La loi binomiale en terminale

Répéter la même expérience, à l'identique et sans que les répétitions s'influencent, puis compter les succès: c'est le seul modèle que le programme demande de maîtriser, mais il décrit d'innombrables situations.

Succession d'épreuves indépendantes

Épreuves indépendantes

Des épreuves sont indépendantes lorsque le résultat de l'une ne modifie la probabilité d'aucune autre.

Une issue de la succession est alors une liste ordonnée de résultats, et sa probabilité est le produit des probabilités de chaque étape.

$$ P\bigl((a_1 \ ; \ a_2 \ ; \ \ldots \ ; \ a_n)\bigr) = P(a_1) \times P(a_2) \times \ldots \times P(a_n) $$

Exemple :

On lance trois fois une pièce truquée qui tombe sur pile avec la probabilité $0{,}6$.

$$ P\bigl((\text{P} \ ; \ \text{F} \ ; \ \text{P})\bigr) = 0{,}6 \times 0{,}4 \times 0{,}6 = 0{,}144 $$

L'arbre pondéré reste l'outil de lecture : un chemin est un produit, et une réunion de chemins est une somme.

L'épreuve de Bernoulli

Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues seulement, appelées succès et échec. On note $p$ la probabilité du succès.

La variable qui vaut $1$ en cas de succès et $0$ sinon suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$:

$$ E(X) = p \qquad V(X) = p(1 - p) $$

Le schéma de Bernoulli

Schéma de Bernoulli

Un schéma de Bernoulli est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

Trois conditions, donc, et elles se vérifient toujours dans cet ordre : deux issues, un même paramètre $p$ à chaque répétition, et l'indépendance.

Un tirage sans remise ne donne jamais un schéma de Bernoulli : la composition change d'un tirage à l'autre, donc $p$ aussi. C'est le contre-exemple à connaître.

La loi binomiale

Loi binomiale

Dans un schéma de $n$ épreuves de paramètre $p$, la variable $X$ qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.

$$ X \sim \mathcal{B}(n \ ; \ p) $$

$$ P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1 - p)^{n - k} \qquad \text{pour} \ 0 \leqslant k \leqslant n $$

Le nombre $\binom{n}{k}$, appelé coefficient binomial, compte les chemins de l'arbre qui portent exactement $k$ succès.

Pourquoi cette formule

Fixons un chemin de l'arbre comportant exactement $k$ succès. Comme les épreuves sont indépendantes, sa probabilité est le produit des probabilités rencontrées :

$$ \underbrace{p \times \ldots \times p}_{k \ \text{succès}} \times \underbrace{(1-p) \times \ldots \times (1-p)}_{n - k \ \text{échecs}} = p^k (1-p)^{n-k} $$

Ce produit ne dépend pas de l'ordre dans lequel les succès apparaissent : tous les chemins à $k$ succès ont la même probabilité.

Il ne reste qu'à les compter. Choisir un tel chemin, c'est choisir quelles répétitions sont des succès, c'est-à-dire choisir une partie de $k$ éléments parmi les $n$ répétitions : il y en a $\binom{n}{k}$.

L'événement $\bigl(X = k\bigr)$ est la réunion de ces chemins, deux à deux incompatibles :

$$ P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k} $$

Les coefficients binomiaux

Ils se lisent dans le triangle de Pascal, où chaque nombre est la somme des deux qui le surplombent:

$n$	$k = 0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$0$	$1$
$1$	$1$	$1$
$2$	$1$	$2$	$1$
$3$	$1$	$3$	$3$	$1$
$4$	$1$	$4$	$6$	$4$	$1$
$5$	$1$	$5$	$10$	$10$	$5$	$1$

le triangle de Pascal, jusqu'à $n = 5$

$$ \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1} $$

Deux valeurs se retiennent, et évitent bien des calculs :

$$ \binom{n}{0} = 1 \qquad \binom{n}{1} = n $$

Espérance, variance, écart type

Paramètres de la loi binomiale

$$ E(X) = np $$

$$ V(X) = np(1 - p) \qquad \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)} $$

Exemple :

Pour $X \sim \mathcal{B}(50 \ ; \ 0{,}2)$ :

$$ E(X) = 50 \times 0{,}2 = 10 $$

$$ V(X) = 50 \times 0{,}2 \times 0{,}8 = 8 $$

$$ \sigma(X) = \sqrt{8} \approx 2{,}83 $$

Les problèmes de seuil

Beaucoup de questions se ramènent à chercher le plus petit $n$ pour lequel une probabilité dépasse un seuil. L'événement « au moins un succès » est celui qui se traite à la main:

$$ P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1-p)^n $$

Exemple :

Avec $p = 0{,}3$, combien de répétitions pour être sûr à $95 \ \%$ d'obtenir au moins un succès ?

$$ 1 - 0{,}7^n \geqslant 0{,}95 \quad \Longleftrightarrow \quad 0{,}7^n \leqslant 0{,}05 $$

$$ n \ln(0{,}7) \leqslant \ln(0{,}05) \quad \Longleftrightarrow \quad n \geqslant \frac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}7)} $$

$$ n \geqslant 8{,}39 \ \ldots \qquad \text{donc} \ n = 9 $$

Diviser par $\ln(0{,}7)$, qui est négatif, renverse l'inégalité. C'est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre.

\(n\)	\(k = 0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)
\(0\)	\(1\)
\(1\)	\(1\)	\(1\)
\(2\)	\(1\)	\(2\)	\(1\)
\(3\)	\(1\)	\(3\)	\(3\)	\(1\)
\(4\)	\(1\)	\(4\)	\(6\)	\(4\)	\(1\)
\(5\)	\(1\)	\(5\)	\(10\)	\(10\)	\(5\)	\(1\)