Problèmes sur la convexité en terminale

Un coût qui cesse de s'améliorer, une épidémie qui ralentit, une inégalité à établir : trois situations où ce n'est pas le sens de variation qui répond, mais la façon dont la courbe tourne.

Calculer une dérivée seconde et étudier son signe.
Déterminer un point d'inflexion et l'interpréter dans le contexte.
Démontrer une inégalité en utilisant la convexité d'une fonction.

Le seuil de rendement

Le coût total de production de $q$ tonnes d'un matériau, en centaines d'euros, est modélisé sur $\bigl[0 \ ; \ 60\bigr]$ par :

$$ C(q) = 0.01 \, q^3 - 0.6 \, q^2 + 13 \, q + 100 $$

Calculer $C'(q)$, puis $C''(q)$.

$$ C'(q) = 0.03 \, q^2 - 1.2 \, q + 13 $$

$$ C''(q) = 0.06 \, q - 1.2 $$
Étudier le signe de $C''$, et en déduire la convexité de $C$.

$C''(q) = 0$ pour $q = \frac{1.2}{0.06} = 20$, et $C''$ est croissante.

$$ C \ \text{est concave sur} \ \bigl[0 \ ; \ 20\bigr], \ \text{convexe sur} \ \bigl[20 \ ; \ 60\bigr] $$
Le coût marginal est $C'(q)$. Interpréter le point d'inflexion pour le producteur.

$C'$ décroît jusqu'à $q = 20$, puis croît : chaque tonne supplémentaire coûte de moins en moins cher jusqu'à vingt tonnes, puis de plus en plus.

$$ q = 20 \ \text{tonnes : le seuil de rendement} $$

Ce n'est pas le coût qui baisse - il ne cesse d'augmenter - mais la vitesse à laquelle il augmente.

L'épidémie qui ralentit

Le nombre de nouveaux cas quotidiens, $t$ jours après le début d'une épidémie, est modélisé sur $\bigl[0 \ ; \ 30\bigr]$ par :

$$ f(t) = 40 \, t \, e^{-0.2 \, t} $$

Montrer que $f'(t) = 40 \, e^{-0.2 \, t} \bigl(1 - 0.2 \, t\bigr)$.

C'est un produit, avec $u(t) = 40t$ et $v(t) = e^{-0.2t}$ :

$$ f'(t) = 40 \, e^{-0.2t} + 40 \, t \times \bigl(-0.2\bigr) e^{-0.2t} $$

$$ f'(t) = 40 \, e^{-0.2t} \bigl(1 - 0.2 \, t\bigr) $$
En déduire le jour du pic épidémique, et le nombre de cas ce jour-là.

L'exponentielle étant strictement positive, $f'$ a le signe de $1 - 0.2t$, qui s'annule en $t = 5$.

$$ f(5) = 200 \, e^{-1} \approx 73.6 \ \text{cas au cinquième jour} $$
Montrer que $f''(t) = 1.6 \, e^{-0.2 \, t} \bigl(t - 10\bigr)$.

On dérive le produit $40e^{-0.2t} \times (1 - 0.2t)$ :

$$ f''(t) = -8 \, e^{-0.2t} \bigl(1 - 0.2t\bigr) + 40 \, e^{-0.2t} \times \bigl(-0.2\bigr) $$

$$ f''(t) = e^{-0.2t} \bigl(-8 + 1.6 \, t - 8\bigr) = e^{-0.2t} \bigl(1.6 \, t - 16\bigr) $$

$$ f''(t) = 1.6 \, e^{-0.2t} \bigl(t - 10\bigr) $$
Déterminer le point d'inflexion, et l'interpréter.

$f''$ a le signe de $t - 10$ : négative avant $10$, positive après.

$$ \text{point d'inflexion en} \ t = 10 $$

Le pic était au cinquième jour. Le dixième est celui où la décroissance, jusque-là de plus en plus rapide, commence à ralentir : l'épidémie reflue toujours, mais de moins en moins vite.

L'inégalité par la tangente

Il s'agit d'établir que, pour tout réel $x$ :

$$ e^x \geqslant 1 + x $$

Calculer la dérivée seconde de la fonction exponentielle, et en déduire sa convexité.

La fonction exponentielle est sa propre dérivée, donc sa dérivée seconde vaut $e^x$, strictement positive.

$$ \text{la fonction exponentielle est convexe sur} \ \mathbb{R} $$
Déterminer l'équation de sa tangente au point d'abscisse $0$.

$$ y = f(0) + f'(0) \, (x - 0) = 1 + 1 \times x $$

$$ y = 1 + x $$
Conclure.

