Problèmes sur les limites en terminale

Une limite décrit un comportement à long terme : la concentration qui se stabilise, le coût qui s'envole, la population qui plafonne. Ces trois problèmes lisent une asymptote comme une réponse, pas comme une figure.

Lever une forme indéterminée en factorisant le terme prépondérant.
Relier une limite et l'existence d'une asymptote parallèle à un axe.
Appliquer une croissance comparée.
Encadrer une fonction pour obtenir sa limite par comparaison.

La concentration du médicament

La concentration d'un principe actif dans le sang, en mg/L, $t$ heures après l'injection, est modélisée par :

$$ c(t) = \frac{8t}{t^2 + 4} $$

Calculer $c(0)$, $c(2)$ et $c(6)$.

$$ c(0) = 0 \qquad c(2) = 2 \qquad c(6) = 1{,}2 $$
Déterminer la limite de $c$ en $+\infty$, et l'interpréter.

On factorise le terme prépondérant au numérateur et au dénominateur :

$$ c(t) = \frac{8t}{t^2\left(1 + \frac{4}{t^2}\right)} = \frac{8}{t} \times \frac{1}{1 + \frac{4}{t^2}} $$

$$ \lim_{t \to +\infty} c(t) = 0 $$

Le médicament finit par être totalement éliminé.
Quelle asymptote la courbe admet-elle ?

$$ \text{l'axe des abscisses, d'équation } y = 0 $$
La concentration atteint-elle jamais zéro ? Que cela signifie-t-il pour le patient ?

Non : $c(t) > 0$ pour tout $t > 0$, le numérateur ne s'annulant qu'en $0$.

Le modèle prévoit une élimination qui n'est jamais achevée. C'est une limite du modèle, pas de la biologie : en pratique on fixe un seuil de détection en dessous duquel on considère le produit éliminé.

Le coût moyen de production

Produire $q$ tonnes coûte $C(q) = 2q^2 + 30q + 800$ euros. Le coût moyen par tonne est $M(q) = \dfrac{C(q)}{q}$, pour $q > 0$.

Écrire $M(q)$ sous forme développée.

$$ M(q) = 2q + 30 + \frac{800}{q} $$
Déterminer les limites de $M$ en $0^+$ et en $+\infty$.

En $0^+$, le terme $\frac{800}{q}$ l'emporte :

$$ \lim_{q \to 0^+} M(q) = +\infty $$

En $+\infty$, c'est $2q$ :

$$ \lim_{q \to +\infty} M(q) = +\infty $$
Interpréter chacune de ces deux limites.

Produire très peu revient très cher à l'unité : les $800 \ \text{€}$ de coût fixe se répartissent sur trop peu de tonnes.

Produire beaucoup revient cher aussi : le terme en $q^2$ traduit un coût qui s'emballe - heures supplémentaires, saturation des machines.
Il existe donc une production optimale. La déterminer par la dérivée.

$$ M'(q) = 2 - \frac{800}{q^2} $$

$$ M'(q) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad q^2 = 400 \quad \Longleftrightarrow \quad q = 20 $$

$$ M(20) = 40 + 30 + 40 = 110 \ \text{€ par tonne} $$

Encadrer pour conclure

On considère la fonction définie sur $\bigl] 0 \ ; \ +\infty \bigr[$ par :

$$ f(x) = \frac{x + \cos(x)}{x} $$

Montrer que pour tout $x > 0$ : $\ 1 - \dfrac{1}{x} \leqslant f(x) \leqslant 1 + \dfrac{1}{x}$.

Le cosinus est compris entre $-1$ et $1$ :

$$ x - 1 \leqslant x + \cos(x) \leqslant x + 1 $$

On divise par $x$, strictement positif, ce qui conserve l'ordre :

$$ 1 - \frac{1}{x} \leqslant f(x) \leqslant 1 + \frac{1}{x} $$
En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.

Les deux bornes tendent vers $1$. Par le théorème des gendarmes :

$$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 1 $$
Pourquoi ne peut-on pas conclure par les opérations sur les limites ?

La fonction cosinus n'a pas de limite en $+\infty$ : elle oscille indéfiniment entre $-1$ et $1$. Aucune règle d'opération ne s'applique à une quantité sans limite.
Quelle asymptote la courbe admet-elle ? La courbe la traverse-t-elle ?

La droite d'équation $y = 1$ est asymptote horizontale.

La courbe la traverse une infinité de fois : $f(x) = 1$ équivaut à $\cos(x) = 0$, qui a une infinité de solutions. Une asymptote n'est pas une barrière - la courbe s'en approche, mais peut la couper autant de fois qu'elle veut.