Résoudre avec le logarithme et l'exponentielle en terminale

Toute équation où l'inconnue est en exposant, ou sous un logarithme, se résout de la même façon : appliquer la fonction qui annule l'autre . Reste à savoir laquelle, et à ne pas oublier le domaine.

L'ordre des étapes

écrire l'ensemble de définition : tout ce qui est sous un logarithme doit être strictement positif
regrouper les logarithmes en un seul , avec l'équation fonctionnelle
appliquer l'exponentielle, ou le logarithme, selon le cas
résoudre l'équation ordinaire obtenue, puis écarter les solutions hors du domaine

La quatrième étape est la seule qui ne ressemble à rien de connu, et c'est celle qu'on saute : une solution peut être fausse sans qu'aucun calcul ne le soit .

Résoudre un problème de seuil

L'inconnue est en exposant : on passe au logarithme, qui la fait descendre. Le piège est ailleurs - dans le signe de $\ln(q)$ .

Exemple :

Une population décroît de $6 \ \%$ par an. Au bout de combien d'années aura-t-elle perdu la moitié de son effectif ?

$$ 0{,}94^n \leqslant 0{,}5 $$

$$ n \ln(0{,}94) \leqslant \ln(0{,}5) $$

Or $\ln(0{,}94)$ est négatif , puisque $0{,}94 < 1$ : la division renverse l'inégalité.

$$ n \geqslant \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}94)} \approx 11{,}2 $$

$$ n = 12 \ \text{années} $$

Le réflexe : une raison inférieure à 1 donne un logarithme négatif , donc un renversement. Une raison supérieure à 1 ne renverse rien.

Deux erreurs à ne pas commettre

Ce qu'on écrit parfois	Ce qui est vrai
$\ln(a + b) = \ln(a) + \ln(b)$	$\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$
$\ln(a) \times \ln(b) = \ln(ab)$	rien ne simplifie un produit de logarithmes

le logarithme transforme un produit en somme, jamais l'inverse

Un test qui tranche en trois secondes : avec $a = b = 1$, la première ligne fausse donnerait $\ln(2) = 0$.

Dériver une expression avec un logarithme

Fonction	Dérivée
$\ln(x)$	$\dfrac{1}{x}$
$\ln(ax + b)$	$\dfrac{a}{ax + b}$
$\ln\bigl(u(x)\bigr)$	$\dfrac{u'(x)}{u(x)}$
$x \ln(x)$	$\ln(x) + 1$

la dernière ligne se retrouve par la dérivée d'un produit, et sert constamment

Fonction	Dérivée
\(\ln(x)\)	\(\dfrac{1}{x}\)
\(\ln(ax + b)\)	\(\dfrac{a}{ax + b}\)
\(\ln\bigl(u(x)\bigr)\)	\(\dfrac{u'(x)}{u(x)}\)
\(x \ln(x)\)	\(\ln(x) + 1\)

Ce qu'on écrit parfois	Ce qui est vrai
\(\ln(a + b) = \ln(a) + \ln(b)\)	\(\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)\)
\(\ln(a) \times \ln(b) = \ln(ab)\)	rien ne simplifie un produit de logarithmes