Tableau des primitives usuelles en terminale

Remonter d'une dérivée à la fonction : le tableau des primitives, puis la résolution d'une équation différentielle.

Utiliser le tableau des primitives usuelles
Résoudre l'équation homogène associée à une équation différentielle du premier ordre
Trouver une solution particulière de l'équation complète
Écrire toutes les solutions en ajoutant solution homogène et solution particulière

Un café sorti de la machine à $80 \ \text{°C}$ refroidit vite, puis de plus en plus lentement : sa vitesse de refroidissement dépend de l'écart avec la pièce.

$$ T'(t) = {-}k \bigl( T(t) - 20 \bigr) $$

On ne connaît pas la température, mais on connaît sa vitesse de variation : il reste à remonter de l'une à l'autre.

Une équation différentielle relie une grandeur à sa propre vitesse de variation : c'est le langage des phénomènes naturels.

Primitives usuelles

Ce tableau récapitule les primitives directement déterminées à partir de l'opération inverse de la dérivée, à savoir :

$$ f(x) = \int^x F'(t)dt \ \Longleftrightarrow \ F(x) = \int^x f(t)dt $$

$$ \underline{\text{condition}} $$	$$ \underline{\text{primitive générale}} $$
$$ \underline{\text{fonctions usuelles}} $$
$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$	$$ \int^x dt = x$$
$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$	$$ \int^x t \ dt = \frac{x^2}{2}$$
$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+,$$	$$ \int^x \sqrt{t} \ dt = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$$
$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+,$$	$$ \int^x \frac{1}{\sqrt{t}} \ dt = 2\sqrt{x} $$
$$ \text{lorsque} \ x \ \text{est défini} $$	$$ \int^x t^n \ dt = \frac{x^{n+1}}{n+1}$$
$$\forall x \in \mathbb{R}, \enspace \forall n \in \mathbb{R_+^*},$$	$$ \int^x n^t \ dt = \frac{ n^x}{\ln(n)} $$
$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$	$$ \int^x e^t \ dt = e^x$$
$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, $$	$$ \int^x\frac{dt}{t} = \ln\|x\| $$
$$ \forall x \in \mathbb{R^*}, \enspace \forall n \in \mathbb{R^+}, $$	$$ \int^x log_n\|t\| \ dt = \ln(n) \times log_n\|x\| $$
$$ \underline{\text{fonctions trigonométriques}} $$
$$ \forall x \in [-1, \hspace{0.2em} 1], $$	$$ \int^x \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} \ dt = \operatorname{Arcsin}(x) = - \operatorname{Arccos}(x) $$
$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$	$$ \int^x \frac{1}{\sqrt{1 + t^2}} \ dt = \text{arcsinh}(x) $$
$$ \forall k \in \mathbb{Z}, \enspace \forall x \in \biggl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \Bigl\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \Bigr\} \biggr] $$	$$ \int^x \Bigl[ 1 + \tan^2(t) \Bigr] \ dt = \int^x \text{sec}^2(t) \ dt = \tan(x) $$
$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$	$$ \int^x \frac{1}{1 + t^2} \ dt = \operatorname{Arctan}(x) $$
$$ \underline{\text{opérations sur les fonctions}} $$
$$ \forall a \in \mathbb{R}, \ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathcal{D}_f, $$	$$ \int^x f(at) \ dt = \frac{1}{a} F(ax) $$
$$ \forall (\lambda, \mu)) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \ \forall \bigl(u(x), v(x)\bigr) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, $$	$$ \int^x \biggl[ \lambda u(t) + \mu v(t) \biggr] \ dt = \lambda U(x) + \mu V(x) $$
$$ \forall u(x) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, $$	$$ \int^x \frac{u'(t)}{u(t)} \ dt = \ln\bigl\|u(x)\bigr\| $$
$$ \forall u(x) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, $$	$$ \int^x \frac{u'(t)}{u^2(t)} \ dt = - \frac{1}{u(x)} $$
$$ \forall u(x) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, $$	$$ \int^x \frac{u'(t)}{ 2\sqrt{u(t)}} \ dt = \sqrt{u(x)} $$

Équations différentielles (du premier ordre et à coefficient constant)

Dans cette partie, on fera apparaître la fonction $ y(x) $ sous sa forme simplifiée $ y$.

Soit $ y $ une fonction dérivable sur un intervalle $ I $ et $ (a, b) \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}^2$ deux nombres réels.

Soit $ (E) $ une équation différentielle linéaire d'ordre 1 à coefficient constant :

$$ y' + ay = b \hspace{2em} (E) $$

On appelle $ (H) $ son équation homogène associée :

$$ y' + ay = 0 \hspace{2em} (H) $$

Résolution de l'équation homogène $ (H) $

$ y_h = 0 $ est solution, mais considérant $ y_h $ différente de la fonction nulle, la fonction $y_h$ suivante sera solution homogène de $ (H) $ :

$$ y_h = Ke^{- ax } $$

Résolution de l'équation générale $ (E) $

La fonction $y_p$ sera solution particulière de $ (E) $ :

$$ y_p = \frac{b}{a} $$

En trouvant une solution particulière $y_p$ pour $ (E) $, on peut alors additionner ces deux solutions, et déterminer une solution totale de $ (E) $ :

$$ y_t = y_h + y_p $$

Soit,

$$ y_t = Ke^{- ax } + \frac{b}{a} $$

Le tableau des primitives usuelles

Primitives usuelles

Équations différentielles (du premier ordre et à coefficient constant)

Résolution de l'équation homogène \( (H) \)

Résolution de l'équation générale \( (E) \)