Les limites de fonctions en terminale

Ce qu'une limite décrit

Une limite répond à une seule question : vers quoi tendent les images quand la variable s'approche de quelque chose - d'un réel, ou de l'infini.

Limite finie en l'infini

$f$ a pour limite $\ell$ en $+\infty$ si $f(x)$ devient aussi proche de $\ell$ qu'on veut dès que $x$ est assez grand:

$$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell $$

Limite infinie

$f$ a pour limite $+\infty$ si $f(x)$ dépasse tout seuil fixé à l'avance, pourvu que $x$ soit assez grand:

$$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty $$

Une limite infinie n'est pas une limite « qui vaut l'infini » : $+\infty$ n'est pas un nombre. C'est une façon de dire que rien ne retient la fonction.

Les asymptotes

Une limite finie en l'infini, ou infinie en un point, se lit sur la courbe comme une droite dont elle s'approche sans fin.

Limite	Asymptote
$$ \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \ell $$	la droite $y = \ell$, horizontale
$$ \lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty $$	la droite $x = a$, verticale

chaque asymptote parallèle à un axe correspond à une limite

Exemple :

$$ f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3} $$

$$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 2 \qquad \lim_{x \to 3^+} f(x) = +\infty $$

La courbe admet donc deux asymptotes: la droite $y = 2$ et la droite $x = 3$.

Les limites des fonctions de référence

Fonction	En $-\infty$	En $+\infty$
$x^n$, $n$ pair	$+\infty$	$+\infty$
$x^n$, $n$ impair	$-\infty$	$+\infty$
$\frac{1}{x}$	$0$	$0$
$\sqrt{x}$	-	$+\infty$
$e^x$	$0$	$+\infty$

les limites à connaître, dont tout le reste se déduit

Les croissances comparées

Face à $\frac{e^x}{x^n}$, les deux termes tendent vers $+\infty$ : c'est une forme indéterminée. Le programme tranche par un résultat:

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \qquad \text{pour tout } n \in \mathbb{N} $$

$$ \lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0 $$

Autrement dit, l'exponentielle l'emporte toujours, quelle que soit la puissance qu'on lui oppose.

La croissance comparée de $x^n$ et de $\exp$

On admet d'abord l'inégalité $e^x \geqslant \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$ pour $x$ positif, obtenue par récurrence.

En divisant les deux membres par $x^n$, strictement positif :

$$ \frac{e^x}{x^n} \geqslant \frac{x}{(n+1)!} $$

Le membre de droite tend vers $+\infty$ puisque $(n+1)!$ est une constante :

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty $$

C'est le théorème de comparaison qui conclut : une fonction minorée par une fonction tendant vers $+\infty$ y tend aussi.

Les théorèmes de comparaison

Quand une limite résiste au calcul, on encadre la fonction entre deux autres dont on connaît la limite.

$$ f \geqslant g \ \text{et} \ \lim g = +\infty \quad \Longrightarrow \quad \lim f = +\infty $$

$$ g \leqslant f \leqslant h \ \text{et} \ \lim g = \lim h = \ell \quad \Longrightarrow \quad \lim f = \ell $$

Le second porte un nom : le théorème des gendarmes. Deux fonctions encadrent la troisième et la contraignent à la même limite.

Exemple :

$$ f(x) = \frac{\sin(x)}{x} \qquad \text{sur} \ \bigl] 0 \ ; \ +\infty \bigr[ $$

Le sinus reste entre $-1$ et $1$, donc pour $x > 0$ :

$$ -\frac{1}{x} \leqslant \frac{\sin(x)}{x} \leqslant \frac{1}{x} $$

Les deux bornes tendent vers $0$ en $+\infty$ :

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(x)}{x} = 0 $$

Cette limite ne s'obtient d'aucune autre façon : le sinus n'a pas de limite en $+\infty$, les opérations sur les limites ne s'appliquent donc pas. C'est ce que les gendarmes permettent de contourner.

Les formes indéterminées

Quatre situations où les opérations sur les limites ne concluent pas:

$$ \infty - \infty $$

$$ 0 \times \infty $$

$$ \frac{\infty}{\infty} $$

$$ \frac{0}{0} $$

« Indéterminée » ne veut pas dire « sans limite » : cela veut dire que la forme seule ne suffit pas à décider. Il faut transformer l'écriture - factoriser le terme dominant, multiplier par la quantité conjuguée, invoquer une croissance comparée.

La méthode du chapitre détaille chacune de ces levées. Le geste le plus fréquent reste la factorisation du terme prépondérant:

$$ \lim_{x \to +\infty} \left( x^2 - 5x + 3 \right) $$

$$ = \lim_{x \to +\infty} x^2 \left( 1 - \frac{5}{x} + \frac{3}{x^2} \right) $$

Le contenu de la parenthèse tend vers $1$, et $x^2$ vers $+\infty$ :

$$ \lim_{x \to +\infty} \left( x^2 - 5x + 3 \right) = +\infty $$

Fonction	En \(-\infty\)	En \(+\infty\)
\(x^n\), \(n\) pair	\(+\infty\)	\(+\infty\)
\(x^n\), \(n\) impair	\(-\infty\)	\(+\infty\)
\(\frac{1}{x}\)	\(0\)	\(0\)
\(\sqrt{x}\)	-	\(+\infty\)
\(e^x\)	\(0\)	\(+\infty\)

Limite	Asymptote
$$ \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \ell $$	la droite \(y = \ell\), horizontale
$$ \lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty $$	la droite \(x = a\), verticale