Problèmes de géométrie dans l'espace en terminale

Un cube, une droite qui frôle un plan, un lieu de points équidistants : trois configurations que la vision seule ne tranche pas, et que le produit scalaire règle en trois lignes.

Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité dans l'espace.
Déterminer la position relative d'une droite et d'un plan.
Calculer la distance d'un point à un plan par le projeté orthogonal.
Déterminer l'équation cartésienne d'un lieu géométrique.

La diagonale du cube

$ABCDEFGH$ est un cube d'arête $1$. On se place dans le repère orthonormé $\left(A \ ; \ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right)$, où $E$ est le sommet situé au-dessus de $A$.

Donner les coordonnées des sommets $G$, $B$, $D$ et $E$.

$$ B(1 \ ; \ 0 \ ; \ 0) \quad D(0 \ ; \ 1 \ ; \ 0) \quad E(0 \ ; \ 0 \ ; \ 1) \quad G(1 \ ; \ 1 \ ; \ 1) $$
Calculer $\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{BD}$, et conclure.

$$ \overrightarrow{AG}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{BD}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} $$

$$ \overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{BD} = -1 + 1 + 0 = 0 $$

$$ (AG) \ \text{et} \ (BD) \ \text{sont orthogonales} $$
Démontrer que la droite $(AG)$ est orthogonale au plan $(BDE)$.

$$ \overrightarrow{BE}\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{BE} = -1 + 0 + 1 = 0 $$

$\overrightarrow{AG}$ est donc orthogonal à $\overrightarrow{BD}$ et à $\overrightarrow{BE}$, qui sont deux vecteurs non colinéaires du plan $(BDE)$.

$$ \overrightarrow{AG} \ \text{est normal au plan} \ (BDE) $$

Deux vecteurs suffisent : ils engendrent la direction du plan, donc l'orthogonalité se propage à tous les autres.

La droite qui frôle le plan

Dans un repère orthonormé, on considère le plan $(\mathcal{P})$ d'équation $2x - y + 2z - 3 = 0$ et la droite $(d)$ passant par $A(1 \ ; \ 0 \ ; \ 2)$, de vecteur directeur $\vec{u}(1 \ ; \ 4 \ ; \ 1)$.

Donner un vecteur normal à $(\mathcal{P})$.

$$ \vec{n}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} $$
Calculer $\vec{u} \cdot \vec{n}$, et interpréter.

$$ \vec{u} \cdot \vec{n} = 2 - 4 + 2 = 0 $$

Le vecteur directeur est orthogonal au vecteur normal : la droite est donc parallèle au plan, ou incluse dedans.
Le point $A$ appartient-il à $(\mathcal{P})$ ? En déduire la position exacte de $(d)$.

$$ 2 \times 1 - 0 + 2 \times 2 - 3 = 3 \neq 0 $$

$$ (d) \ \text{est strictement parallèle à} \ (\mathcal{P}) $$
Déterminer la distance de $A$ au plan $(\mathcal{P})$.

La droite normale passant par $A$ a pour représentation paramétrique :

$$ \left\{ \begin{gather*} x = 1 + 2t \\ y = -t \\ z = 2 + 2t \end{gather*} \right. $$

On reporte dans l'équation du plan :

$$ 2(1 + 2t) + t + 2(2 + 2t) - 3 = 3 + 9t = 0 $$

Donc $t = -\frac{1}{3}$, et le projeté orthogonal est $H\left(\frac{1}{3} \ ; \ \frac{1}{3} \ ; \ \frac{4}{3}\right)$.

$$ AH = \frac{1}{3} \times \| \vec{n} \| = \frac{1}{3} \times 3 = 1 $$

Le plan médiateur

Dans un repère orthonormé, $A(1 \ ; \ 2 \ ; \ 3)$ et $B(5 \ ; \ 4 \ ; \ 1)$. On cherche l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $MA = MB$.

Donner les coordonnées du milieu $I$ de $\bigl[AB\bigr]$, et celles de $\overrightarrow{AB}$.

$$ I(3 \ ; \ 3 \ ; \ 2) \qquad \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} $$
En écrivant $MA^2 = MB^2$, déterminer une équation cartésienne de cet ensemble.

$$ (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = (x-5)^2 + (y-4)^2 + (z-1)^2 $$

Les carrés $x^2$, $y^2$ et $z^2$ se simplifient de part et d'autre :

$$ -2x + 1 - 4y + 4 - 6z + 9 = -10x + 25 - 8y + 16 - 2z + 1 $$

$$ 8x + 4y - 4z - 28 = 0 $$

$$ 2x + y - z - 7 = 0 $$
Reconnaître cet ensemble, et vérifier le résultat sur les deux données de la question 1.

C'est un plan, de vecteur normal $\vec{n}(2 \ ; \ 1 \ ; \ -1)$. Or $\overrightarrow{AB} = 2 \, \vec{n}$ : le plan est bien normal à $\bigl[AB\bigr]$.

Et $I$ lui appartient : $2 \times 3 + 3 - 2 - 7 = 0$.

$$ \text{c'est le plan médiateur de} \ \bigl[AB\bigr] $$