Problèmes sur la continuité

L'équation sans solution évidente

On considère la fonction définie sur \(\bigl[0 \ ; \ 2\bigr]\) par :

1. Démontrer que \(f\) est strictement croissante sur \(\bigl[0 \ ; \ 2\bigr]\).
   $$ f'(x) = 3x^2 + 1 $$

   Cette dérivée est strictement positive pour tout réel, puisque \(3x^2 \geqslant 0\).

   $$ f \ \text{est strictement croissante sur} \ \bigl[0 \ ; \ 2\bigr] $$
2. En déduire que l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur cet intervalle.

   \(f\) est continue sur \(\bigl[0 \ ; \ 2\bigr]\), car dérivable, et strictement croissante. De plus :

   $$ f(0) = -3 \qquad f(2) = 7 $$

   Zéro est compris entre ces deux valeurs : le théorème des valeurs intermédiaires, dans sa version stricte, s'applique.

   $$ \text{il existe un unique } \alpha \in \bigl]0 \ ; \ 2\bigr[ \text{ tel que } f(\alpha) = 0 $$
3. Donner un encadrement de \(\alpha\) d'amplitude \(0{,}1\).

   On calcule quelques valeurs et l'on repère le changement de signe :

   $$ f(1{,}2) \approx -0{,}072 \qquad f(1{,}3) \approx 0{,}497 $$

   $$ 1{,}2 < \alpha < 1{,}3 $$

La suite qui tend vers 2

On considère la suite définie par :

1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\), arrondis au millième.
   $$ u_1 = \sqrt{2} \approx 1{,}414 $$

   $$ u_2 = \sqrt{\sqrt{2} + 2} \approx 1{,}848 $$
2. Démontrer par récurrence que \(0 \leqslant u_n < 2\) pour tout \(n\).

   Initialisation : \(u_0 = 0\), qui vérifie bien \(0 \leqslant 0 < 2\).

   Hérédité : supposons \(0 \leqslant u_n < 2\). En ajoutant \(2\) :

   $$ 2 \leqslant u_n + 2 < 4 $$

   La racine carrée étant croissante :

   $$ \sqrt{2} \leqslant u_{n+1} < 2 $$

   $$ \text{pour tout } n, \ 0 \leqslant u_n < 2 $$
3. Démontrer que la suite est croissante.

   Les termes étant positifs, on compare les carrés :

   $$ u_{n+1}^{\,2} - u_n^{\,2} = u_n + 2 - u_n^{\,2} = -\bigl(u_n - 2\bigr)\bigl(u_n + 1\bigr) $$

   Or \(0 \leqslant u_n < 2\) : le premier facteur est négatif, le second positif, donc leur produit est négatif et son opposé positif.

   $$ u_{n+1} > u_n $$
4. En déduire que la suite converge, et déterminer sa limite.

   Croissante et majorée par \(2\), la suite converge vers un réel \(\ell\).

   La fonction \(x \mapsto \sqrt{x + 2}\) est continue sur \(\bigl[0 \ ; \ 2\bigr]\), donc la limite vérifie l'équation du point fixe :

   $$ \ell = \sqrt{\ell + 2} \quad \Longleftrightarrow \quad \ell^2 - \ell - 2 = 0 $$

   Les racines sont \(-1\) et \(2\), et la limite est positive :

   $$ \ell = 2 $$

L'algorithme qui encadre

On reprend la fonction \(f(x) = x^3 + x - 3\) et sa solution \(\alpha\) sur \(\bigl[0 \ ; \ 2\bigr]\). L'algorithme suivant en donne un encadrement.

a = 0
b = 2
while b - a > 0.01:
    m = (a + b) / 2
    if m**3 + m - 3 < 0:
        a = m
    else:
        b = m
print(a, b)

1. Expliquer pourquoi le test porte sur le signe de \(f(m)\), et non sur sa valeur.

   \(f\) est croissante et s'annule en \(\alpha\) : elle est négative avant, positive après. Le signe de \(f(m)\) dit donc de quel côté de \(\alpha\) se trouve \(m\).

   Si \(f(m) < 0\), alors \(m < \alpha\) et l'on remonte la borne inférieure ; sinon \(m \geqslant \alpha\) et l'on abaisse la borne supérieure. L'encadrement se resserre en gardant \(\alpha\) à l'intérieur.

2. Combien de passages dans la boucle l'algorithme effectue-t-il ?

   L'amplitude vaut \(2\) au départ, et se divise par deux à chaque passage. On cherche le plus petit \(n\) tel que :

   $$ \frac{2}{2^n} \leqslant 0{,}01 \quad \Longleftrightarrow \quad 2^n \geqslant 200 $$

   Or \(2^7 = 128\) et \(2^8 = 256\) :

   $$ n = 8 \ \text{passages} $$
3. Pourquoi la continuité de \(f\) est-elle indispensable ici ?

   Sans elle, un changement de signe entre deux bornes ne garantit plus qu'une valeur nulle soit atteinte : la fonction pourrait sauter par-dessus zéro. L'algorithme resserrerait alors un intervalle autour de rien.