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Représentations paramétriques et équations cartésiennes

Dans un repère, droites et plans de l'espace se mettent en équations : leurs positions deviennent des calculs.

Un drone suit une ligne droite entre deux points. Le contrôleur ne veut pas seulement savoir par où il passe, mais où il se trouve à chaque seconde.

$$ \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 1 - t \\ z = 5 + 2t \end{cases} $$

Le paramètre \(t\) est le temps du vol : chaque valeur donne une position, et une seule.

Une représentation paramétrique raconte le trajet dans le temps, là où une équation cartésienne décrit l'ensemble des points.

Un repère orthonormé transforme chaque objet de l'espace en un calcul dans \(\mathbb{R}^3\). Une droite devient trois équations paramétrées, un plan une seule équation - et les questions de position deviennent des systèmes.

Dans un repère orthonormé

Les trois formules qui servent partout, et qui prolongent celles du plan par un troisième terme.

$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz' $$
$$ \| \vec{u} \| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $$
$$ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} $$

Et le critère qui les fait servir : deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Représentation paramétrique d'une droite

Représentation paramétrique

La droite passant par \(A(x_A \ ; \ y_A \ ; \ z_A)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}(a \ ; \ b \ ; \ c)\) est l'ensemble des points \(M(x \ ; \ y \ ; \ z)\) tels que :

$$ \left\{ \begin{gather*} x = x_A + a\,t \\ y = y_A + b\,t \\ z = z_A + c\,t \end{gather*} \right. \hspace{2em} (t \in \mathbb{R}) $$

Elle traduit exactement \(\overrightarrow{AM} = t \, \vec{u}\), coordonnée par coordonnée. Le réel \(t\) est le paramètre : chaque valeur donne un point, et chaque point une valeur.

Exemple :

Droite passant par \(A(1 \ ; \ 2 \ ; \ -1)\), de vecteur directeur \(\vec{u}(2 \ ; \ -1 \ ; \ 3)\) :

$$ \left\{ \begin{gather*} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = -1 + 3t \end{gather*} \right. $$

La lecture inverse est immédiate : les constantes donnent un point, les coefficients de \(t\) donnent un vecteur directeur. C'est ce qui permet de reconnaître deux droites parallèles sans calcul.

Vecteur normal et équation cartésienne

Vecteur normal

Un vecteur non nul est normal à un plan s'il est orthogonal à tous les vecteurs de ce plan.

Équation cartésienne d'un plan

Le plan passant par \(A\) et normal à \(\vec{n}(a \ ; \ b \ ; \ c)\) a pour équation :

$$ ax + by + cz + d = 0 $$

Réciproquement, toute équation de cette forme, avec \((a, b, c)\) non tous nuls, est celle d'un plan de vecteur normal \(\vec{n}(a \ ; \ b \ ; \ c)\).

Équation cartésienne d'un plan

Un point \(M\) appartient au plan si et seulement si \(\overrightarrow{AM}\) est un vecteur du plan, donc orthogonal à \(\vec{n}\) :

$$ M \in (\mathcal{P}) \quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0 $$

En coordonnées, ce produit scalaire s'écrit :

$$ a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0 $$

En développant, et en regroupant les constantes :

$$ ax + by + cz - \bigl(a x_A + b y_A + c z_A\bigr) = 0 $$
$$ ax + by + cz + d = 0 \hspace{2em} \text{avec} \ d = -\bigl(a x_A + b y_A + c z_A\bigr) $$

Les trois coefficients de l'équation sont donc les coordonnées du vecteur normal, et la constante se calcule en imposant que le point \(A\) vérifie l'équation.

Exemple :

Plan passant par \(A(1 \ ; \ 2 \ ; \ 3)\) et normal à \(\vec{n}(2 \ ; \ -1 \ ; \ 4)\) :

$$ 2(x - 1) - (y - 2) + 4(z - 3) = 0 $$
$$ 2x - y + 4z - 12 = 0 $$

Positions relatives par le calcul

Question
Le calcul
deux plans parallèles ?
vecteurs normaux colinéaires
deux plans perpendiculaires ?
produit scalaire des normaux nul
droite parallèle à un plan ?
\(\vec{u} \cdot \vec{n} = 0\)
droite orthogonale à un plan ?
\(\vec{u}\) et \(\vec{n}\) colinéaires
intersection d'une droite et d'un plan ?
reporter la paramétrique dans l'équation
les deux premières lignes se ressemblent, et leurs conclusions sont inverses

Attention au renversement : une droite est parallèle au plan quand son vecteur directeur est orthogonal au normal, et orthogonale au plan quand il lui est colinéaire. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

Le projeté orthogonal

Projeté orthogonal sur un plan

Le projeté orthogonal de \(M\) sur un plan est le point \(H\) du plan tel que \(\overrightarrow{MH}\) soit normal au plan.

Distance minimale au plan

Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(M\) sur le plan \((\mathcal{P})\), et \(N\) un autre point de \((\mathcal{P})\).

Le vecteur \(\overrightarrow{MH}\) est normal au plan, et \(\overrightarrow{HN}\) est un vecteur du plan : ils sont donc orthogonaux, et le triangle \(MHN\) est rectangle en \(H\).

Le théorème de Pythagore donne alors :

$$ MN^2 = MH^2 + HN^2 $$

Comme \(HN^2\) est positif :

$$ MN \geqslant MH $$

L'égalité n'a lieu que si \(HN = 0\), c'est-à-dire si \(N = H\) : le projeté est le seul point du plan à cette distance minimale.

Le calculer suit toujours les mêmes trois étapes : écrire la droite normale passant par \(M\), la reporter dans l'équation du plan, et résoudre en \(t\).

Exemple :

Projeté orthogonal de \(M(3 \ ; \ 3 \ ; \ 3)\) sur le plan d'équation \(x + 2y + 2z - 6 = 0\).

Le vecteur normal est \(\vec{n}(1 \ ; \ 2 \ ; \ 2)\), d'où la droite normale passant par \(M\) :

$$ \left\{ \begin{gather*} x = 3 + t \\ y = 3 + 2t \\ z = 3 + 2t \end{gather*} \right. $$

On reporte dans l'équation du plan :

$$ (3 + t) + 2(3 + 2t) + 2(3 + 2t) - 6 = 9 + 9t = 0 $$

Donc \(t = -1\), et en remplaçant :

$$ H(2 \ ; \ 1 \ ; \ 1) $$

La distance de \(M\) au plan est alors \(MH = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3\).

Le procédé est le même pour projeter sur une droite, à ceci près qu'on échange les rôles : on écrit la droite en paramétrique, et l'on cherche le paramètre qui rend \(\overrightarrow{MH}\) orthogonal au vecteur directeur.