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Tout se ramène au cercle : une équation cherche des points, une inéquation cherche un arc. Le calcul ne vient qu'après la lecture .
Résoudre \(\cos(x) = a\)
-
vérifier que \(a \in \bigl[-1 \ ; \ 1\bigr]\) , sans quoi il n'y a pas de solution
-
trouver une solution évidente \(\alpha\) dans le tableau des valeurs remarquables
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écrire les deux familles : \(\alpha + 2k\pi\) et \(-\alpha + 2k\pi\)
-
ne garder que celles qui tombent dans l'intervalle demandé
Exemple :
Résoudre \(\cos(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) sur \(\bigl[0 \ ; \ 2\pi\bigr]\).
La valeur remarquable est \(\frac{\pi}{4}\), et le cosinus est négatif : on est dans les deuxième et troisième quarts.
Sur \(\bigl[0 \ ; \ 2\pi\bigr]\), la seconde solution s'écrit \(\frac{5\pi}{4}\) et non \(-\frac{3\pi}{4}\) : on ramène toujours dans l'intervalle demandé .
Résoudre une inéquation
On dessine le cercle, on place les solutions de l'égalité, et on colorie l'arc où la condition est vraie.
Inéquation |
Ce qu'on regarde |
Où |
|---|---|---|
\(\cos(x) \leqslant a\) |
l'abscisse |
à gauche de la verticale \(x = a\) |
\(\cos(x) \geqslant a\) |
l'abscisse |
à droite de la verticale |
\(\sin(x) \geqslant a\) |
l'ordonnée |
au-dessus de l'horizontale \(y = a\) |
Le sens de l'inégalité ne s'inverse jamais ici : on ne multiplie ni ne divise par quoi que ce soit, on lit une position.
Dériver une fonction trigonométrique
Les deux formules, et la règle de la composée avec une fonction affine, suffisent à tout ce que le programme demande.
Fonction |
Dérivée |
|---|---|
\(\sin(x)\) |
\(\cos(x)\) |
\(\cos(x)\) |
\(-\sin(x)\) |
\(\sin(ax + b)\) |
\(a\cos(ax+b)\) |
\(\cos(ax + b)\) |
\(-a\sin(ax+b)\) |
Le piège classique : oublier le signe moins de la dérivée du cosinus, ou le coefficient \(a\) qui sort de la composée.
Étudier le signe d'une dérivée trigonométrique
On résout d'abord l'équation \(f'(x) = 0\) , puis on lit le signe sur le cercle entre ces valeurs.
Exemple :
Le cosinus étant supérieur à \(\frac{1}{2}\) en dehors de cet intervalle, \(f'\) y est négative :