Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires en terminale

Le théorème des valeurs intermédiaires sert presque toujours à la même chose : montrer qu'une équation a une solution, et une seule , puis l'encadrer.

La rédaction en trois points

Trois vérifications, dans cet ordre. En omettre une coûte le raisonnement entier, car chacune porte une partie de la conclusion .

$f$ est continue sur l'intervalle - ce qui donne l'existence
$f$ est strictement monotone - ce qui donne l'unicité
la valeur cherchée est comprise entre les images des bornes

La continuité s'obtient presque toujours gratuitement : toute fonction dérivable est continue , et les polynômes, quotients et composées usuelles le sont sur leur ensemble de définition.

Un exemple rédigé

Montrer que $x^3 + 2x - 5 = 0$ admet une unique solution sur $\bigl[1 \ ; \ 2\bigr]$.

Rédaction :

$$ f(x) = x^3 + 2x - 5 $$

$f$ est un polynôme, donc dérivable sur $\mathbb{R}$, donc continue sur $\bigl[1 \ ; \ 2\bigr]$.

$$ f'(x) = 3x^2 + 2 > 0 $$

$f$ est donc strictement croissante sur cet intervalle. Enfin :

$$ f(1) = -2 \qquad f(2) = 7 $$

Comme $0$ est compris entre $-2$ et $7$, le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à une fonction strictement monotone donne :

$$ \text{une unique solution } \alpha \in \bigl] 1 \ ; \ 2 \bigr[ $$

La conclusion doit nommer l'intervalle ouvert : les bornes sont exclues puisque $f$ n'y prend pas la valeur cherchée.

Encadrer la solution

On calcule des images jusqu'à trouver un changement de signe sur un intervalle assez petit.

$x$	$1{,}3$	$1{,}31$	$1{,}32$
$f(x)$	$-0{,}203$	$-0{,}132$	$-0{,}060$

la solution est plus loin : le signe n'a pas encore changé

En poursuivant, $f(1{,}33) \approx 0{,}013$ : le signe change entre $1{,}32$ et $1{,}33$.

$$ 1{,}32 < \alpha < 1{,}33 $$

Le faire par dichotomie

Plutôt que d'essayer des valeurs au hasard, on coupe l'intervalle en deux à chaque étape.

def f(x):
    return x**3 + 2*x - 5

a = 1
b = 2
while b - a > 0.01:
    m = (a + b) / 2
    if f(m) < 0:
        a = m
    else:
        b = m
print(a, b)

Chaque tour divise l'amplitude par deux : sept tours suffisent à passer de $1$ à moins d'un centième. C'est bien plus rapide qu'un balayage , qui en demanderait cent.