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Les variations disent si la courbe monte ou descend. La convexité dit comment elle tourne : en creux ou en bosse, et à quel endroit elle change d'avis.
La dérivée seconde
Dérivée seconde
La dérivée seconde de \(f\), notée \(f''\), est la dérivée de sa dérivée.
Exemple :
Elle se calcule sans rien de nouveau : on dérive deux fois. Tout le chapitre consiste à savoir ce que son signe raconte.
Convexe, concave
Fonction convexe
Une fonction est convexe sur un intervalle si, entre deux points quelconques de sa courbe, la corde reste au-dessus de la courbe.
Elle est concave si la corde reste en dessous. Le mot se retient par la forme : une fonction convexe creuse un récipient, \(\bigcup\), une fonction concave forme une voûte, \(\bigcap\).
Convexe et concave ne se disent jamais d'une fonction tout court, mais toujours sur un intervalle. La fonction cube est concave sur \(\bigl]-\infty \ ; \ 0\bigr]\) et convexe sur \(\bigl[0 \ ; \ +\infty\bigr[\), et n'est donc ni l'un ni l'autre sur \(\mathbb{R}\).
Trois lectures d'une même chose
Pour une fonction deux fois dérivable, la définition par les cordes équivaut à trois autres énoncés - l'équivalence est admise :
\(f\) est convexe sur \(I\) |
\(f\) est concave sur \(I\) |
|---|---|
les cordes sont au-dessus |
les cordes sont en dessous |
la courbe est au-dessus de ses tangentes |
la courbe est en dessous de ses tangentes |
\(f'\) est croissante sur \(I\) |
\(f'\) est décroissante sur \(I\) |
\(f''\) est positive sur \(I\) |
\(f''\) est négative sur \(I\) |
Pourquoi la courbe reste au-dessus de ses tangentes
Supposons \(f''\) positive sur un intervalle \(I\), et fixons un point \(a\) de \(I\).
La tangente en \(a\) a pour équation \(y = f(a) + f'(a)(x - a)\). Posons :
C'est l'écart entre la courbe et sa tangente. Il s'agit de montrer que \(g\) est positive.
Comme \(f''\) est positive, \(f'\) est croissante. Donc \(f'(x) \geqslant f'(a)\) pour \(x \geqslant a\), et \(f'(x) \leqslant f'(a)\) pour \(x \leqslant a\) :
La fonction \(g\) décroît donc jusqu'en \(a\), puis croît : elle atteint son minimum en \(a\).
Or \(g(a) = f(a) - f(a) - 0 = 0\). Ce minimum vaut zéro, donc \(g\) est positive partout :
Le point d'inflexion
Point d'inflexion
Un point d'inflexion est un point où la courbe change de convexité : elle traverse sa tangente au lieu de rester d'un côté.
La condition \(f''(a) = 0\) ne suffit pas. Pour \(f(x) = x^4\), \(f''(x) = 12x^2\) s'annule en \(0\) sans changer de signe : la fonction reste convexe, et il n'y a pas d'inflexion. C'est le changement de signe qui compte, pas l'annulation.
Exemple :
Pour \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 5\), la dérivée seconde vaut \(6x - 12\) :
$$ x $$ |
$$ -\infty $$ |
$$ 2 $$ |
$$ +\infty $$ |
||
|---|---|---|---|---|---|
$$ f''(x) $$ |
$$ - $$ |
$$ 0 $$ |
$$ + $$ |
||
$$ f $$ |
$$ \bigcap $$ |
$$ \bigcup $$ |
|||
Lire la convexité sur une courbe
Tout dépend de ce que la courbe représente. Trois lectures différentes, et c'est la confusion la plus fréquente du chapitre.
La courbe donnée est celle de… |
\(f\) est convexe là où… |
|---|---|
\(f\) |
la courbe tourne en creux, \(\bigcup\) |
\(f'\) |
la courbe monte |
\(f''\) |
la courbe est au-dessus de l'axe |
Démontrer une inégalité
C'est l'usage le plus élégant de la convexité : une inégalité à établir se lit comme une position par rapport à une tangente.
Exemple :
Montrons que \(\ln(x) \leqslant x - 1\) pour tout \(x > 0\).
-
la dérivée seconde du logarithme vaut \(-\frac{1}{x^2}\), négative sur \(\bigl]0 \ ; \ +\infty\bigr[\) : la fonction y est concave
-
sa tangente en \(1\) a pour équation \(y = \ln(1) + \frac{1}{1}(x - 1)\), soit \(y = x - 1\)
-
une fonction concave reste en dessous de ses tangentes
La méthode se reconnaît à la forme de l'inégalité : un membre affine face à une fonction convexe ou concave. Ce membre affine est l'équation d'une tangente, et il reste à trouver en quel point.