Méthode générale pour l'étude d'une fonction (variations, convexité)

Le calcul de la dérivée d'une fonction peut nous donner des indications sur le sens de variation , ainsi que sur l'allure de la courbe de cette fonction .

L'étude des variations d'une fonction : $ (\nearrow \ , \searrow \ , \longrightarrow) $

À partir du résultat de la dérivée , on peut en conclure les variations de la fonction.

Le signe de la dérivée indique le sens de variation de la fonction

Derivee sens de variation — lien entre signe de la dérivée et sens de variation

Voici les différents cas selon le signe de la dérivée $f'$ :

$$ \forall x \in \hspace{0.03em} \mathcal{D}_f, $$

$$ f'(x) \geqslant 0 \Longleftrightarrow f \ est \ croissante $$

$$ f'(x) \leqslant 0 \Longleftrightarrow f \ est \ d\textit{é}croissante $$

$$ f'(x) = 0 \Longleftrightarrow f \ est \ constante $$

Sinon, pour tout point d'abscisse fixe $(x=a)$, et toute valeur $\varepsilon$ proche de 0 :

$$ \Bigl[ f'(a) = 0 \Bigr] \text{ et } \Bigl[f'(x) \ change \ de \ signe \ entre \ (a - \varepsilon) \text{ et } (a + \varepsilon) \Bigr] \Longleftrightarrow f \ admet \ un \ extremum \ local \ en \ (x=a) $$

Déterminer les variations d'une fonction

Pour déterminer en détails les variations d'une fonction :

on calcule l'expression de la dérivée
on factorise cette expression
on construit un tableau de signe

Exemple :

$$ f(X) = 2X^3 - 3X^2 + X - 1 $$

On calcule l'expression de la dérivée $f'$ :

$$ f'(X) = 6X^2 - 6X + 1 $$

Après calcul du déterminant $\Delta$ , on obtient la forme factorisée suivante :

$$ f'(X) = 6(X - X_1)(X-X_2) $$

$$ avec \enspace \left \{ \begin{gather*} X_1 = \frac{6 - \sqrt{12}}{12} \\ X_2 = \frac{6 + \sqrt{12}}{12} \end{gather*} \right \} $$

Enfin , on construit un tableau de signe :

$$ X $$	$$ -\infty $$	$$ X_1 $$		$$ X_2 $$
$$ 6 $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$
$$ ( X-X_1) $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$
$$ (X-X_2) $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$			$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$
$$ f'(X) = 6(X - X_1)(X-X_2) $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$
$$ f(X) $$		$$ f(X_1) $$		$$ f(X_2) $$

L'étude de la convexité d'une fonction : $ \left(\ \bigcup \ , \ \bigcap \ \right) $

Grâce au résultat précédent, le signe de la dériveé seconde indique le sens de variation de la dérivée.

Et les variations de cette dérivée nous indiquera que la fonction initiale est :

convexe : lorsque la dérivée est croissante
concave : lorsque la dérivée est décroissante

Alors, à partir du résultat de la dérivée seconde , on peut en conclure la convexité de la fonction.

Le signe de la dérivée seconde indique la convexité de la fonction

Convexite — lien entre signe de la dérivée séconde et la convexité

Voici les différents cas selon le signe de la dérivée seconde $f''$ :

$$ \forall x \in \hspace{0.03em} \mathcal{D}_f, $$

$$ f''(x) \geqslant 0 \Longleftrightarrow f \ est \ convexe $$

$$ f''(x) \leqslant 0 \Longleftrightarrow f \ est \ concave $$

Sinon, pour tout point d'abscisse fixe $(x=a)$, et toute valeur $\varepsilon$ proche de 0 :

$$ \Bigl[ f''(a) = 0 \Bigr] \text{ et } \Bigl[f''(x) \ change \ de \ signe \ entre \ (a - \varepsilon) \text{ et } (a + \varepsilon) \Bigr] \Longleftrightarrow f \ admet \ un \ point \ d'inflexion \ en \ (x=a) $$

Déterminer la convexité d'une fonction

Pour déterminer la convexité d'une fonction, on suit les mêmes étapes que pour la détermination du sens, mais en utilisant cette fois la dérivée seconde :

Exemple :

En reprenant l'exemple précédent,

$$ f(X) = 2X^3 - 3X^2 + X - 1 $$

$$ f'(X) = 6X^2 - 6X + 1 $$

Sa dérivée seconde vaut :

$$ f''(X) = 12X - 6 $$

$$ f''(X_3) = 0 \Longleftrightarrow X_3 = \frac{1}{2} $$

$$ X $$	$$ -\infty $$	$$ X_1 $$	$$ X_3 $$		$$ X_2 $$
$$ f'' $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$		$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$
$$ f' $$		$$ f(X_1) = 0 $$	$$ f' \left( X_3 \right) $$		$$ f(X_2) = 0 $$
$$ f $$	$$ (concave) $$		$$ f \left( X_3 \right) $$ $$ (inflexion) $$	$$ (convexe) $$
$$ f $$		$$ f(X_1) $$	$$ f(X_3) $$		$$ f(X_2) $$

Fonction exemple — la fonction utilisée pour l'exemple : $f(X) = 2X^3 - 3X^2 + X - 1$

Méthode générale pour l'étude d'une fonction (variations, convexité)

L'étude des variations d'une fonction : \( (\nearrow \ , \searrow \ , \longrightarrow) \)

Déterminer les variations d'une fonction

L'étude de la convexité d'une fonction : \( \left(\ \bigcup \ , \ \bigcap \ \right) \)

Déterminer la convexité d'une fonction