Problèmes sur les équations différentielles en terminale

Un café qui refroidit, quatre primitives à reconnaître, un condensateur qui se charge : la même équation différentielle sous trois habits, et le calcul qui la précède.

Reconnaître une équation différentielle de la forme y' = ay + b.
Déterminer la solution vérifiant une condition initiale.
Calculer une primitive de la forme (v' ∘ u) × u'.
Interpréter la limite d'une solution dans le contexte de l'énoncé.

Le café qui refroidit

Un café servi à $80 \ °\text{C}$ refroidit dans une pièce à $20 \ °\text{C}$. Sa température $\theta(t)$, en degrés, $t$ minutes après le service, vérifie :

$$ \theta'(t) = -0{,}05 \bigl(\theta(t) - 20\bigr) $$

Écrire cette équation sous la forme $y' = ay + b$, et donner $a$ et $b$.

$$ \theta' = -0{,}05 \, \theta + 1 \qquad a = -0{,}05 \ , \ b = 1 $$
Déterminer la solution constante.

$$ y = -\frac{b}{a} = -\frac{1}{-0{,}05} = 20 $$
En déduire $\theta(t)$, sachant que $\theta(0) = 80$.

Les solutions sont les $\theta(t) = C \, e^{-0{,}05 t} + 20$. La condition initiale donne :

$$ C + 20 = 80 \quad \Longleftrightarrow \quad C = 60 $$

$$ \theta(t) = 60 \, e^{-0{,}05 t} + 20 $$
Calculer la température au bout de $20$ minutes, puis donner la limite.

$$ \theta(20) = 60 \, e^{-1} + 20 \approx 42{,}1 \ °\text{C} $$

$$ \lim\limits_{t \to +\infty} \theta(t) = 20 \ °\text{C} $$

Le café tend vers la température de la pièce, sans jamais l'atteindre.

Quatre primitives à reconnaître

Déterminer une primitive de chacune de ces fonctions, en repérant la forme composée.

$f(x) = 2x \, e^{x^2}$

C'est $u' e^u$ avec $u(x) = x^2$ :

$$ F(x) = e^{x^2} $$
$g(x) = \dfrac{2x + 3}{x^2 + 3x + 5}$

Le numérateur est la dérivée du dénominateur, qui est strictement positif - son discriminant vaut $9 - 20 < 0$ :

$$ G(x) = \ln\bigl(x^2 + 3x + 5\bigr) $$
$h(x) = 3x^2 \bigl(x^3 + 1\bigr)^4$

C'est $u' u^4$ avec $u(x) = x^3 + 1$ :

$$ H(x) = \frac{\bigl(x^3 + 1\bigr)^5}{5} $$
$k(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

Il manque un facteur $2$ au numérateur pour avoir $u'$ : on le fabrique.

$$ k(x) = \frac{1}{2} \times \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}} $$

$$ K(x) = \sqrt{x^2 + 1} $$

La charge du condensateur

La tension $u(t)$, en volts, aux bornes d'un condensateur en charge vérifie, $t$ étant en secondes :

$$ u'(t) = 5 - 2 \, u(t) \qquad u(0) = 0 $$

Déterminer la solution constante de cette équation.

L'équation s'écrit $u' = -2u + 5$, donc $a = -2$ et $b = 5$ :

$$ y = -\frac{5}{-2} = 2{,}5 $$
Déterminer $u(t)$.

Les solutions sont les $u(t) = C \, e^{-2t} + 2{,}5$, et $u(0) = 0$ donne $C = -2{,}5$ :

$$ u(t) = 2{,}5 \bigl(1 - e^{-2t}\bigr) $$
Au bout de combien de temps la tension atteint-elle $90 \ \%$ de sa valeur limite ?

La limite est $2{,}5$ volts, et l'on cherche $t$ tel que $u(t) = 0{,}9 \times 2{,}5$ :

$$ 1 - e^{-2t} = 0{,}9 \quad \Longleftrightarrow \quad e^{-2t} = 0{,}1 $$

$$ -2t = \ln(0{,}1) \quad \Longleftrightarrow \quad t = \frac{\ln(10)}{2} $$

$$ t \approx 1{,}15 \ \text{seconde} $$