Problèmes sur la concentration

Le sondage

Dans une population, une proportion \(0.4\) des personnes possède un certain caractère. On interroge \(1 \ 000\) personnes au hasard et de façon indépendante, et on note \(X\) le nombre de personnes possédant ce caractère.

1. Donner la loi de \(X\), puis calculer \(E(X)\) et \(V(X)\).
   $$ X \sim \mathcal{B}(1 \ 000 \ ; \ 0.4) $$

   $$ E(X) = 1 \ 000 \times 0.4 = 400 $$

   $$ V(X) = 1 \ 000 \times 0.4 \times 0.6 = 240 $$
2. Majorer \(P\bigl(|X - 400| \geqslant 50\bigr)\) par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
   $$ P\bigl(|X - 400| \geqslant 50\bigr) \leqslant \frac{240}{50^2} = \frac{240}{2 \ 500} $$

   $$ P\bigl(|X - 400| \geqslant 50\bigr) \leqslant 0.096 $$
3. En notant \(F = \frac{X}{1 \ 000}\) la fréquence observée, traduire ce résultat, et conclure sur la fiabilité du sondage.

   Diviser par \(1 \ 000\) l'écart comme la borne :

   $$ P\bigl(|F - 0.4| \geqslant 0.05\bigr) \leqslant 0.096 $$

   $$ P\bigl(0.35 < F < 0.45\bigr) \geqslant 0.904 $$

   La fréquence observée est comprise entre \(35 \ \%\) et \(45 \ \%\) dans plus de neuf sondages sur dix. C'est une garantie, mais elle reste large : cinq points de part et d'autre.

Cent lancers de dé

On lance un dé équilibré à six faces, et on note \(X\) le numéro obtenu. On répète l'expérience \(100\) fois de façon indépendante, et on note \(M_{100}\) la moyenne des \(100\) résultats.

1. Calculer \(E(X)\).
   $$ E(X) = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3.5 $$
2. Calculer \(V(X)\).
   $$ E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6} $$

   $$ V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = \frac{91}{6} - 12.25 $$

   $$ V(X) = \frac{35}{12} \approx 2.92 $$
3. En déduire \(E(M_{100})\) et \(V(M_{100})\).
   $$ E(M_{100}) = 3.5 $$

   $$ V(M_{100}) = \frac{35}{12 \times 100} = \frac{35}{1 \ 200} \approx 0.0292 $$
4. Majorer la probabilité que la moyenne observée s'écarte de \(3.5\) d'au moins \(0.5\).
   $$ P\bigl(|M_{100} - 3.5| \geqslant 0.5\bigr) \leqslant \frac{35}{12 \times 100 \times 0.25} = \frac{35}{300} $$

   $$ P\bigl(|M_{100} - 3.5| \geqslant 0.5\bigr) \leqslant 0.117 $$
5. Que devient cette majoration si l'on lance le dé \(10 \ 000\) fois ?

   Le dénominateur est multiplié par \(100\) :

   $$ P\bigl(|M_{10 \ 000} - 3.5| \geqslant 0.5\bigr) \leqslant 0.00117 $$

   C'est la loi des grands nombres à l'œuvre : la majoration tend vers \(0\).

Combien de mesures ?

Un capteur mesure une grandeur physique. Chaque mesure est entachée d'une erreur aléatoire, indépendante des autres, d'espérance nulle et de variance \(4\). On moyenne \(n\) mesures pour estimer la valeur réelle \(\mu\).

1. Écrire la majoration de \(P\bigl(|M_n - \mu| \geqslant 0.1\bigr)\) en fonction de \(n\).
   $$ P\bigl(|M_n - \mu| \geqslant 0.1\bigr) \leqslant \frac{4}{n \times 0.01} $$

   $$ P\bigl(|M_n - \mu| \geqslant 0.1\bigr) \leqslant \frac{400}{n} $$
2. Déterminer le nombre minimal de mesures pour que ce risque n'excède pas \(5 \ \%\).
   $$ \frac{400}{n} \leqslant 0.05 \quad \Longleftrightarrow \quad n \geqslant \frac{400}{0.05} $$

   $$ n = 8 \ 000 \ \text{mesures} $$
3. L'ingénieur trouve ce nombre absurde au vu de ses simulations, qui donnent le même risque dès \(1 \ 500\) mesures. A-t-il tort de faire confiance à son logiciel ?

