Problèmes sur la concentration en terminale

Un sondage, un dé lancé cent fois, une mesure que l'on veut fiable à un centième près : trois situations où l'on ne connaît pas la loi, et où une seule inégalité suffit pourtant à garantir un résultat.

Calculer l'espérance et la variance d'une somme et d'une moyenne d'échantillon.
Appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour majorer un écart.
Appliquer l'inégalité de concentration à la moyenne d'un échantillon.
Déterminer une taille d'échantillon à partir d'une précision et d'un risque.

Le sondage

Dans une population, une proportion $0{,}4$ des personnes possède un certain caractère. On interroge $1 \ 000$ personnes au hasard et de façon indépendante, et on note $X$ le nombre de personnes possédant ce caractère.

Donner la loi de $X$, puis calculer $E(X)$ et $V(X)$.

$$ X \sim \mathcal{B}(1 \ 000 \ ; \ 0{,}4) $$

$$ E(X) = 1 \ 000 \times 0{,}4 = 400 $$

$$ V(X) = 1 \ 000 \times 0{,}4 \times 0{,}6 = 240 $$
Majorer $P\bigl(|X - 400| \geqslant 50\bigr)$ par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

$$ P\bigl(|X - 400| \geqslant 50\bigr) \leqslant \frac{240}{50^2} = \frac{240}{2 \ 500} $$

$$ P\bigl(|X - 400| \geqslant 50\bigr) \leqslant 0{,}096 $$
En notant $F = \dfrac{X}{1 \ 000}$ la fréquence observée, traduire ce résultat, et conclure sur la fiabilité du sondage.

Diviser par $1 \ 000$ l'écart comme la borne :

$$ P\bigl(|F - 0{,}4| \geqslant 0{,}05\bigr) \leqslant 0{,}096 $$

$$ P\bigl(0{,}35 < F < 0{,}45\bigr) \geqslant 0{,}904 $$

La fréquence observée est comprise entre $35 \ \%$ et $45 \ \%$ dans plus de neuf sondages sur dix. C'est une garantie, mais elle reste large : cinq points de part et d'autre.

Cent lancers de dé

On lance un dé équilibré à six faces, et on note $X$ le numéro obtenu. On répète l'expérience $100$ fois de façon indépendante, et on note $M_{100}$ la moyenne des $100$ résultats.

Calculer $E(X)$.

$$ E(X) = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3{,}5 $$
Calculer $V(X)$.

$$ E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6} $$

$$ V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = \frac{91}{6} - 12{,}25 $$

$$ V(X) = \frac{35}{12} \approx 2{,}92 $$
En déduire $E(M_{100})$ et $V(M_{100})$.

$$ E(M_{100}) = 3{,}5 $$

$$ V(M_{100}) = \frac{35}{12 \times 100} = \frac{35}{1 \ 200} \approx 0{,}0292 $$
Majorer la probabilité que la moyenne observée s'écarte de $3{,}5$ d'au moins $0{,}5$.

$$ P\bigl(|M_{100} - 3{,}5| \geqslant 0{,}5\bigr) \leqslant \frac{35}{12 \times 100 \times 0{,}25} = \frac{35}{300} $$

$$ P\bigl(|M_{100} - 3{,}5| \geqslant 0{,}5\bigr) \leqslant 0{,}117 $$
Que devient cette majoration si l'on lance le dé $10 \ 000$ fois ?

Le dénominateur est multiplié par $100$ :

$$ P\bigl(|M_{10 \ 000} - 3{,}5| \geqslant 0{,}5\bigr) \leqslant 0{,}00117 $$

C'est la loi des grands nombres à l'œuvre : la majoration tend vers $0$.

Combien de mesures ?

Un capteur mesure une grandeur physique. Chaque mesure est entachée d'une erreur aléatoire, indépendante des autres, d'espérance nulle et de variance $4$. On moyenne $n$ mesures pour estimer la valeur réelle $\mu$.

Écrire la majoration de $P\bigl(|M_n - \mu| \geqslant 0{,}1\bigr)$ en fonction de $n$.

$$ P\bigl(|M_n - \mu| \geqslant 0{,}1\bigr) \leqslant \frac{4}{n \times 0{,}01} $$

$$ P\bigl(|M_n - \mu| \geqslant 0{,}1\bigr) \leqslant \frac{400}{n} $$
Déterminer le nombre minimal de mesures pour que ce risque n'excède pas $5 \ \%$.

$$ \frac{400}{n} \leqslant 0{,}05 \quad \Longleftrightarrow \quad n \geqslant \frac{400}{0{,}05} $$

$$ n = 8 \ 000 \ \text{mesures} $$
L'ingénieur trouve ce nombre absurde au vu de ses simulations, qui donnent le même risque dès $1 \ 500$ mesures. A-t-il tort de faire confiance à son logiciel ?

Non. L'inégalité de concentration ne suppose rien de la loi des erreurs : elle est vraie pour toutes, donc calibrée sur la pire d'entre elles. Sa borne est valable mais très pessimiste, et une simulation qui exploite la loi réelle donne légitimement un nombre bien plus petit.