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Le calcul vectoriel de première ne change pas en passant à l'espace : les règles sont les mêmes, avec une coordonnée de plus. Ce qui change, ce sont les objets qu'on peut y rencontrer, et leurs positions relatives.
Vecteurs de l'espace
Un vecteur de l'espace se définit comme dans le plan, par une direction, un sens et une longueur. Somme, produit par un réel, relation de Chasles : rien n'est nouveau.
Combinaison linéaire
Un vecteur \(\vec{w}\) est combinaison linéaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) s'il existe deux réels \(a\) et \(b\) tels que \(\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}\).
Deux vecteurs sont colinéaires si l'un est un multiple de l'autre. Trois vecteurs sont coplanaires si l'un est combinaison linéaire des deux autres.
C'est la notion neuve du chapitre : dans le plan, trois vecteurs sont toujours coplanaires. Dans l'espace, la coplanarité devient une vraie question, et c'est elle qu'on teste pour savoir si quatre points sont dans un même plan.
Droites et plans
Caractériser une droite
Une droite est déterminée par un point et un vecteur directeur non nul.
Caractériser un plan
Un plan est déterminé par un point et deux vecteurs non colinéaires, qui donnent sa direction.
Trois points non alignés déterminent donc un plan : ils fournissent le point et les deux vecteurs non colinéaires qu'il faut.
Bases et repères
Base de l'espace
Trois vecteurs non coplanaires forment une base de l'espace : tout vecteur s'écrit d'une seule manière comme combinaison linéaire des trois.
Les trois réels \(x\), \(y\), \(z\) sont les coordonnées de \(\vec{w}\) dans cette base. Une base à laquelle on adjoint un point \(O\) forme un repère \((O \ ; \ \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\).
Sur une figure, lire si trois vecteurs forment une base revient à vérifier qu'ils ne sont pas dans un même plan. Trois arêtes d'un cube issues d'un même sommet en forment une ; trois arêtes d'une même face, non.
Positions relatives
C'est ici que l'espace se distingue du plan : deux droites peuvent ne pas se couper sans être parallèles.
Deux droites |
Quand |
|---|---|
coplanaires et sécantes |
un seul point commun |
coplanaires et parallèles |
vecteurs directeurs colinéaires |
non coplanaires |
aucun point commun, et non parallèles |
Une droite et un plan |
Deux plans |
|---|---|
la droite est incluse dans le plan |
les plans sont confondus |
parallèles, sans point commun |
parallèles, sans point commun |
sécants en un point |
sécants selon une droite |
Démontrer une configuration
Toutes les questions de configuration se ramènent à trois tests, et chacun est un calcul vectoriel.
Pour montrer que… |
On montre que… |
|---|---|
\(A\), \(B\), \(C\) sont alignés |
\(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires |
deux droites sont parallèles |
leurs vecteurs directeurs sont colinéaires |
\(A\), \(B\), \(C\), \(D\) sont coplanaires |
\(\overrightarrow{AD}\) est combinaison linéaire de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) |
Exemple :
Dans un repère, \(A(1 \ ; \ 0 \ ; \ 2)\), \(B(3 \ ; \ 1 \ ; \ 4)\), \(C(0 \ ; \ 2 \ ; \ 1)\) et \(D(4 \ ; \ 3 \ ; \ 5)\). Ces quatre points sont-ils coplanaires ?
On cherche deux réels \(s\) et \(t\) tels que \(\overrightarrow{AD} = s \, \overrightarrow{AB} + t \, \overrightarrow{AC}\) :
La première et la troisième équation sont identiques. Les deux premières donnent \(s = \frac{9}{5}\) et \(t = \frac{3}{5}\), qui conviennent :
Un système de trois équations à deux inconnues n'a en général aucune solution. Qu'il en ait une est exactement ce qui signale la coplanarité - et c'est pourquoi la troisième équation doit être vérifiée, jamais oubliée.