   Non. L'inégalité de concentration ne suppose rien de la loi des erreurs : elle est vraie pour toutes, donc calibrée sur la pire d'entre elles. Sa borne est valable mais très pessimiste, et une simulation qui exploite la loi réelle donne légitimement un nombre bien plus petit.

Quand les variances s'ajoutent

On lance deux dés équilibrés à six faces, et l'on note \(X_1\) et \(X_2\) les résultats obtenus. Ces deux variables aléatoires sont indépendantes et suivent la même loi uniforme sur \(\{ 1 \ ; \ 2 \ ; \ 3 \ ; \ 4 \ ; \ 5 \ ; \ 6 \}\).

Un jeu de plateau propose quatre façons de former deux scores \(S\) et \(T\) à partir de ces deux dés :

Un joueur affirme que « la variance du total est toujours la somme des variances ». Il s'agit de déterminer tous les cas où il a raison.

1. Calculer \(E(X_1)\) et \(V(X_1)\).
   $$ E(X_1) = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{7}{2} $$

   $$ E \left( X_1^{\, 2} \right) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6} $$

   $$ V(X_1) = \frac{91}{6} - \left( \frac{7}{2} \right)^2 = \frac{182 - 147}{12} $$

   $$ V(X_1) = \frac{35}{12} $$
2. Pour chacune des quatre façons, calculer \(V(S)\), \(V(T)\) et \(V(S + T)\). On notera \(\sigma^2 = \frac{35}{12}\).

   1. \(S + T = X_1 + X_2\), somme de deux variables indépendantes :

      $$ V(S) = V(T) = \sigma^2 \hspace{2em} V(S + T) = \sigma^2 + \sigma^2 = 2 \, \sigma^2 $$

   2. \(S + T = 2 \, X_1\), et \(V(aX) = a^2 V(X)\) :

      $$ V(S) = V(T) = \sigma^2 \hspace{2em} V(S + T) = 4 \, \sigma^2 $$

   3. \(V(7 - X_1) = (- 1)^2 V(X_1) = \sigma^2\), et \(S + T = 7\), variable constante :

      $$ V(S) = V(T) = \sigma^2 \hspace{2em} V(S + T) = 0 $$

   4. \(X_1\) et \(X_2\) étant indépendantes, \(V(X_1 - X_2) = V(X_1) + V(- X_2) = 2 \, \sigma^2\). Et \(S + T = 2 \, X_1\) :

      $$ V(S) = V(T) = 2 \, \sigma^2 \hspace{2em} V(S + T) = 4 \, \sigma^2 $$
3. Déterminer toutes les façons pour lesquelles le joueur a raison.

   On compare, cas par cas, \(V(S + T)\) à \(V(S) + V(T)\) :

   	$$ V(S) + V(T) $$	$$ V(S + T) $$	$$ \text{égalité} $$
   $$ \text{(a)} $$	$$ 2 \, \sigma^2 $$	$$ 2 \, \sigma^2 $$	$$ \text{oui} $$
   $$ \text{(b)} $$	$$ 2 \, \sigma^2 $$	$$ 4 \, \sigma^2 $$	$$ \text{non} $$
   $$ \text{(c)} $$	$$ 2 \, \sigma^2 $$	$$ 0 $$	$$ \text{non} $$
   $$ \text{(d)} $$	$$ 4 \, \sigma^2 $$	$$ 4 \, \sigma^2 $$	$$ \text{oui} $$

   $$ \text{deux cas sur quatre : (a) et (d)} $$

   Les cas (b) et (c) montrent les deux façons d'échouer : en (b), les deux scores montent ensemble et l'écart s'amplifie ; en (c), ils se compensent exactement et l'écart disparaît.

4. Démontrer que, dans le cas (d), les variables \(S\) et \(T\) ne sont pas indépendantes, et en tirer la conclusion sur l'affirmation du joueur.

   Il suffit d'un contre-exemple. L'événement \(S = 12\) impose \(X_1 = X_2 = 6\), donc \(T = 0\) :

   $$ P(S = 12 \ \text{et} \ T = 2) = 0 $$

   Or ces deux événements sont chacun possible :

   $$ P(S = 12) = \frac{1}{36} \hspace{2em} P(T = 2) = \frac{4}{36} $$

   $$ P(S = 12) \times P(T = 2) = \frac{4}{1 \ 296} \neq 0 $$

   $$ S \ \text{et} \ T \ \text{ne sont pas indépendantes, et pourtant les variances s'ajoutent} $$

   L'affirmation du joueur est donc fausse en général - deux cas sur quatre la démentent - mais l'indépendance n'est pas la seule situation qui la rende vraie.

