Problèmes sur le logarithme népérien

La demi-vie de l'isotope

Un échantillon radioactif perd \(3 \ \%\) de sa masse chaque année. On note \(m_0\) sa masse initiale et \(m(t)\) sa masse au bout de \(t\) années.

1. Écrire \(m(t)\) sous la forme \(m_0 \, e^{kt}\), et donner la valeur de \(k\).

   Toute puissance s'écrit comme une exponentielle : \(0{,}97^{\,t} = e^{t \ln(0{,}97)}\).

   $$ k = \ln(0{,}97) \approx -0{,}0305 $$
2. Déterminer la demi-vie de l'échantillon, c'est-à-dire le temps au bout duquel il a perdu la moitié de sa masse.
   $$ m_0 \times 0{,}97^{\,t} = \frac{m_0}{2} \quad \Longleftrightarrow \quad 0{,}97^{\,t} = 0{,}5 $$

   En passant au logarithme :

   $$ t \ln(0{,}97) = \ln(0{,}5) \quad \Longleftrightarrow \quad t = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}97)} $$

   $$ t \approx 22{,}8 \ \text{années} $$

   La masse initiale a disparu du calcul : la demi-vie ne dépend que du taux de perte.

3. Interpréter le signe de \(k\).

   \(k\) est négatif parce que \(0{,}97 < 1\), donc son logarithme est négatif : l'exponentielle \(e^{kt}\) décroît, ce qui traduit la perte de masse.

Le minimum de \(x - \ln(x)\)

On considère la fonction définie sur \(\bigl]0 \ ; \ +\infty\bigr[\) par :

1. Calculer \(f'(x)\), et l'écrire sous la forme d'un quotient.
   $$ f'(x) = 1 - \frac{1}{x} $$

   $$ f'(x) = \frac{x - 1}{x} $$
2. Étudier le signe de \(f'\), et dresser le tableau de variations.

   Sur \(\bigl]0 \ ; \ +\infty\bigr[\), le dénominateur est strictement positif : \(f'\) a donc le signe de \(x - 1\).

   \(f\) décroît sur \(\bigl]0 \ ; \ 1\bigr]\), puis croît sur \(\bigl[1 \ ; \ +\infty\bigr[\).

   $$ f(1) = 1 - \ln(1) = 1 \quad \text{est le minimum} $$
3. Déterminer les limites de \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).

   En \(0^+\), \(\ln(x)\) tend vers \(-\infty\), donc \(-\ln(x)\) vers \(+\infty\) : la somme aussi.

   En \(+\infty\), la forme est indéterminée. On factorise le terme prépondérant :

   $$ f(x) = x\left(1 - \frac{\ln(x)}{x}\right) $$

   Par croissances comparées, \(\frac{\ln(x)}{x}\) tend vers \(0\), donc la parenthèse vers \(1\) :

   $$ \lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty $$
4. En déduire que \(\ln(x) \leqslant x - 1\) pour tout \(x > 0\).

   Le minimum de \(f\) vaut \(1\), donc \(x - \ln(x) \geqslant 1\) pour tout \(x > 0\) :

   $$ \ln(x) \leqslant x - 1 $$

   C'est l'inégalité que la convexité donnait par la tangente en \(1\) : les deux chemins mènent au même résultat.

Le capital qui double

Un capital de \(5 \ 000 \ \text{€}\) est placé au taux annuel de \(4 \ \%\), les intérêts étant capitalisés chaque année. On note \(C_n\) le capital au bout de \(n\) années.

1. Déterminer le nombre d'années au bout duquel le capital dépasse \(8 \ 000 \ \text{€}\).
   $$ 5 \ 000 \times 1{,}04^{\,n} \geqslant 8 \ 000 \quad \Longleftrightarrow \quad 1{,}04^{\,n} \geqslant 1{,}6 $$

   $$ n \ln(1{,}04) \geqslant \ln(1{,}6) $$

   \(\ln(1{,}04)\) est positif, puisque \(1{,}04 > 1\) : l'inégalité garde son sens.

   $$ n \geqslant \frac{\ln(1{,}6)}{\ln(1{,}04)} \approx 11{,}98 $$

   $$ n = 12 \ \text{années} $$
2. Au bout de combien d'années le capital aura-t-il doublé ?
   $$ 1{,}04^{\,n} \geqslant 2 \quad \Longleftrightarrow \quad n \geqslant \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}04)} \approx 17{,}67 $$

   $$ n = 18 \ \text{années} $$
3. Cette dernière réponse dépend-elle du capital placé ? Justifier.

   Non. Doubler, c'est vérifier \(C_n \geqslant 2 \, C_0\), et le capital initial se simplifie des deux côtés : il ne reste que \(1{,}04^{\,n} \geqslant 2\).

   $$ \text{le temps de doublement ne dépend que du taux} $$

Deux entiers qui se répondent

En club de mathématiques, un élève remarque une coïncidence : \(2^4\) et \(4^2\) valent tous deux \(16\). Il cherche d'autres couples d'entiers naturels non nuls \(a\) et \(b\), distincts, tels que :

Après une heure d'essais, il n'en a trouvé aucun autre. Il s'agit de démontrer qu'il n'y en a pas.