La courbe d'une fonction convexe reste au-dessus de chacune de ses tangentes, donc :

$$ e^x \geqslant 1 + x \hspace{2em} \text{pour tout réel } x $$
En appliquant l'inégalité à $x = \frac{1}{2}$, obtenir une minoration de $e$ meilleure que $e \geqslant 2$.

$$ e^{\frac{1}{2}} \geqslant 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} $$

Les deux membres étant positifs, on peut élever au carré sans changer le sens :

$$ e \geqslant \frac{9}{4} = 2.25 $$

Prise en $x = 1$, l'inégalité ne donnait que $e \geqslant 2$. Appliquée à une valeur plus proche de zéro, là où la tangente colle mieux à la courbe, elle resserre l'encadrement.

Le fond du bassin

Un bassin de rétention est creusé selon un profil que le bureau d'études règle par un réel $a$. Pour une abscisse $x$ comprise entre $- 3$ et $3$ mètres, la profondeur du fond, comptée vers le haut en décimètres, vaut :

$$ f_a(x) = x^4 + a \, x^3 + 6 \, x^2 $$

Pour que l'eau rejoigne le point bas sans jamais rencontrer de replat, le profil doit être convexe sur tout l'intervalle : aucun point d'inflexion ne doit y apparaître. Le bureau d'études cherche donc les réglages admissibles.

Calculer $f_a'(x)$, puis $f_a''(x)$.

$$ f_a'(x) = 4 \, x^3 + 3 \, a \, x^2 + 12 \, x $$

$$ f_a''(x) = 12 \, x^2 + 6 \, a \, x + 12 $$
Déterminer toutes les valeurs de $a$ pour lesquelles le profil est convexe sur $\mathbb{R}$.

Le profil est convexe sur $\mathbb{R}$ si et seulement si $f_a''(x) \geqslant 0$ pour tout réel $x$. Ce trinôme du second degré a pour coefficient dominant $12$, strictement positif : il reste positif sur $\mathbb{R}$ si et seulement si son discriminant est négatif ou nul.

$$ \Delta = \bigl( 6a \bigr)^2 - 4 \times 12 \times 12 = 36 \, a^2 - 576 $$

$$ \Delta \leqslant 0 \quad \Longleftrightarrow \quad a^2 \leqslant 16 $$

$$ a \in \bigl[ - 4 \ ; \ 4 \bigr] $$

Et ces valeurs conviennent toutes : hors de cet intervalle, $\Delta > 0$, le trinôme change deux fois de signe, donc $f_a''$ s'annule en changeant de signe - il y a bien un point d'inflexion.
Le bureau d'études voudrait $a = 6$, qui décale le fond vers la gauche. Déterminer les points d'inflexion du profil correspondant, et l'intervalle sur lequel il est concave.

$$ f_6''(x) = 12 \, x^2 + 36 \, x + 12 = 12 \bigl( x^2 + 3x + 1 \bigr) $$

$$ \Delta = 9 - 4 = 5 \hspace{2em} x_1 = \frac{- 3 - \sqrt{5}}{2} \approx - 2.62 \hspace{2em} x_2 = \frac{- 3 + \sqrt{5}}{2} \approx - 0.38 $$

Le trinôme est négatif entre ses racines, donc $f_6''$ aussi :

$$ \text{profil concave sur} \ \bigl[ x_1 \ ; \ x_2 \bigr] \text{, deux points d'inflexion} $$

Sur ces deux mètres, la paroi se retourne : une lame d'eau s'y arrête au lieu de descendre. C'est exactement le replat que le cahier des charges interdit.
Indiquer le réglage admissible le plus proche de $6$, et justifier soigneusement qu'il convient, bien que sa dérivée seconde s'y annule.

D'après la question 2, le plus grand réglage admissible est $a = 4$. Pour cette valeur :

$$ f_4''(x) = 12 \, x^2 + 24 \, x + 12 = 12 \bigl( x^2 + 2x + 1 \bigr) = 12 \bigl( x + 1 \bigr)^2 $$

Un carré est toujours positif : $f_4''$ reste positive, le profil est convexe. Elle s'annule en $x = - 1$, mais sans changer de signe - et c'est le changement de signe, non l'annulation, qui fait un point d'inflexion.

$$ a = 4 \ \text{convient : la courbe reste convexe, sans point d'inflexion} $$

En $x = - 1$, la courbe est simplement « plus plate qu'ailleurs » : elle colle à sa tangente sur une plus grande longueur, sans jamais passer en dessous.

