1.6) = 0.296 $$

$$ - 1.9 < x_1 < - 1.8 \hspace{2em} 0.3 < x_2 < 0.4 \hspace{2em} 1.5 < x_3 < 1.6 $$
Le constructeur n'en annonçait qu'une. Expliquer ce qu'il a sans doute voulu dire, sachant qu'un équilibre n'est stable que si la résultante ramène l'aimant vers lui après un écart.

Regardons ce que fait la force juste après $x_2$, où $F$ est décroissante : pour $x$ un peu plus grand que $x_2$, $F(x) < 0$, la force pousse vers les $x$ décroissants, donc ramène vers $x_2$ ; pour $x$ un peu plus petit, $F(x) > 0$ et la force ramène encore vers $x_2$.

En $x_1$ et en $x_3$, où $F$ est croissante, le même raisonnement donne l'inverse : le moindre écart est amplifié, l'aimant part d'un côté ou de l'autre.

$$ \text{trois équilibres, un seul stable :} \ x_2 \in \bigl] 0.3 \ ; \ 0.4 \bigr[ $$

Les deux autres existent bel et bien - on ne peut pas les poser en équilibre dans la pratique, mais ils séparent les domaines d'attraction, et c'est à eux qu'on se heurte quand on veut savoir jusqu'où l'aimant peut être écarté.

$$ x $$	$$ - 3 $$		$$ - 1 $$		$$ 1 $$		$$ 3 $$
$$ F'(x) $$	$$ + $$	$$ 0 $$	$$ - $$	$$ 0 $$	$$ + $$
$$ F(x) $$	$$ - 17 $$		$$ 3 $$		$$ - 1 $$		$$ 19 $$

Le flotteur de la chasse d'eau

Un flotteur sphérique de rayon $1 \ \text{dm}$ est posé sur l'eau. Sa masse volumique vaut $0.6$ fois celle de l'eau. La poussée d'Archimède impose que le volume immergé soit exactement $0.6$ fois le volume total de la boule.

On note $h$ la profondeur immergée, en décimètres, comptée depuis le point le plus bas de la boule : $h$ appartient à $\bigl[ 0 \ ; \ 2 \bigr]$. On admet que la partie immergée, une calotte sphérique de hauteur $h$, a pour volume $\frac{\pi h^2 (3 - h)}{3}$ décimètres cubes.

Une graduation est peinte à mi-hauteur du flotteur. Le fabricant affirme qu'elle reste hors de l'eau : il s'agit de le vérifier.

Montrer que $h$ est solution de l'équation $g(h) = 0$, où $g$ est définie sur $\bigl[ 0 \ ; \ 2 \bigr]$ par :

$$ g(h) = h^3 - 3 \, h^2 + 2.4 $$

Le volume de la boule vaut $\frac{4 \pi}{3}$, puisque son rayon vaut $1$. La condition d'équilibre s'écrit :

$$ \frac{\pi h^2 (3 - h)}{3} = 0.6 \times \frac{4 \pi}{3} $$

On multiplie les deux membres par $\frac{3}{\pi}$, qui est non nul :

$$ h^2 (3 - h) = 2.4 \quad \Longleftrightarrow \quad 3 \, h^2 - h^3 = 2.4 $$

$$ h^3 - 3 \, h^2 + 2.4 = 0 $$
Démontrer que cette équation admet une unique solution sur $\bigl[ 0 \ ; \ 2 \bigr]$.

$$ g'(h) = 3 \, h^2 - 6 \, h = 3 \, h \bigl( h - 2 \bigr) $$

Sur $\bigl] 0 \ ; \ 2 \bigr[$, le facteur $3h$ est positif et $h - 2$ est négatif : $g'$ est strictement négative, donc $g$ est continue et strictement décroissante sur $\bigl[ 0 \ ; \ 2 \bigr]$.

$$ g(0) = 2.4 \hspace{2em} g(2) = 8 - 12 + 2.4 = - 1.6 $$

$0$ est compris entre ces deux valeurs : le théorème des valeurs intermédiaires donne une solution, et une seule.

$$ \text{une unique profondeur d'équilibre} \ h_0 $$
Déterminer un encadrement de $h_0$ d'amplitude $0.01$, puis trancher : la graduation reste-t-elle hors de l'eau ?

La graduation de mi-hauteur est à $h = 1$. On commence par là :

$$ g(1) = 1 - 3 + 2.4 = 0.4 > 0 $$

$g$ étant décroissante et $g(h_0) = 0$, on en déduit déjà $h_0 > 1$. On resserre :

$$ g(1.13) \approx 0.0122 > 0 \hspace{2em} g(1.14) \approx - 0.0173 < 0 $$

$$ 1.13 < h_0 < 1.14 $$

$$ \text{le fabricant a tort : la graduation est noyée sous} \ 1.3 \ \text{cm d'eau} $$
Déterminer toutes les masses volumiques relatives $d$ pour lesquelles la graduation resterait visible.

Pour une masse volumique relative $d$, la même mise en équation donne $h^2(3 - h) = 4d$. Posons $\varphi(h) = 3h^2 - h^3$ :

$$ \varphi'(h) = 6 \, h - 3 \, h^2 = 3 \, h \bigl( 2 - h \bigr) $$

Ce produit est strictement positif sur $\bigl] 0 \ ; \ 2 \bigr[$ : $\varphi$ est strictement croissante. La profondeur $h$ est donc une fonction croissante de $d$, et :

$$ h < 1 \quad \Longleftrightarrow \quad \varphi(h) < \varphi(1) \quad \Longleftrightarrow \quad 4d < 2 $$

$$ d < 0.5 $$

Le seuil ne dépend pas du rayon : une boule s'enfonce au-delà de son équateur dès qu'elle pèse plus de la moitié de l'eau qu'elle déplacerait. Le flotteur à $0.6$ était condamné avant tout calcul ; l'équation ne servait qu'à dire de combien.