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La fonction logarithme népérien

Le logarithme fait descendre l'exposant : il résout les équations où l'inconnue est une puissance.

Un son dix fois plus intense n'est pas perçu dix fois plus fort : l'oreille compte en décibels, et dix fois plus d'intensité n'ajoute que \(10 \ \text{dB}\).

$$ \ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b) $$

La même échelle sert aux séismes, à l'acidité d'une solution et au bruit d'un moteur.

Le logarithme transforme les produits en sommes : il ramène des échelles immenses à une règle graduée.

L'exponentielle transforme une somme en produit. Le logarithme fait le chemin inverse, et c'est toute son utilité : il fait descendre l'exposant, là où il devient une inconnue ordinaire.

La réciproque de l'exponentielle

Logarithme népérien

Pour tout réel \(x\) strictement positif, \(\ln(x)\) est l'unique réel dont l'exponentielle vaut \(x\) :

$$ \ln(x) = y \quad \Longleftrightarrow \quad e^y = x \hspace{2em} (x > 0) $$

Les deux fonctions se défont donc l'une l'autre :

$$ e^{\ln(x)} = x \ \text{pour} \ x > 0 \hspace{2em} \ln\bigl(e^x\bigr) = x \ \text{pour tout} \ x $$

Deux valeurs à connaître, qui découlent directement de la définition :

$$ \ln(1) = 0 \hspace{2em} \ln(e) = 1 $$

Le logarithme n'existe que pour les réels strictement positifs. C'est la première chose à écrire dans tout exercice : l'ensemble de définition, avant le moindre calcul.

L'équation fonctionnelle

Le logarithme d'un produit

$$ \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \hspace{2em} (a > 0, \ b > 0) $$

Tout le reste s'en déduit :

$$ \ln\left(\frac{1}{b}\right) = -\ln(b) \hspace{2em} \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b) $$
$$ \ln\bigl(a^n\bigr) = n \ln(a) \hspace{2em} \ln\bigl(\sqrt{a}\bigr) = \frac{1}{2}\ln(a) $$

C'est la troisième formule qui fait tout le travail des problèmes de seuil : elle sort l'inconnue de l'exposant. Sans elle, \(1{,}04^n \geqslant 2\) reste insoluble.

Dérivée et variations

Dérivée du logarithme

$$ \bigl(\ln\bigr)'(x) = \frac{1}{x} \hspace{2em} (x > 0) $$

Dérivée du logarithme népérien

On admet que la fonction logarithme est dérivable sur \(\bigl]0 \ ; \ +\infty\bigr[\), et l'on part de l'identité qui la définit :

$$ e^{\ln(x)} = x $$

Les deux membres sont des fonctions égales : leurs dérivées le sont aussi. À gauche, c'est une composée, dont la dérivée vaut \(u' \times e^u\) :

$$ \bigl(\ln\bigr)'(x) \times e^{\ln(x)} = 1 $$

Or \(e^{\ln(x)}\) vaut \(x\) :

$$ \bigl(\ln\bigr)'(x) \times x = 1 $$
$$ \bigl(\ln\bigr)'(x) = \frac{1}{x} $$

Cette dérivée est strictement positive sur \(\bigl]0 \ ; \ +\infty\bigr[\) : la fonction y est strictement croissante.

$$ \ln(a) = \ln(b) \Longleftrightarrow a = b \hspace{2em} \ln(a) < \ln(b) \Longleftrightarrow a < b $$

C'est cette stricte croissance qui autorise à « passer au logarithme » des deux côtés d'une équation ou d'une inéquation, sans en changer le sens.

Et pour une composée, la règle habituelle :

$$ \Bigl(\ln\bigl(u(x)\bigr)\Bigr)' = \frac{u'(x)}{u(x)} \hspace{2em} \text{là où} \ u > 0 $$

Limites et courbe

$$ \lim\limits_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \hspace{2em} \lim\limits_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty $$

La courbe du logarithme est celle de l'exponentielle réfléchie par la droite d'équation \(y = x\) : c'est ce que signifie « réciproque », et les deux limites s'y lisent.

Exponentielle
Logarithme
définie sur \(\mathbb{R}\)
définie sur \(\bigl]0 \ ; \ +\infty\bigr[\)
valeurs dans \(\bigl]0 \ ; \ +\infty\bigr[\)
valeurs dans \(\mathbb{R}\)
passe par \((0 \ ; \ 1)\)
passe par \((1 \ ; \ 0)\)
asymptote horizontale en \(-\infty\)
asymptote verticale en \(0\)
chaque ligne est l'échange des abscisses et des ordonnées de la précédente

Limites de l'exponentielle

Le chapitre sur la convexité établit que \(e^x \geqslant 1 + x\) pour tout réel : la courbe de l'exponentielle, qui est convexe, reste au-dessus de sa tangente en \(0\).

Or \(1 + x\) tend vers \(+\infty\). Par comparaison, une fonction minorée par une fonction qui diverge diverge aussi :

$$ \lim\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty $$

Pour l'autre limite, on écrit l'exponentielle comme un inverse :

$$ e^x = \frac{1}{e^{-x}} $$

Quand \(x\) tend vers \(-\infty\), \(-x\) tend vers \(+\infty\), donc \(e^{-x}\) aussi, et son inverse tend vers zéro :

$$ \lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0 $$

Croissances comparées

Le logarithme croît, mais moins vite que n'importe quelle puissance. C'est ce que disent ces deux limites, et elles lèvent les indéterminations correspondantes.

$$ \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0 $$
$$ \lim\limits_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0 $$

Limite de \(x \ln(x)\) en \(0^+\)

Posons \(X = \ln(x)\), de sorte que \(x = e^X\).

Quand \(x\) tend vers \(0^+\), son logarithme \(X\) tend vers \(-\infty\). Le produit se réécrit alors :

$$ x \ln(x) = e^X \times X = X \, e^X $$

Or la croissance comparée de l'exponentielle sur les puissances donne \(\lim\limits_{X \to -\infty} X e^X = 0\) :

$$ \lim\limits_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0 $$

Le changement de variable est ici le seul geste utile : il ramène une limite en zéro à une limite en l'infini, où les croissances comparées savent conclure.

Équations et inéquations

L'exponentielle et le logarithme se défont l'une l'autre : on applique celle qui débarrasse l'inconnue de sa position gênante.

L'équation
On applique
Condition
\(e^x = a\)
le logarithme
\(a > 0\)
\(\ln(x) = a\)
l'exponentielle
aucune
\(q^n \geqslant a\)
le logarithme
attention au signe de \(\ln(q)\)
la troisième ligne est celle des problèmes de seuil, et la seule où l'inégalité peut se renverser

Exemple :

Résoudre \(\ln(2x - 6) = 1\).

  1. l'ensemble de définition d'abord : \(2x - 6 > 0\), soit \(x > 3\)
  2. on applique l'exponentielle : \(2x - 6 = e\)
$$ x = \frac{e + 6}{2} \approx 4{,}36 $$

Cette valeur est bien supérieure à \(3\) :

$$ \mathcal{S} = \left\{ \frac{e + 6}{2} \right\} $$

La vérification finale n'est pas une politesse : une solution trouvée hors de l'ensemble de définition doit être écartée. C'est ce qui distingue une équation avec logarithme d'une équation ordinaire.