Tout produire le même jour ?

Un atelier de découpe doit livrer $120$ pièces. Ouvrir l'atelier une journée coûte $400 \ \text{€}$, quel que soit le nombre de pièces produites ce jour-là. À cela s'ajoute, pour une journée où l'on produit $q$ pièces, un coût variable :

$$ v(q) = 0.05 \, q^2 + 2 \, q $$

Le contremaître propose de tout faire en une journée, « pour ne payer l'ouverture qu'une fois ». Son adjoint propose deux journées de $60$ pièces, « parce que le coût variable s'emballe ».

Calculer le coût total de chacune des deux propositions.

En une journée :

$$ v(120) + 400 = 0.05 \times 14 \ 400 + 240 + 400 = 720 + 240 + 400 = 1 \ 360 $$

En deux journées de $60$ pièces :

$$ 2 \bigl( v(60) + 400 \bigr) = 2 \bigl( 180 + 120 + 400 \bigr) = 2 \times 700 = 1 \ 400 $$

$$ 1 \ 360 \ \text{€ contre} \ 1 \ 400 \ \text{€ : le contremaître l'emporte de} \ 40 \ \text{€} $$
Démontrer que $v$ est convexe sur $\bigl[ 0 \ ; \ + \infty \bigr[$, puis, en utilisant la position de la courbe par rapport à ses tangentes, établir que pour tous réels positifs $x$ et $y$ :

$$ v(x) + v(y) \geqslant 2 \, v \left( \frac{x + y}{2} \right) $$

$$ v'(q) = 0.1 \, q + 2 \hspace{2em} v''(q) = 0.1 > 0 $$

$v$ est donc convexe, et sa courbe reste au-dessus de chacune de ses tangentes. Posons $m = \frac{x + y}{2}$ et écrivons cette position pour la tangente en $m$, une fois en $x$, une fois en $y$ :

$$ v(x) \geqslant v(m) + v'(m) \bigl( x - m \bigr) $$

$$ v(y) \geqslant v(m) + v'(m) \bigl( y - m \bigr) $$

On additionne membre à membre, et l'on remarque que $x + y - 2m = 0$ :

$$ v(x) + v(y) \geqslant 2 \, v(m) + v'(m) \bigl( x + y - 2m \bigr) $$

$$ v(x) + v(y) \geqslant 2 \, v \left( \frac{x + y}{2} \right) $$

Autrement dit : à quantité totale fixée, le coût variable est le plus faible quand on répartit à parts égales.
L'adjoint avait donc raison sur le coût variable, et tort sur le total. Déterminer toutes les commandes $Q$ pour lesquelles sa proposition deviendrait la moins chère.

Pour une commande de $Q$ pièces, les deux propositions coûtent :

$$ C_1(Q) = 0.05 \, Q^2 + 2 \, Q + 400 $$

$$ C_2(Q) = 2 \left( 0.05 \times \frac{Q^2}{4} + Q + 400 \right) = 0.025 \, Q^2 + 2 \, Q + 800 $$

On compare, et les termes en $2Q$ se simplifient :

$$ C_2(Q) < C_1(Q) \quad \Longleftrightarrow \quad 400 < 0.025 \, Q^2 \quad \Longleftrightarrow \quad Q^2 > 16 \ 000 $$

$$ Q > \sqrt{16 \ 000} = 40 \sqrt{10} \approx 126.5 $$

$$ \text{à partir de} \ 127 \ \text{pièces, les deux journées l'emportent} $$
Rédiger la consigne que l'atelier peut afficher, et expliquer pourquoi la convexité seule ne suffisait pas à trancher.

$$ \text{jusqu'à} \ 126 \ \text{pièces, une seule journée ; au-delà, deux journées égales} $$

La convexité ne parle que du coût variable, et elle est sans appel : étaler fait toujours baisser cette part-là. Mais l'ouverture de l'atelier ne dépend pas de $q$ ; la fractionner, c'est la payer deux fois.

Les deux effets vont en sens contraire, et le second est constant quand le premier grandit avec $Q^2$ : il existe donc une commande à partir de laquelle la convexité l'emporte. La commande de $120$ pièces passe tout près - six pièces de plus, et la réponse changeait.