Problèmes sur la dérivation en terminale

Un signal qui culmine, une distance qui ne descend jamais sous un seuil, une boîte à fabriquer au moindre coût : trois fois la même démarche - dériver, lire le signe, conclure.

Calculer la dérivée d'une fonction mêlant produit, quotient et composition.
Étudier les variations d'une fonction et déterminer un extremum.
Résoudre un problème d'optimisation en le ramenant à une seule variable.

Le signal amorti

L'intensité d'un signal, en volts, est modélisée sur $\bigl[0 \ ; \ 5\bigr]$ par :

$$ f(x) = (2x + 1) \, e^{-x} $$

Montrer que $f'(x) = (1 - 2x) \, e^{-x}$.

C'est un produit, avec $u(x) = 2x + 1$ et $v(x) = e^{-x}$ :

$$ f'(x) = 2 \, e^{-x} + (2x + 1) \times \bigl(-e^{-x}\bigr) $$

$$ f'(x) = e^{-x} \bigl(2 - 2x - 1\bigr) $$

$$ f'(x) = (1 - 2x) \, e^{-x} $$
Étudier le signe de $f'$, et dresser le tableau de variations.

L'exponentielle est strictement positive : $f'$ a le signe de $1 - 2x$, qui s'annule en $0.5$.

$$ f \ \text{croît sur} \ \bigl[0 \ ; \ 0.5\bigr], \ \text{décroît sur} \ \bigl[0.5 \ ; \ 5\bigr] $$
Déterminer l'intensité maximale, et l'instant où elle est atteinte.

$$ f(0.5) = 2 \, e^{-0.5} $$

$$ f(0.5) \approx 1.21 \ \text{V, atteinte en} \ x = 0.5 $$

La distance au point fixe

On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$ f(x) = \sqrt{x^2 + 3} $$

Justifier que $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier.

$x^2 + 3$ est strictement positif pour tout réel, puisque $x^2 \geqslant 0$.
Calculer $f'(x)$.

C'est une composée, de la forme $\sqrt{u}$, dont la dérivée vaut $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ :

$$ f'(x) = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 3}} $$

$$ f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 3}} $$
En déduire les variations de $f$, et son minimum.

Le dénominateur est strictement positif : $f'$ a le signe de $x$.

$f$ décroît sur $\bigl]-\infty \ ; \ 0\bigr]$, puis croît.

$$ f(0) = \sqrt{3} \approx 1.73 \ \text{est le minimum} $$
Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.

$x^2 + 3$ tend vers $+\infty$, et la racine carrée d'une quantité qui tend vers $+\infty$ aussi :

$$ \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty $$

La boîte de conserve

On veut fabriquer une boîte cylindrique de $1$ litre, soit $1 \ 000 \ \text{cm}^3$, en utilisant le moins de métal possible. On note $r$ le rayon de la base et $h$ la hauteur, en centimètres.

Exprimer $h$ en fonction de $r$, puis montrer que la surface totale vaut $S(r) = 2\pi r^2 + \frac{2 \ 000}{r}$.

Le volume vaut $\pi r^2 h = 1 \ 000$, donc $h = \frac{1 \ 000}{\pi r^2}$.

La surface est celle des deux disques et du tour :

$$ S = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r^2 + 2\pi r \times \frac{1 \ 000}{\pi r^2} $$

$$ S(r) = 2\pi r^2 + \frac{2 \ 000}{r} $$
Calculer $S'(r)$, et étudier son signe sur $\bigl]0 \ ; \ +\infty\bigr[$.

$$ S'(r) = 4\pi r - \frac{2 \ 000}{r^2} = \frac{4\pi r^3 - 2 \ 000}{r^2} $$

Le dénominateur est positif : $S'$ a le signe de $4\pi r^3 - 2 \ 000$, qui s'annule pour :

$$ r^3 = \frac{500}{\pi} \quad \text{soit} \quad r \approx 5.42 \ \text{cm} $$
Donner les dimensions optimales, et commenter le rapport entre $h$ et $r$.

$$ h = \frac{1 \ 000}{\pi \times 5.42^2} \approx 10.84 \ \text{cm} $$

$$ r \approx 5.42 \ \text{cm} \ , \ h \approx 10.84 \ \text{cm} $$

La hauteur vaut exactement le double du rayon : la boîte la plus économe est celle dont la hauteur égale le diamètre. Peu de conserves du commerce ont cette forme - le coût du métal n'est pas le seul critère.

