Problèmes sur le dénombrement

Le cadenas

Un cadenas s'ouvre avec un code de quatre chiffres, chacun choisi entre \(0\) et \(9\).

1. Combien de codes différents existe-t-il ?

   Un code est un \(4\)-uplet : l'ordre compte, et les répétitions sont permises.

   $$ 10^4 = 10 \ 000 \ \text{codes} $$
2. Combien comportent quatre chiffres tous différents ?

   Le premier chiffre se choisit de \(10\) façons, le deuxième de \(9\), et ainsi de suite :

   $$ 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5 \ 040 \ \text{codes} $$
3. Quelle est la probabilité d'ouvrir le cadenas du premier coup, au hasard ?

   Les \(10 \ 000\) codes sont équiprobables, et un seul convient :

   $$ p = \frac{1}{10 \ 000} = 0{,}0001 $$

Le comité de classe

Une classe compte \(30\) élèves, dont \(18\) filles et \(12\) garçons. On doit élire un comité de \(4\) élèves, sans distinction de rôle.

1. Combien de comités différents peut-on former ?

   L'ordre ne compte pas - les quatre membres ont le même rôle :

   $$ \binom{30}{4} = 27 \ 405 \ \text{comités} $$
2. Combien comportent un élève donné, disons Léa ?

   Léa étant retenue, il reste à choisir \(3\) élèves parmi les \(29\) autres :

   $$ \binom{29}{3} = 3 \ 654 \ \text{comités} $$
3. Combien comportent au moins une fille ?

   Il est plus court de compter ceux qui n'en comportent aucune - donc quatre garçons - et de les retrancher :

   $$ \binom{12}{4} = 495 $$

   $$ 27 \ 405 - 495 = 26 \ 910 \ \text{comités} $$
4. Vérifier la relation de Pascal sur \(\binom{30}{4}\).

   La relation donne \(\binom{30}{4} = \binom{29}{3} + \binom{29}{4}\), soit :

   $$ 3 \ 654 + 23 \ 751 = 27 \ 405 $$

   C'est exactement la question 2 et son contraire : les comités qui contiennent Léa, et ceux qui ne la contiennent pas.

La main de cartes

On distribue une main de \(5\) cartes dans un jeu de \(32\), qui contient \(4\) rois.

1. Combien de mains différentes peut-on recevoir ?

   Une main est un ensemble : l'ordre de distribution n'y change rien.

   $$ \binom{32}{5} = 201 \ 376 \ \text{mains} $$
2. Combien contiennent exactement deux rois ?

   On choisit \(2\) rois parmi \(4\), puis \(3\) cartes parmi les \(28\) qui n'en sont pas :

   $$ \binom{4}{2} \times \binom{28}{3} = 6 \times 3 \ 276 $$

   $$ 19 \ 656 \ \text{mains} $$
3. Combien contiennent au moins un roi ?

   Par l'événement contraire : les mains sans aucun roi se choisissent parmi les \(28\) autres cartes.

   $$ \binom{28}{5} = 98 \ 280 $$

   $$ 201 \ 376 - 98 \ 280 = 103 \ 096 \ \text{mains} $$

   Compter directement aurait demandé quatre calculs - un, deux, trois ou quatre rois - puis leur somme.