Les fonctions sinus et cosinus en terminale

Le cosinus et le sinus, vus en première sur le cercle, deviennent des fonctions à dériver et à étudier.

Utiliser la périodicité et la parité pour réduire l'étude
Dériver le sinus, le cosinus et leurs composées avec une fonction affine
Résoudre une équation trigonométrique sur un intervalle
Résoudre une inéquation trigonométrique à l'aide du cercle
Étudier les variations d'une fonction trigonométrique

La marée monte et descend deux fois par jour ; la tension du secteur change de sens cinquante fois par seconde. Les deux se décrivent par la même fonction.

$$ f(t) = A \sin(\omega t + \varphi) $$

Tout se joue sur une période : le reste n'est que la même chose, recopiée.

Une fonction périodique répète un motif : l'étudier sur une période suffit à la connaître partout.

La première a défini $\cos(x)$ et $\sin(x)$ comme les coordonnées d'un point du cercle. La terminale en fait des fonctions: on les dérive, on les étudie, on trace leurs courbes.

Périodicité et parité

Un tour complet ramène au même point : les deux fonctions sont périodiques de période $2\pi$.

$$ \cos(x + 2\pi) = \cos(x) \hspace{2em} \sin(x + 2\pi) = \sin(x) $$

Et les symétries du cercle donnent leur parité :

$$ \cos(-x) = \cos(x) : \ \text{le cosinus est pair} $$

$$ \sin(-x) = -\sin(x) : \ \text{le sinus est impair} $$

Ces deux propriétés réduisent l'étude : il suffit d'étudier les fonctions sur $\bigl[0 \ ; \ \pi\bigr]$, puis de compléter par symétrie et par translations de $2\pi$.

Les dérivées

Dérivées du sinus et du cosinus

Dériver l'une donne l'autre, au signe près - et quatre dérivations successives ramènent au point de départ :

$$ \bigl(\sin\bigr)'(x) = \cos(x) $$

$$ \bigl(\cos\bigr)'(x) = -\sin(x) $$

Le signe moins du cosinus vient de son sens de variation : sur $\bigl[0 \ ; \ \pi\bigr]$ il décroît, alors que le sinus y est positif.

La composition avec une fonction affine suit la règle habituelle :

$$ \bigl(\sin(ax + b)\bigr)' = a \cos(ax + b) $$

Exemple :

$$ f(x) = 3\sin(2x) \hspace{2em} \Longrightarrow \hspace{2em} f'(x) = 6\cos(2x) $$

Variations et courbes

Sur une période, les deux fonctions montent puis descendent, mais décalées d'un quart de tour.

$$ x $$	$$ -\pi $$		$$ 0 $$		$$ \pi $$
$$ \cos'(x) = -\sin(x) $$	$$ + $$	$$ 0 $$	$$ - $$
$$ \cos(x) $$		$$ 1 $$

La courbe du sinus est celle du cosinus décalée de $\frac{\pi}{2}$ vers la droite:

$$ \sin(x) = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) $$

Ni l'une ni l'autre n'a de limite en $\pm\infty$ : elles oscillent sans fin entre $-1$ et $1$. C'est pourquoi les théorèmes de comparaison sont le seul outil pour les limites qui les font intervenir.

Résoudre une équation trigonométrique

Résoudre $\cos(x) = a$ revient à chercher les points du cercle d'abscisse $a$. Il y en a deux, symétriques par rapport à l'axe des abscisses.

$$ \cos(x) = \cos(\alpha) \Longleftrightarrow x = \alpha + 2k\pi \ \text{ou} \ x = -\alpha + 2k\pi \hspace{2em} (k \in \mathbb{Z}) $$

Pour le sinus, les deux points sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées :

$$ \sin(x) = \sin(\alpha) \Longleftrightarrow x = \alpha + 2k\pi \ \text{ou} \ x = \pi - \alpha + 2k\pi $$

Exemple :

Résoudre $\cos(x) = \frac{1}{2}$ sur $\bigl[-\pi \ ; \ \pi\bigr]$.

La valeur remarquable est $\alpha = \frac{\pi}{3}$, donc :

$$ \mathcal{S} = \left\{ -\frac{\pi}{3} \ ; \ \frac{\pi}{3} \right\} $$

L'équation $\cos(x) = a$ n'a de solution que si $a$ appartient à $\bigl[-1 \ ; \ 1\bigr]$. C'est la première vérification, et elle évite bien des calculs inutiles.

Résoudre une inéquation

On place d'abord les solutions de l'équation, puis on lit sur le cercle l'arc où la condition est remplie.

Exemple :

Résoudre $\cos(x) \leqslant \frac{1}{2}$ sur $\bigl[-\pi \ ; \ \pi\bigr]$.

l'égalité a pour solutions $-\frac{\pi}{3}$ et $\frac{\pi}{3}$
le cosinus est l'abscisse: elle est inférieure à $\frac{1}{2}$ à gauche de la droite verticale d'abscisse $\frac{1}{2}$
cet arc correspond aux angles au-delà de $\frac{\pi}{3}$ en valeur absolue

$$ \mathcal{S} = \left[ -\pi \ ; \ -\frac{\pi}{3} \right] \cup \left[ \frac{\pi}{3} \ ; \ \pi \right] $$

Une inéquation trigonométrique se lit sur le cercle, jamais sur un tableau de signes : c'est la position du point, et non le calcul, qui donne la réponse.

Étudier une fonction trigonométrique

La méthode ne change pas : on dérive, on cherche le signe de la dérivée, on dresse le tableau. La seule difficulté est que le signe de la dérivée est lui-même trigonométrique.

Exemple :

$$ f(x) = x + 2\cos(x) \hspace{2em} \text{sur} \ \bigl[0 \ ; \ 2\pi\bigr] $$

$$ f'(x) = 1 - 2\sin(x) $$

Cette dérivée s'annule quand $\sin(x) = \frac{1}{2}$, soit :

$$ x = \frac{\pi}{6} \hspace{2em} \text{ou} \hspace{2em} x = \frac{5\pi}{6} $$

Le sinus dépassant $\frac{1}{2}$ entre ces deux valeurs, la dérivée y est négative:

$$ x $$	$$ 0 $$		$$ \frac{\pi}{6} $$		$$ \frac{5\pi}{6} $$		$$ 2\pi $$
$$ f'(x) $$	$$ + $$		$$ 0 $$	$$ - $$		$$ 0 $$	$$ + $$

signe de $f'(x) = 1 - 2\sin(x)$ sur une période

La fonction admet donc un maximum local en $\frac{\pi}{6}$ et un minimum local en $\frac{5\pi}{6}$.