Problèmes sur la convexité en terminale

Un coût qui cesse de s'améliorer, une épidémie qui ralentit, une inégalité à établir : trois situations où ce n'est pas le sens de variation qui répond, mais la façon dont la courbe tourne.

Calculer une dérivée seconde et étudier son signe.
Déterminer un point d'inflexion et l'interpréter dans le contexte.
Démontrer une inégalité en utilisant la convexité d'une fonction.

Le seuil de rendement

Le coût total de production de $q$ tonnes d'un matériau, en centaines d'euros, est modélisé sur $\bigl[0 \ ; \ 60\bigr]$ par :

$$ C(q) = 0{,}01 \, q^3 - 0{,}6 \, q^2 + 13 \, q + 100 $$

Calculer $C'(q)$, puis $C''(q)$.

$$ C'(q) = 0{,}03 \, q^2 - 1{,}2 \, q + 13 $$

$$ C''(q) = 0{,}06 \, q - 1{,}2 $$
Étudier le signe de $C''$, et en déduire la convexité de $C$.

$C''(q) = 0$ pour $q = \frac{1{,}2}{0{,}06} = 20$, et $C''$ est croissante.

$$ C \ \text{est concave sur} \ \bigl[0 \ ; \ 20\bigr], \ \text{convexe sur} \ \bigl[20 \ ; \ 60\bigr] $$
Le coût marginal est $C'(q)$. Interpréter le point d'inflexion pour le producteur.

$C'$ décroît jusqu'à $q = 20$, puis croît : chaque tonne supplémentaire coûte de moins en moins cher jusqu'à vingt tonnes, puis de plus en plus.

$$ q = 20 \ \text{tonnes : le seuil de rendement} $$

Ce n'est pas le coût qui baisse - il ne cesse d'augmenter - mais la vitesse à laquelle il augmente.

L'épidémie qui ralentit

Le nombre de nouveaux cas quotidiens, $t$ jours après le début d'une épidémie, est modélisé sur $\bigl[0 \ ; \ 30\bigr]$ par :

$$ f(t) = 40 \, t \, e^{-0{,}2 \, t} $$

Montrer que $f'(t) = 40 \, e^{-0{,}2 \, t} \bigl(1 - 0{,}2 \, t\bigr)$.

C'est un produit, avec $u(t) = 40t$ et $v(t) = e^{-0{,}2t}$ :

$$ f'(t) = 40 \, e^{-0{,}2t} + 40 \, t \times \bigl(-0{,}2\bigr) e^{-0{,}2t} $$

$$ f'(t) = 40 \, e^{-0{,}2t} \bigl(1 - 0{,}2 \, t\bigr) $$
En déduire le jour du pic épidémique, et le nombre de cas ce jour-là.

L'exponentielle étant strictement positive, $f'$ a le signe de $1 - 0{,}2t$, qui s'annule en $t = 5$.

$$ f(5) = 200 \, e^{-1} \approx 73{,}6 \ \text{cas au cinquième jour} $$
Montrer que $f''(t) = 1{,}6 \, e^{-0{,}2 \, t} \bigl(t - 10\bigr)$.

On dérive le produit $40e^{-0{,}2t} \times (1 - 0{,}2t)$ :

$$ f''(t) = -8 \, e^{-0{,}2t} \bigl(1 - 0{,}2t\bigr) + 40 \, e^{-0{,}2t} \times \bigl(-0{,}2\bigr) $$

$$ f''(t) = e^{-0{,}2t} \bigl(-8 + 1{,}6 \, t - 8\bigr) = e^{-0{,}2t} \bigl(1{,}6 \, t - 16\bigr) $$

$$ f''(t) = 1{,}6 \, e^{-0{,}2t} \bigl(t - 10\bigr) $$
Déterminer le point d'inflexion, et l'interpréter.

$f''$ a le signe de $t - 10$ : négative avant $10$, positive après.

$$ \text{point d'inflexion en} \ t = 10 $$

Le pic était au cinquième jour. Le dixième est celui où la décroissance, jusque-là de plus en plus rapide, commence à ralentir : l'épidémie reflue toujours, mais de moins en moins vite.

L'inégalité par la tangente

Il s'agit d'établir que, pour tout réel $x$ :

$$ e^x \geqslant 1 + x $$

Calculer la dérivée seconde de la fonction exponentielle, et en déduire sa convexité.

La fonction exponentielle est sa propre dérivée, donc sa dérivée seconde vaut $e^x$, strictement positive.

$$ \text{la fonction exponentielle est convexe sur} \ \mathbb{R} $$
Déterminer l'équation de sa tangente au point d'abscisse $0$.

$$ y = f(0) + f'(0) \, (x - 0) = 1 + 1 \times x $$

$$ y = 1 + x $$
Conclure.

La courbe d'une fonction convexe reste au-dessus de chacune de ses tangentes, donc :

$$ e^x \geqslant 1 + x \qquad \text{pour tout réel } x $$
En appliquant l'inégalité à $x = \frac{1}{2}$, obtenir une minoration de $e$ meilleure que $e \geqslant 2$.

$$ e^{\frac{1}{2}} \geqslant 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} $$

Les deux membres étant positifs, on peut élever au carré sans changer le sens :

$$ e \geqslant \frac{9}{4} = 2{,}25 $$

Prise en $x = 1$, l'inégalité ne donnait que $e \geqslant 2$. Appliquée à une valeur plus proche de zéro, là où la tangente colle mieux à la courbe, elle resserre l'encadrement.