Les rayons rasants du projecteur

Vue de dessus, la paroi courbe qui ferme le fond d'une scène suit la parabole d'équation $y = \frac{x^2}{4}$, pour $x$ compris entre $- 6$ et $6$, les longueurs étant en mètres. Un projecteur ponctuel est installé au point $P(3 \ ; \ 2)$.

Un rayon est dit rasant lorsqu'il touche la paroi sans la traverser, c'est-à-dire lorsqu'il suit une tangente à la parabole. L'éclairagiste veut savoir combien de rayons rasants partent de son projecteur.

Vérifier que $P$ n'est pas sur la paroi, puis établir que la tangente à la parabole au point d'abscisse $a$ a pour équation :

$$ y = \frac{a}{2} \, x - \frac{a^2}{4} $$

La paroi passe en $x = 3$ par le point d'ordonnée $\frac{9}{4} = 2.25$, et non $2$ : $P$ est en deçà de la paroi.

On note $f(x) = \frac{x^2}{4}$, donc $f'(x) = \frac{x}{2}$. La tangente au point d'abscisse $a$ a pour équation :

$$ y = f'(a) \bigl( x - a \bigr) + f(a) = \frac{a}{2} \bigl( x - a \bigr) + \frac{a^2}{4} $$

$$ y = \frac{a}{2} \, x - \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{4} $$

$$ y = \frac{a}{2} \, x - \frac{a^2}{4} $$
Déterminer tous les points de la paroi dont la tangente passe par $P$, et donner l'équation de chacun des rayons rasants.

La tangente au point d'abscisse $a$ passe par $P(3 \ ; \ 2)$ si et seulement si :

$$ 2 = \frac{3a}{2} - \frac{a^2}{4} $$

On multiplie les deux membres par $4$ et on ordonne :

$$ 8 = 6a - a^2 \quad \Longleftrightarrow \quad a^2 - 6a + 8 = 0 $$

$$ \Delta = 36 - 32 = 4 \hspace{2em} \sqrt{\Delta} = 2 $$

$$ a_1 = \frac{6 - 2}{2} = 2 \hspace{2em} a_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4 $$

Une équation du second degré a au plus deux solutions : il n'y a pas d'autre point de contact, et les deux abscisses trouvées sont bien dans $\bigl[ - 6 \ ; \ 6 \bigr]$.

$$ \text{deux rayons rasants :} \quad y = x - 1 \quad \text{et} \quad y = 2x - 4 $$

Ils touchent la paroi aux points $(2 \ ; \ 1)$ et $(4 \ ; \ 4)$.
Le projecteur est maintenant placé en un point quelconque $P(p \ ; \ q)$. Démontrer que le nombre de rayons rasants ne dépend que du signe de $p^2 - 4q$.

La tangente au point d'abscisse $a$ passe par $P(p \ ; \ q)$ si et seulement si :

$$ q = \frac{a}{2} \, p - \frac{a^2}{4} \quad \Longleftrightarrow \quad a^2 - 2 \, p \, a + 4 \, q = 0 $$

C'est une équation du second degré en $a$, dont le discriminant vaut :

$$ \Delta = 4 \, p^2 - 16 \, q = 4 \bigl( p^2 - 4 \, q \bigr) $$

Le nombre de points de contact est donc exactement le nombre de racines de cette équation.

$$ p^2 - 4q > 0 : \ \text{deux rayons} \hspace{2em} p^2 - 4q = 0 : \ \text{un} \hspace{2em} p^2 - 4q < 0 : \ \text{aucun} $$

On retrouve le cas précédent : $9 - 8 = 1 > 0$, d'où les deux rayons.
En déduire la description exacte de la zone où l'on ne doit pas placer le projecteur si l'on veut un rayon rasant, et commenter le cas limite.

La condition $p^2 - 4q < 0$ s'écrit $q > \frac{p^2}{4}$, c'est-à-dire : le point est strictement au-delà de la paroi.

$$ \text{aucun rayon rasant depuis la zone située au-delà de la parabole} $$

Le cas limite $q = \frac{p^2}{4}$ est celui d'un projecteur posé sur la paroi : il ne reste qu'un rayon rasant, la tangente en ce point-là, et le point de contact est le projecteur lui-même.

La zone interdite se lit donc sans calcul : c'est exactement l'intérieur de la courbure. Un projecteur placé là éclaire la paroi de face, jamais en rasant - ce que l'éclairagiste sait d'instinct, et que le discriminant confirme.

