Problèmes sur les fonctions trigonométriques en terminale

Une marée, une roue, un rayon lumineux : trois grandeurs qui reviennent au même point à intervalles réguliers. C'est exactement ce que décrivent le sinus et le cosinus, et la dérivée y répond à la question du meilleur moment.

Résoudre une équation ou une inéquation trigonométrique sur un intervalle donné.
Dériver une fonction construite à partir du sinus ou du cosinus.
Étudier les variations d'une fonction trigonométrique et déterminer un optimum.
Exploiter la périodicité pour conclure sur un intervalle plus large.

La marée

La hauteur d'eau dans un port, en mètres, $t$ heures après minuit, est modélisée sur une journée par :

$$ h(t) = 4 + 3\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) $$

Calculer la hauteur à minuit, puis à $6$ heures.

$$ h(0) = 4 + 3 = 7 \ \text{m} \qquad h(6) = 4 - 3 = 1 \ \text{m} $$
Entre quelles valeurs la hauteur varie-t-elle ? Au bout de combien de temps le cycle se répète-t-il ?

Le cosinus reste entre $-1$ et $1$, donc $h$ entre $1$ et $7$ mètres.

La période de $\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)$ vaut $\frac{2\pi}{\pi / 6} = 12$ heures.

$$ \text{cycle de } 12 \text{ heures} $$
Un navire a besoin de $5{,}5 \ \text{m}$ d'eau. Résoudre $h(t) \geqslant 5{,}5$ sur $\bigl[0 \ ; \ 12\bigr]$.

$$ 4 + 3\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) \geqslant 5{,}5 \quad \Longleftrightarrow \quad \cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) \geqslant \frac{1}{2} $$

Sur le cercle, le cosinus dépasse $\frac{1}{2}$ pour un angle compris entre $-\frac{\pi}{3}$ et $\frac{\pi}{3}$ :

$$ -\frac{\pi}{3} \leqslant \frac{\pi t}{6} \leqslant \frac{\pi}{3} \quad \Longleftrightarrow \quad -2 \leqslant t \leqslant 2 $$

$$ t \in \bigl[0 \ ; \ 2\bigr] \ \text{puis} \ \bigl[10 \ ; \ 12\bigr] $$
Combien d'heures par jour le navire peut-il entrer ?

Quatre heures par cycle de douze, soit deux cycles par jour :

$$ 8 \ \text{heures par jour} $$

Le point le plus haut

Un bras articulé positionne un capteur dont l'altitude, en mètres, dépend de l'angle $x$ de commande, exprimé en radians :

$$ f(x) = \sin(x) + \cos(x) \qquad \text{sur} \ \bigl[0 \ ; \ 2\pi\bigr] $$

Calculer $f'(x)$.

$$ f'(x) = \cos(x) - \sin(x) $$
Résoudre $f'(x) = 0$ sur $\bigl[0 \ ; \ 2\pi\bigr]$.

$$ \cos(x) = \sin(x) $$

Les deux coordonnées sont égales sur la première bissectrice, et sur son opposée :

$$ x = \frac{\pi}{4} \qquad \text{ou} \qquad x = \frac{5\pi}{4} $$
Dresser le tableau de variations, et en déduire l'altitude maximale.

$f'$ est positive avant $\frac{\pi}{4}$, négative entre les deux valeurs, positive après.

$$ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} $$

$$ \text{maximum} = \sqrt{2} \approx 1{,}41 \ \text{m} $$
Calculer $f\left(\frac{5\pi}{4}\right)$, et commenter la symétrie observée.

$$ f\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\sqrt{2} $$

Le minimum est l'opposé du maximum, et les deux abscisses sont distantes de $\pi$. C'est attendu : ajouter $\pi$ change le signe du sinus comme du cosinus, donc celui de leur somme.

Le rayon réfléchi

L'intensité lumineuse reçue par un capteur, en unités arbitraires, dépend de l'angle d'incidence $x$ selon :

$$ g(x) = \cos(x)\bigl(1 + \cos(x)\bigr) \qquad \text{sur} \ \bigl[0 \ ; \ \pi\bigr] $$

Développer $g(x)$, puis calculer $g'(x)$.

$$ g(x) = \cos(x) + \cos^2(x) $$

$$ g'(x) = -\sin(x) - 2\cos(x)\sin(x) $$
Factoriser $g'(x)$, et résoudre $g'(x) = 0$ sur $\bigl[0 \ ; \ \pi\bigr]$.

$$ g'(x) = -\sin(x)\bigl(1 + 2\cos(x)\bigr) $$

Le produit est nul si $\sin(x) = 0$, soit $x = 0$ ou $x = \pi$, ou si $\cos(x) = -\frac{1}{2}$ :

$$ x = \frac{2\pi}{3} $$
Déterminer le signe de $g'$ sur $\bigl] 0 \ ; \ \pi \bigr[$, et en déduire les variations.

Sur cet intervalle, $\sin(x) > 0$, donc $g'$ a le signe de $-\bigl(1 + 2\cos(x)\bigr)$.

$\cos(x) > -\frac{1}{2}$ avant $\frac{2\pi}{3}$ : le facteur est positif, donc $g'$ négative.

$g$ décroît sur $\left[0 \ ; \ \frac{2\pi}{3}\right]$, puis croît.
Calculer l'intensité minimale, et la comparer aux valeurs aux bornes.

$$ g\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{4} $$

$$ g(0) = 2 \qquad g(\pi) = 0 $$

$$ \text{minimum} = -\frac{1}{4} \ \text{en} \ \frac{2\pi}{3} $$

Le maximum, lui, est atteint en $0$ : c'est une borne, pas un point où la dérivée s'annule.