Le produit scalaire traduit l'angle droit en calcul, dans l'espace comme dans le plan.
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Calculer un produit scalaire à partir des normes et de l'angle
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Calculer un produit scalaire à partir des coordonnées dans un repère orthonormé
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Démontrer que deux vecteurs sont orthogonaux
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Utiliser la bilinéarité et les identités remarquables du produit scalaire
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Exprimer un produit scalaire à l'aide des normes
Un mât est tenu par des haubans accrochés au sol. Il est vraiment vertical s'il fait un angle droit avec deux
directions différentes du sol, pas seulement avec une.
Un seul hauban tendu laisse le mât pencher dans l'autre sens.
Une droite est orthogonale à un plan dès qu'elle l'est à deux droites sécantes de ce plan.
Définitions
Le produit scalaire
Soient \( \vec{u}\) et \( \vec{v}\) deux vecteurs.
On note \(||\vec{u}|| \) et \(||\vec{v}|| \) les normes respectives des vecteurs \( \vec{u}\) et \( \vec{v}\), et \( (\vec{u} , \vec{v})\) l'angle formé par les deux vecteurs.
On appelle le produit scalaire \( \vec{u} \cdot \vec{v} \), le nombre réel résultant de :
$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\vec{u}, \vec{v}) $$
C'est la norme du projeté orthogonal du vecteur \( \vec{u}\) sur le vecteur \( \vec{v}\), multiplié par la norme du vecteur \( \vec{v}\).
Expression analytique du produit scalaire
$$ \forall \left [\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\z \end{pmatrix} , \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\z' \end{pmatrix} \right], $$
$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' +zz' $$
Expression analytique du produit scalaire
Soient \(\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\z \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\z' \end{pmatrix}\) deux vecteurs dans un repère orthonormé \( (O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\)
et telle que la figure suivante :
Alors on peut exprimer \(\vec{u} \) et \(\vec{v} \) sous la forme suivante :
$$ \Biggl \{ \begin{gather*} \vec{u} = x \vec{i} + y \vec{j} +z \vec{k} \\ \vec{v} = x' \vec{i} + y' \vec{j} +z' \vec{k} \end{gather*} $$
Alors le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v} \) vaut :
$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = (x \vec{i} + y \vec{j} +z \vec{k}) . ( x' \vec{i} + y' \vec{j} +z' \vec{k}) $$
$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = xx'\vec{i} \cdot \vec{i} + xy'\vec{i} \cdot \vec{j} + xz'\vec{i} \cdot \vec{k} + yx'\vec{j} \cdot \vec{i} + yy'\vec{j} \cdot \vec{j} + yz'\vec{j} \cdot \vec{k} +
zx'\vec{k} \cdot \vec{i} + zy'\vec{k} \cdot \vec{j} + zz'\vec{k} \cdot \vec{k} $$
$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = xx' {|| \vec{i} ||}^2 + yy'{|| \vec{j} ||}^2 + zz'{|| \vec{k} ||}^2 + xy'\vec{i} \cdot \vec{j} + xz'\vec{i} \cdot \vec{k} + yx'\vec{j} \cdot \vec{i} + yz'\vec{j}
\cdot \vec{k} + zx'\vec{k} \cdot \vec{i} + zy'\vec{k} \cdot \vec{j} \hspace{2em} (1) $$
Les trois vecteurs \(\vec{i},\vec{j}, \vec{k} \) sont par hypothèse nos vecteurs unitaires, alors :
$$ {|| \vec{i} ||}^2 = {|| \vec{j} ||}^2 = {|| \vec{k} ||}^2 = 1 $$
Par ailleurs, étant dans un repère orthonormé, les trois vecteurs \(\vec{i},\vec{j}, \vec{k} \) sont
orthogonaux, alors leur produit scalaire est nul :
$$ \vec{i} \cdot \vec{j} = \vec{i} \cdot \vec{k}= \vec{j} \cdot \vec{k} = 0 $$
Et par
commutativité du produit scalaire, on a aussi :
$$ \vec{j} \cdot \vec{i} = \vec{k} \cdot \vec{i}= \vec{k} \cdot \vec{j} = 0 $$
Soit en réécrivant \((1) \),
$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz' + \hspace{0.1em} \underbrace { xy'\vec{i} \cdot \vec{j} + xz'\vec{i} \cdot \vec{k} + yx'\vec{j} \cdot \vec{i} + yz'\vec{j} \cdot \vec{k} +
zx'\vec{k} \cdot \vec{i} + zy'\vec{k} \cdot \vec{j} } _\text{ \(= \hspace{0.1em} 0\)} $$
Et finalement,
$$ \forall \left [\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\z \end{pmatrix} , \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\z' \end{pmatrix} \right], $$
$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' +zz' $$
Propriétés du produit scalaire
Soient \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) trois vecteurs de l'espace, et \(\lambda\) un réel.
Commutativité
$$ \forall (\vec{u}, \vec{v}), $$
$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} $$
Vecteurs orthogonaux
$$ \forall (\vec{u}, \vec{v}) \neq \vec{0},$$
$$ \vec{u} \text{ et } \vec{v} \ \text{orthogonaux} \Longleftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 $$
Carré scalaire
$$ \forall \vec{u},$$
$$ \vec{u} \cdot \vec{u} = {|| \vec{u} ||}^2 $$
Bilinéarité
$$ \forall \lambda \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, \ \forall (\vec{u}, \vec{v}),$$
$$ (\lambda\vec{u})\cdot\vec{v} = \vec{u}\cdot(\lambda\vec{v}) = \lambda \times \vec{u} \cdot \vec{v}$$
Par ailleurs, en effectuant le produit scalaire \( (\lambda\vec{u})\cdot(\mu\vec{v})\), on obtient :
$$ \forall (\lambda, \mu) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \ \forall (\vec{u}, \vec{v}),$$
$$ (\lambda\vec{u})\cdot(\mu\vec{v}) = \lambda \, \mu \times \vec{u} \cdot \vec{v} $$
Distributivité par rapport à l'addition
$$ \forall (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}), $$
$$ \vec{u}\cdot( \vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} $$
Et aussi la distributivé à gauche :
$$ \forall (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}), $$
$$ (\vec{u} + \vec{v}) \cdot \vec{w} = \vec{u} \cdot \vec{w} + \vec{v} \cdot \vec{w} $$
Identités remarquables
On a les mêmes formules que les identités remarquables.
$$ \forall (\vec{u}, \vec{v}), $$
$$ (\vec{u} + \vec{v})^2 = {|| \vec{u} ||}^2 + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + {|| \vec{v} ||}^2 $$
$$ (\vec{u} - \vec{v})^2 = {|| \vec{u} ||}^2 - 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + {|| \vec{v} ||}^2 $$
$$ {|| \vec{u} ||}^2 - {|| \vec{v} ||}^2= (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) $$
Expression en fonction des normes
$$ \forall (\vec{u}, \vec{v}), $$
$$ \vec{u} \cdot \vec{v} =\frac{1}{2} \left( {|| \vec{u} + \vec{v} ||}^2 - {|| \vec{u} ||}^2 - {|| \vec{v} ||}^2 \right ) $$
$$ \vec{u} \cdot \vec{v} =\frac{1}{2} \left( {|| \vec{u} ||}^2 + {|| \vec{v} ||}^2 - {|| \vec{u} -\vec{v} ||}^2 \right ) $$
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