   Ce que le cours garantit est exactement ceci : l'indépendance suffit. Elle n'est pas nécessaire, et c'est pourquoi on ne peut pas lire l'indépendance sur une égalité de variances.

Un gros pari ou cent petits ?

Un fonds d'amorçage dispose de \(100 \ 000 \ \text{€}\) à placer dans de jeunes entreprises. Une mise de \(m\) euros dans une entreprise rapporte \(3 \, m\) euros avec la probabilité \(0.4\), et rien du tout avec la probabilité \(0.6\). Les entreprises sont indépendantes les unes des autres.

Trois façons de placer la somme sont à l'étude :

1. Pour une mise de \(m\) euros, on note \(G_m\) la somme récupérée. Calculer \(E(G_m)\) et \(V(G_m)\), puis en déduire que les trois placements ont la même espérance.
   $$ E(G_m) = 0.4 \times 3 \, m + 0.6 \times 0 = 1.2 \, m $$

   $$ E \left( G_m^{\, 2} \right) = 0.4 \times 9 \, m^2 = 3.6 \, m^2 $$

   $$ V(G_m) = 3.6 \, m^2 - 1.44 \, m^2 = 2.16 \, m^2 $$

   Le total récupéré est la somme des gains des entreprises financées. Par linéarité de l'espérance - qui ne demande aucune indépendance - chacun des trois placements a pour espérance :

   $$ 1.2 \times 100 \ 000 = 120 \ 000 \ \text{€} $$
2. Calculer la variance du total pour chacun des trois placements, puis l'écart type correspondant.

   Les mises étant indépendantes, la variance de la somme est la somme des variances. Pour \(k\) mises de \(\frac{100 \ 000}{k}\) euros :

   $$ V_k = k \times 2.16 \times \left( \frac{100 \ 000}{k} \right)^2 = \frac{2.16 \times 10^{10}}{k} $$

   $$ V_1 = 2.16 \times 10^{10} \hspace{2em} V_{10} = 2.16 \times 10^{9} \hspace{2em} V_{100} = 2.16 \times 10^{8} $$

   $$ \sigma_{\text{A}} \approx 147 \ 000 \hspace{2em} \sigma_{\text{B}} \approx 46 \ 500 \hspace{2em} \sigma_{\text{C}} \approx 14 \ 700 $$

   Diviser la mise par dix divise la variance par dix, donc l'écart type par \(\sqrt{10}\).

3. Majorer, pour chacun des trois placements, la probabilité que le total s'écarte de son espérance de plus de \(60 \ 000 \ \text{€}\).

   C'est l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, appliquée avec \(\delta = 60 \ 000\) :

   $$ P \bigl( \lvert G - 120 \ 000 \rvert \geqslant 60 \ 000 \bigr) \leqslant \frac{V}{60 \ 000^2} = \frac{V}{3.6 \times 10^{9}} $$

   $$ \text{A} : \ 6 \hspace{2em} \text{B} : \ 0.6 \hspace{2em} \text{C} : \ 0.06 $$

   $$ \text{pour C, au plus} \ 6 \ \% \ \text{de chances de s'écarter de moitié} $$

   Pour A, la majoration vaut \(6\) : une probabilité étant toujours inférieure à \(1\), elle n'apprend strictement rien. L'inégalité ne se tait pas par hasard - il n'y a rien à concentrer autour de l'espérance.

4. Trancher, puis indiquer l'hypothèse sur laquelle tout le raisonnement repose.

   Pour le placement A, la loi est connue exactement, et elle est sans appel : dans \(60 \ \%\) des cas, le fonds ne récupère rien. L'espérance de \(120 \ 000 \ \text{€}\) ne décrit aucune issue possible - il n'y en a que deux, \(0\) et \(300 \ 000\).

   $$ \text{le placement C : même espérance, dispersion divisée par dix} $$

   Trois placements de même espérance ne sont donc pas trois placements équivalents. C'est la variance qui les distingue, et c'est elle que le fractionnement fait fondre.

   Tout cela repose sur un seul mot de l'énoncé : indépendantes. Si les cent entreprises dépendaient d'un même marché, leurs échecs arriveraient ensemble, la variance ne se diviserait plus par cent, et le placement C ressemblerait au placement A - cent fois la même mise.