Les fonctions exponentielles et logarithmes de base a

Exponentielles et logarithmes vont par paires : chaque base a son exponentielle, et le logarithme qui la défait.

Reconnaître une fonction exponentielle de base a
Identifier la fonction exponentielle comme celle de base e
Définir le logarithme de base a comme réciproque de l'exponentielle de base a
Calculer un logarithme en écrivant le nombre comme une puissance de la base
Relier le logarithme népérien à la fonction exponentielle

La distance de freinage croît comme le carré de la vitesse ; le temps de chute d'un objet, comme la racine de la hauteur ; la charge d'une batterie, comme une exponentielle qui s'essouffle.

Trois phénomènes sans rapport, trois fonctions que l'on connaît déjà par coeur.

Quelques fonctions de référence décrivent l'essentiel : les autres s'y ramènent par translation, produit ou composition.

Fonctions de type exponentielles : $f(x) = a^x$

Les fonctions de type exponentielles répondent à la définition générale :

$$ \forall a \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+, \ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, $$

$$f(x) = a^x $$

Fonctions exponentielles — les fonctions de type exponentielles : $f(x) = a^x$

Graphe vide avec vecteurs unitaires — les fonctions de type exponentielles : $f(x) = a^x$

Fonction exponentielle : $f(x) = e^x$

On appelle la fonction exponentielle (par abus de langage), la fonction de type exponentielle en base $e \ (e \approx 2.718)$.

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, $$

$$f(x) = e^x $$

Fonction exponentielle — la fonction exponentielle : $f(x) = e^x$

Fonction de type logarithmiques : $f(x) = \log_a(x)$

Les fonctions de type logarithmes répondent à la définition générale :

$$ \forall a \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+, \ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+, $$

$$ f(x) = \log_a(x) $$

Fonctions logarithmiques — les fonctions de type logarithmiques : $f(x) = \log_a(x) $

Ce sont les fonctions réciproques (symétriques par rapport à l'axe $(y = x)$) des fonctions de type exponentielles.

Elles retournent l'exposant d'une fonction exponentielle en base $ a$ :

$$\log_a(a^X) = X $$

Exemple :

$$log_2(8) = log_2(2^3)= 3 $$

Mais tout comme :

$$a^{\log_a(X)} = X $$

Fonction logarithme népérien : $f(x) = \ln(x)$

La fonction logarithme népérien (dit aussi logarithme naturel) est la fonction réciproque de la fonction exponentielle $e^x$.

C'est un logarithme en base $e$.

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+, $$

$$f(x) = \ln(x) $$

Fonction logarithmique neperien — la fonction logarithme népérien : $f(x) = \ln(x) $

Les fonctions exponentielles et logarithmes de base \(a\)

Fonctions de type exponentielles : \(f(x) = a^x\)

Fonction exponentielle : \(f(x) = e^x\)

Fonction de type logarithmiques : \(f(x) = \log_a(x)\)

Fonction logarithme népérien : \(f(x) = \ln(x)\)