Problèmes sur la dérivation en terminale

Un signal qui culmine, une distance qui ne descend jamais sous un seuil, une boîte à fabriquer au moindre coût : trois fois la même démarche - dériver, lire le signe, conclure.

Calculer la dérivée d'une fonction mêlant produit, quotient et composition.
Étudier les variations d'une fonction et déterminer un extremum.
Résoudre un problème d'optimisation en le ramenant à une seule variable.

Le signal amorti

L'intensité d'un signal, en volts, est modélisée sur $\bigl[0 \ ; \ 5\bigr]$ par :

$$ f(x) = (2x + 1) \, e^{-x} $$

Montrer que $f'(x) = (1 - 2x) \, e^{-x}$.

C'est un produit, avec $u(x) = 2x + 1$ et $v(x) = e^{-x}$ :

$$ f'(x) = 2 \, e^{-x} + (2x + 1) \times \bigl(-e^{-x}\bigr) $$

$$ f'(x) = e^{-x} \bigl(2 - 2x - 1\bigr) $$

$$ f'(x) = (1 - 2x) \, e^{-x} $$
Étudier le signe de $f'$, et dresser le tableau de variations.

L'exponentielle est strictement positive : $f'$ a le signe de $1 - 2x$, qui s'annule en $0{,}5$.

$$ f \ \text{croît sur} \ \bigl[0 \ ; \ 0{,}5\bigr], \ \text{décroît sur} \ \bigl[0{,}5 \ ; \ 5\bigr] $$
Déterminer l'intensité maximale, et l'instant où elle est atteinte.

$$ f(0{,}5) = 2 \, e^{-0{,}5} $$

$$ f(0{,}5) \approx 1{,}21 \ \text{V, atteinte en} \ x = 0{,}5 $$

La distance au point fixe

On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$ f(x) = \sqrt{x^2 + 3} $$

Justifier que $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier.

$x^2 + 3$ est strictement positif pour tout réel, puisque $x^2 \geqslant 0$.
Calculer $f'(x)$.

C'est une composée, de la forme $\sqrt{u}$, dont la dérivée vaut $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ :

$$ f'(x) = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 3}} $$

$$ f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 3}} $$
En déduire les variations de $f$, et son minimum.

Le dénominateur est strictement positif : $f'$ a le signe de $x$.

$f$ décroît sur $\bigl]-\infty \ ; \ 0\bigr]$, puis croît.

$$ f(0) = \sqrt{3} \approx 1{,}73 \ \text{est le minimum} $$
Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.

$x^2 + 3$ tend vers $+\infty$, et la racine carrée d'une quantité qui tend vers $+\infty$ aussi :

$$ \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty $$

La boîte de conserve

On veut fabriquer une boîte cylindrique de $1$ litre, soit $1 \ 000 \ \text{cm}^3$, en utilisant le moins de métal possible. On note $r$ le rayon de la base et $h$ la hauteur, en centimètres.

Exprimer $h$ en fonction de $r$, puis montrer que la surface totale vaut $S(r) = 2\pi r^2 + \dfrac{2 \ 000}{r}$.

Le volume vaut $\pi r^2 h = 1 \ 000$, donc $h = \dfrac{1 \ 000}{\pi r^2}$.

La surface est celle des deux disques et du tour :

$$ S = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r^2 + 2\pi r \times \frac{1 \ 000}{\pi r^2} $$

$$ S(r) = 2\pi r^2 + \frac{2 \ 000}{r} $$
Calculer $S'(r)$, et étudier son signe sur $\bigl]0 \ ; \ +\infty\bigr[$.

$$ S'(r) = 4\pi r - \frac{2 \ 000}{r^2} = \frac{4\pi r^3 - 2 \ 000}{r^2} $$

Le dénominateur est positif : $S'$ a le signe de $4\pi r^3 - 2 \ 000$, qui s'annule pour :

$$ r^3 = \frac{500}{\pi} \quad \text{soit} \quad r \approx 5{,}42 \ \text{cm} $$
Donner les dimensions optimales, et commenter le rapport entre $h$ et $r$.

$$ h = \frac{1 \ 000}{\pi \times 5{,}42^2} \approx 10{,}84 \ \text{cm} $$

$$ r \approx 5{,}42 \ \text{cm} \ , \ h \approx 10{,}84 \ \text{cm} $$

La hauteur vaut exactement le double du rayon : la boîte la plus économe est celle dont la hauteur égale le diamètre. Peu de conserves du commerce ont cette forme - le coût du métal n'est pas le seul critère.