1. Démontrer que, pour deux entiers \(a\) et \(b\) strictement positifs :
   $$ a^b = b^a \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{\ln(a)}{a} = \frac{\ln(b)}{b} $$

   Les deux membres de \(a^b = b^a\) sont strictement positifs, et la fonction logarithme est strictement croissante sur \(\bigl] 0 \ ; \ + \infty \bigr[\) : elle transforme donc cette égalité en une égalité équivalente.

   $$ a^b = b^a \quad \Longleftrightarrow \quad \ln \left( a^b \right) = \ln \left( b^a \right) $$

   L'équation fonctionnelle du logarithme donne \(\ln(a^b) = b \ln(a)\) et \(\ln(b^a) = a \ln(b)\) :

   $$ a^b = b^a \quad \Longleftrightarrow \quad b \ln(a) = a \ln(b) $$

   Enfin \(a\) et \(b\) sont non nuls, on peut diviser les deux membres par \(ab\) :

   $$ \frac{\ln(a)}{a} = \frac{\ln(b)}{b} $$
2. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\bigl] 0 \ ; \ + \infty \bigr[\) par \(f(x) = \frac{\ln(x)}{x}\). Calculer \(f'(x)\), déterminer les limites de \(f\) en \(0\) et en \(+ \infty\), puis dresser son tableau de variations.

   $$ x $$	$$ 0 $$	$$ \hspace{10em} $$	$$ + \infty $$
   $$ f'(x) $$
   $$ f(x) $$

   C'est un quotient, avec \(u(x) = \ln(x)\) et \(v(x) = x\) :

   $$ f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \times x - \ln(x) \times 1}{x^2} $$

   $$ f'(x) = \frac{1 - \ln(x)}{x^2} $$

   Le dénominateur est strictement positif : \(f'(x)\) est du signe de \(1 - \ln(x)\), positif tant que \(\ln(x) < 1\), c'est-à-dire tant que \(x < e\), et négatif ensuite.

   En \(0\), le numérateur tend vers \(- \infty\) et \(\frac{1}{x}\) vers \(+ \infty\) :

   $$ \lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = - \infty $$

   En \(+ \infty\), c'est la croissance comparée du logarithme et de la fonction identité :

   $$ \lim\limits_{x \to + \infty} f(x) = 0 $$

   $$ x $$	$$ 0 $$		$$ e $$		$$ + \infty $$
   $$ f'(x) $$	$$ + $$		$$ 0 $$	$$ - $$
   $$ f(x) $$	$$ - \infty $$		$$ \frac{1}{e} $$		$$ 0 $$

3. En déduire que si deux entiers distincts \(a\) et \(b\) conviennent, l'un des deux est nécessairement \(1\) ou \(2\).

   Supposons \(a\) et \(b\) tous deux supérieurs ou égaux à \(3\). Comme \(e \approx 2{,}718\), ils sont tous deux dans \(\bigl[ e \ ; \ + \infty \bigr[\), où \(f\) est strictement décroissante, donc injective : \(f(a) = f(b)\) imposerait \(a = b\), ce que l'énoncé exclut.

   $$ \text{le plus petit des deux vaut} \ 1 \ \text{ou} \ 2 $$
4. Conclure : déterminer tous les couples d'entiers distincts qui conviennent.

   Il ne reste que deux cas à examiner, et chacun se règle par une équation.

   • Si le plus petit vaut \(1\), alors \(f(b) = f(1) = 0\), donc \(\ln(b) = 0\), donc \(b = 1\) : les deux entiers sont égaux, cas exclu.

   • Si le plus petit vaut \(2\), alors \(f(b) = \frac{\ln(2)}{2} = \frac{2 \ln(2)}{4} = \frac{\ln(4)}{4} = f(4)\). Or \(b\) et \(4\) sont tous deux dans \(\bigl[ e \ ; \ + \infty \bigr[\), où \(f\) est injective : \(b = 4\).

   $$ \bigl( a \ ; \ b \bigr) = \bigl( 2 \ ; \ 4 \bigr) \quad \text{et} \quad \bigl( a \ ; \ b \bigr) = \bigl( 4 \ ; \ 2 \bigr) $$

   La coïncidence de l'élève est donc la seule. Ce qui la rend possible, c'est que \(f\) monte puis descend : une même valeur peut être atteinte deux fois, une fois avant \(e\), une fois après - et entre \(1\) et \(e\) il n'y a qu'un seul entier.