La vitesse la plus économique

Un transporteur relève la consommation d'un de ses poids lourds sur autoroute. Pour une vitesse stabilisée de $v$ kilomètres par heure, comprise entre $50$ et $110$, la consommation, en litres aux $100 \ \text{km}$, est modélisée par :

$$ G(v) = 0.002 \, v^2 + \frac{2 \ 048}{v} $$

Le premier terme traduit la résistance de l'air, qui croît avec la vitesse ; le second, les pertes du moteur, que l'on étale sur d'autant plus de kilomètres qu'on roule vite.

Calculer $G'(v)$, puis dresser le tableau de variations de $G$ sur $\bigl[ 50 \ ; \ 110 \bigr]$.

$$ v $$	$$ 50 $$	$$ \hspace{10em} $$	$$ 110 $$
$$ G'(v) $$
$$ G(v) $$

tableau de variations de $G$ (à compléter)

$$ G'(v) = 0.004 \, v - \frac{2 \ 048}{v^2} = \frac{0.004 \, v^3 - 2 \ 048}{v^2} $$

Le dénominateur est strictement positif : $G'(v)$ est du signe de $0.004 \, v^3 - 2 \ 048$, qui s'annule pour $v^3 = 512 \ 000$, donc pour $v = 80$, et qui croît avec $v$.

$$ G(50) = 5 + 40.96 = 45.96 \hspace{2em} G(80) = 12.8 + 25.6 = 38.4 \hspace{2em} G(110) = 24.2 + 18.6 \approx 42.8 $$

variations de $G$ sur $\bigl[ 50 \ ; \ 110 \bigr]$

$$ v $$	$$ 50 $$		$$ 80 $$		$$ 110 $$
$$ G'(v) $$	$$ - $$	$$ 0 $$	$$ + $$
$$ G(v) $$	$$ 45.96 $$		$$ 38.4 $$		$$ \approx 42.8 $$

$$ \text{consommation minimale de} \ 38.4 \ \text{L/100 km, à} \ 80 \ \text{km/h} $$

Le chauffeur roule à $100 \ \text{km/h}$. Calculer ce que lui coûte cet écart sur un trajet de $600 \ \text{km}$, le gazole étant à $1.80 \ \text{€}$ le litre.

$$ G(100) = 20 + 20.48 = 40.48 $$

Le trajet fait six fois $100 \ \text{km}$, d'où la surconsommation :

$$ 6 \times \bigl( 40.48 - 38.4 \bigr) = 6 \times 2.08 = 12.48 \ \text{L} $$

$$ 12.48 \times 1.80 \approx 22.46 \ \text{€} $$
Le transporteur objecte que l'heure de route lui coûte $36 \ \text{€}$, conducteur et véhicule compris. Montrer que le coût total du trajet, en euros, vaut :

$$ T(v) = 0.0216 \, v^2 + \frac{43 \ 718.4}{v} $$

Le trajet consomme $6 \, G(v)$ litres, soit un coût en carburant de :

$$ 1.80 \times 6 \left( 0.002 \, v^2 + \frac{2 \ 048}{v} \right) = 0.0216 \, v^2 + \frac{22 \ 118.4}{v} $$

Il dure $\frac{600}{v}$ heures, soit un coût de temps de $36 \times \frac{600}{v} = \frac{21 \ 600}{v}$ euros.

$$ T(v) = 0.0216 \, v^2 + \frac{22 \ 118.4 + 21 \ 600}{v} = 0.0216 \, v^2 + \frac{43 \ 718.4}{v} $$
Déterminer la vitesse qui minimise le coût total, au kilomètre par heure près, puis trancher : le chauffeur roulait-il trop vite ?

$$ T'(v) = 0.0432 \, v - \frac{43 \ 718.4}{v^2} = \frac{0.0432 \, v^3 - 43 \ 718.4}{v^2} $$

$$ T'(v) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad v^3 = \frac{43 \ 718.4}{0.0432} = 1 \ 012 \ 000 $$

Comme $100^3 = 1 \ 000 \ 000$ et $101^3 = 1 \ 030 \ 301$, cette vitesse est comprise entre $100$ et $101$.

$$ v \approx 100 \ \text{km/h} $$

Le chauffeur roulait donc exactement à la bonne vitesse - pour son employeur. Les $22.46 \ \text{€}$ de gazole en trop sont plus que rattrapés par l'heure et demie gagnée sur le trajet.

$$ \text{le seuil de} \ 80 \ \text{km/h ne vaut que si le temps ne coûte rien} $$

Deux minimums, deux réponses : $G$ répond à « quelle vitesse consomme le moins ? », $T$ à « quelle vitesse coûte le moins ? ». C'est la seconde question que se pose le transporteur, et la première que se pose l'atmosphère.