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La convexité

La dérivée seconde décrit la forme d'une courbe, au-delà de son sens de variation, et sert à prouver des inégalités.

Deux toboggans partent de la même hauteur et arrivent au même endroit. Le premier plonge d'abord, le second s'incline doucement avant de finir raide.

Deux toboggans de même départ et même arrivée : l'un creux, l'autre bombé
\(\text{convexe}\)
\(\text{concave}\)
 Deux toboggans de même départ et même arrivée : l'un creux, l'autre bombé - support à compléter

Les deux descendent, mais pas de la même façon : l'un accélère tôt, l'autre tard.

La convexité ne dit pas si la courbe monte ou descend, mais si sa pente s'accélère : c'est le signe de la dérivée seconde.

Les variations disent si la courbe monte ou descend. La convexité dit comment elle tourne : en creux ou en bosse, et à quel endroit elle change d'avis.

La dérivée seconde

Dérivée seconde

La dérivée seconde de \(f\), notée \(f''\), est la dérivée de sa dérivée.

$$ f'' = \bigl(f'\bigr)' $$

Exemple :

$$ f(x) = x^3 - 6x^2 + 5 \hspace{2em} f'(x) = 3x^2 - 12x \hspace{2em} f''(x) = 6x - 12 $$

Elle se calcule sans rien de nouveau : on dérive deux fois. Tout le chapitre consiste à savoir ce que son signe raconte.

Convexe, concave

Fonction convexe

Une fonction est convexe sur un intervalle si, entre deux points quelconques de sa courbe, la corde reste au-dessus de la courbe.

Elle est concave si la corde reste en dessous. Le mot se retient par la forme : une fonction convexe creuse un récipient, \(\bigcup\), une fonction concave forme une voûte, \(\bigcap\).

Convexe et concave ne se disent jamais d'une fonction tout court, mais toujours sur un intervalle. La fonction cube est concave sur \(\bigl]-\infty \ ; \ 0\bigr]\) et convexe sur \(\bigl[0 \ ; \ +\infty\bigr[\), et n'est donc ni l'un ni l'autre sur \(\mathbb{R}\).

Trois lectures d'une même chose

Pour une fonction deux fois dérivable, la définition par les cordes équivaut à trois autres énoncés - l'équivalence est admise :

\(f\) est convexe sur \(I\)
\(f\) est concave sur \(I\)
les cordes sont au-dessus
les cordes sont en dessous
la courbe est au-dessus de ses tangentes
la courbe est en dessous de ses tangentes
\(f'\) est croissante sur \(I\)
\(f'\) est décroissante sur \(I\)
\(f''\) est positive sur \(I\)
\(f''\) est négative sur \(I\)
quatre façons de dire la même chose - la dernière est celle qui se calcule

La dérivée seconde tranche à elle seule, sans qu'il soit besoin de tracer la courbe :

$$ f'' \geqslant 0 \ \text{sur} \ I \quad \Longleftrightarrow \quad f \ \text{est convexe sur} \ I $$
$$ f'' \leqslant 0 \ \text{sur} \ I \quad \Longleftrightarrow \quad f \ \text{est concave sur} \ I $$

Position de la courbe par rapport à ses tangentes

Supposons \(f''\) positive sur un intervalle \(I\), et fixons un point \(a\) de \(I\).

La tangente en \(a\) a pour équation \(y = f(a) + f'(a)(x - a)\). Posons :

$$ g(x) = f(x) - f(a) - f'(a)(x - a) $$

C'est l'écart entre la courbe et sa tangente. Il s'agit de montrer que \(g\) est positive.

$$ g'(x) = f'(x) - f'(a) $$

Comme \(f''\) est positive, \(f'\) est croissante. Donc \(f'(x) \geqslant f'(a)\) pour \(x \geqslant a\), et \(f'(x) \leqslant f'(a)\) pour \(x \leqslant a\) :

$$ g' \leqslant 0 \ \text{avant} \ a, \hspace{2em} g' \geqslant 0 \ \text{après} \ a $$

La fonction \(g\) décroît donc jusqu'en \(a\), puis croît : elle atteint son minimum en \(a\).

Or \(g(a) = f(a) - f(a) - 0 = 0\). Ce minimum vaut zéro, donc \(g\) est positive partout :

$$ f(x) \geqslant f(a) + f'(a)(x - a) $$

Le point d'inflexion

Point d'inflexion

Un point d'inflexion est un point où la courbe change de convexité : elle traverse sa tangente au lieu de rester d'un côté.

$$ f'' \ \text{s'annule en} \ a \ \textbf{et change de signe} \quad \Longleftrightarrow \quad \text{point d'inflexion en} \ a $$

La condition \(f''(a) = 0\) ne suffit pas. Pour \(f(x) = x^4\), \(f''(x) = 12x^2\) s'annule en \(0\) sans changer de signe : la fonction reste convexe, et il n'y a pas d'inflexion. C'est le changement de signe qui compte, pas l'annulation.

Exemple :

Pour \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 5\), la dérivée seconde vaut \(6x - 12\) :

$$ x $$
$$ -\infty $$
$$ 2 $$
$$ +\infty $$
$$ f''(x) $$
$$ - $$
$$ 0 $$
$$ + $$
$$ f $$
$$ \bigcap $$
$$ \bigcup $$
concave, puis convexe : la courbe change de convexité en \(x = 2\)
$$ \text{point d'inflexion en} \ x = 2 $$

Lire la convexité sur une courbe

Tout dépend de ce que la courbe représente. Trois lectures différentes, et c'est la confusion la plus fréquente du chapitre.

La courbe donnée est celle de…
\(f\) est convexe là où…
\(f\)
la courbe tourne en creux, \(\bigcup\)
\(f'\)
la courbe monte
\(f''\)
la courbe est au-dessus de l'axe
et le point d'inflexion est, respectivement, le changement de courbure, l'extremum, le changement de signe

Démontrer une inégalité

C'est l'usage le plus élégant de la convexité : une inégalité à établir se lit comme une position par rapport à une tangente.

Exemple :

Montrons que \(\ln(x) \leqslant x - 1\) pour tout \(x > 0\).

  1. la dérivée seconde du logarithme vaut \(-\frac{1}{x^2}\), négative sur \(\bigl]0 \ ; \ +\infty\bigr[\) : la fonction y est concave
  2. sa tangente en \(1\) a pour équation \(y = \ln(1) + \frac{1}{1}(x - 1)\), soit \(y = x - 1\)
  3. une fonction concave reste en dessous de ses tangentes
$$ \ln(x) \leqslant x - 1 \hspace{2em} \text{pour tout} \ x > 0 $$

La méthode se reconnaît à la forme de l'inégalité : un membre affine face à une fonction convexe ou concave. Ce membre affine est l'équation d'une tangente, et il reste à trouver en quel point.