Le prix du transport

Un transporteur fluvial affiche ses tarifs pour une même liaison : \(400 \ \text{€}\) pour \(8\) tonnes de marchandise, et \(900 \ \text{€}\) pour \(27\) tonnes. Sa plaquette annonce une loi de la forme :

Une coopérative a \(64\) tonnes à expédier. Ses péniches portent \(40\) tonnes au maximum, et elle hésite sur la façon de répartir le chargement.

1. Déterminer la valeur de \(b\), puis celle de \(a\).

   On passe les deux tarifs au logarithme, ce qui transforme la puissance en produit :

   $$ \ln \bigl( P(m) \bigr) = \ln(a) + b \ln(m) $$

   $$ \ln(400) = \ln(a) + b \ln(8) \hspace{2em} \ln(900) = \ln(a) + b \ln(27) $$

   On soustrait membre à membre : \(\ln(a)\) disparaît.

   $$ \ln(900) - \ln(400) = b \bigl( \ln(27) - \ln(8) \bigr) $$

   $$ \ln \left( \frac{9}{4} \right) = b \ln \left( \frac{27}{8} \right) $$

   Or \(\frac{27}{8} = \left( \frac{3}{2} \right)^3\) et \(\frac{9}{4} = \left( \frac{3}{2} \right)^2\), donc :

   $$ 2 \ln \left( \frac{3}{2} \right) = 3 \, b \ln \left( \frac{3}{2} \right) $$

   Comme \(\ln \left( \frac{3}{2} \right) \neq 0\), on simplifie :

   $$ b = \frac{2}{3} $$

   On reporte dans le premier tarif, avec \(8^{\frac{2}{3}} = \left( 2^3 \right)^{\frac{2}{3}} = 4\) :

   $$ 400 = a \times 4 $$

   $$ a = 100 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} P(m) = 100 \, m^{\frac{2}{3}} $$

   Vérification sur le second tarif : \(27^{\frac{2}{3}} = 3^2 = 9\), et \(100 \times 9 = 900\).

2. Comparer le prix d'un chargement unique de \(64\) tonnes à celui de deux chargements de \(32\) tonnes.
   $$ P(64) = 100 \times 64^{\frac{2}{3}} = 100 \times 4^2 = 1 \ 600 $$

   $$ 32^{\frac{2}{3}} = e^{\frac{2}{3} \ln(32)} \approx 10{,}08 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} 2 \, P(32) \approx 2 \ 016 $$

   $$ \text{un seul chargement coûterait} \ 416 \ \text{€ de moins} $$

   Le tarif n'est pas proportionnel à la masse : doubler la masse ne multiplie le prix que par \(2^{\frac{2}{3}} \approx 1{,}59\).

3. Le chargement unique est impossible. On note \(x\) la masse du premier voyage, avec \(24 \leqslant x \leqslant 40\). Étudier les variations de \(S(x) = P(x) + P(64 - x)\), et en déduire la répartition la moins chère.

   La fonction \(m \mapsto m^{\frac{2}{3}} = e^{\frac{2}{3} \ln(m)}\) a pour dérivée \(\frac{2}{3} \, m^{- \frac{1}{3}}\), donc :

   $$ S'(x) = \frac{200}{3} \left( \frac{1}{\sqrt[3]{x}} - \frac{1}{\sqrt[3]{64 - x}} \right) $$

   Le signe se lit sans calcul : la fonction racine cubique est croissante, donc \(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\) est décroissante. Pour \(x < 32\), on a \(x < 64 - x\), donc \(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} > \frac{1}{\sqrt[3]{64 - x}}\) et \(S'(x) > 0\).

   \(S\) est donc strictement croissante sur \(\bigl[ 24 \ ; \ 32 \bigr]\). Et comme \(S(64 - x) = S(x)\), elle décroît symétriquement sur \(\bigl[ 32 \ ; \ 40 \bigr]\) : le maximum est au milieu, et le minimum aux deux bouts, qui décrivent la même répartition.

   $$ S(24) = 100 \left( 24^{\frac{2}{3}} + 40^{\frac{2}{3}} \right) \approx 100 \, \bigl( 8{,}32 + 11{,}70 \bigr) \approx 2 \ 002 $$

   $$ \text{une péniche pleine à} \ 40 \ \text{t et une à} \ 24 \ \text{t} $$
4. Formuler en une phrase la règle de chargement que la coopérative peut retenir, et dire ce qu'elle deviendrait si le tarif était proportionnel à la masse.

   L'écart entre les deux répartitions est mince - \(14 \ \text{€}\) sur \(2 \ 000\) - mais il va toujours dans le même sens : plus la répartition est déséquilibrée, moins elle coûte.

   $$ \text{remplir chaque péniche au maximum, et laisser le reste au dernier voyage} $$

   Si le tarif était proportionnel, c'est-à-dire \(b = 1\), alors \(S(x) = a \, x + a(64 - x) = 64 \, a\) : toutes les répartitions coûteraient la même chose, et la question ne se poserait pas. C'est l'exposant \(\frac{2}{3}\), plus petit que \(1\), qui récompense les gros chargements.