Majorer un écart et dimensionner un échantillon en terminale

Une seule inégalité, appliquée soit à la variable elle-même, soit à la moyenne d'un échantillon. Tout le travail consiste à identifier laquelle des deux est en jeu.

Choisir la bonne inégalité

L'énoncé parle de	On applique	Le majorant
une seule observation $X$	Bienaymé-Tchebychev	$\dfrac{V(X)}{\delta^2}$
la moyenne $M_n$ d'un échantillon	l'inégalité de concentration	$\dfrac{\sigma^2}{n\delta^2}$
la somme $S_n$	Bienaymé-Tchebychev, avec $V(S_n) = n\sigma^2$	$\dfrac{n\sigma^2}{\delta^2}$

c'est la variance de la variable étudiée qui change, pas l'inégalité

L'inégalité de concentration n'est pas une formule de plus : c'est Bienaymé-Tchebychev appliquée à $M_n$ . Le dire en copie vaut souvent le point de justification.

Appliquer l'inégalité

identifier $\mu$ et la variance de la variable étudiée
repérer l'écart $\delta$ : c'est la demi-largeur de l'intervalle, jamais sa largeur
écrire la majoration, puis calculer le quotient
si la question porte sur l'événement contraire, conclure par $1 - $ le majorant

Exemple :

$X$ d'espérance $50$ et de variance $16$. Minorer $P(44 < X < 56)$.

L'intervalle est centré en $50$ et de demi-largeur $6$ , donc :

$$ P\bigl(|X - 50| \geqslant 6\bigr) \leqslant \frac{16}{36} \approx 0{,}444 $$

$$ P(44 < X < 56) \geqslant 1 - 0{,}444 = 0{,}556 $$

Une majoration de l'écart devient une minoration de l'intervalle : le passage au contraire renverse le sens.

Déterminer une taille d'échantillon

La précision $\delta$ et le risque $\alpha$ sont donnés ; l'inconnue est $n$, et elle se dégage sans logarithme .

$$ \frac{\sigma^2}{n\delta^2} \leqslant \alpha \quad \Longleftrightarrow \quad n \geqslant \frac{\sigma^2}{\alpha\,\delta^2} $$

Exemple :

$\sigma^2 = 9$, précision $\delta = 0{,}3$, risque $\alpha = 0{,}02$.

$$ n \geqslant \frac{9}{0{,}02 \times 0{,}09} = \frac{9}{0{,}0018} = 5 \ 000 $$

$$ n = 5 \ 000 $$

Les deux quantités multiplient au dénominateur : exiger deux fois moins de risque double $n$ , mais exiger deux fois plus de précision le quadruple.

L'énoncé parle de	On applique	Le majorant
une seule observation \(X\)	Bienaymé-Tchebychev	\(\dfrac{V(X)}{\delta^2}\)
la moyenne \(M_n\) d'un échantillon	l'inégalité de concentration	\(\dfrac{\sigma^2}{n\delta^2}\)
la somme \(S_n\)	Bienaymé-Tchebychev, avec \(V(S_n) = n\sigma^2\)	\(\dfrac{n\sigma^2}{\delta^2}\)