Problèmes sur la loi binomiale en terminale

Une chaîne de production, un questionnaire rempli au hasard, un site qui attend ses premières inscriptions : trois fois la même expérience répétée, et trois fois la même question - combien de succès peut-on raisonnablement attendre ?

Justifier qu'une variable aléatoire suit une loi binomiale, et donner ses paramètres.
Calculer la probabilité d'un nombre exact de succès, ou d'un nombre cumulé.
Interpréter l'espérance dans le contexte de l'énoncé.
Résoudre un problème de seuil portant sur le nombre de répétitions.

Le contrôle qualité

Une machine produit des milliers de pièces par jour, dont $5 \ \%$ sont défectueuses. On prélève au hasard $20$ pièces dans la production du jour, et on note $X$ le nombre de pièces défectueuses du prélèvement.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale, et donner ses paramètres.

La production étant très grande, le prélèvement est assimilé à $20$ tirages avec remise : identiques, indépendants, à deux issues, de probabilité de succès $0{,}05$.

$$ X \sim \mathcal{B}(20 \ ; \ 0{,}05) $$
Calculer la probabilité qu'aucune pièce ne soit défectueuse.

$$ P(X = 0) = \binom{20}{0} \times 0{,}05^0 \times 0{,}95^{20} = 0{,}95^{20} $$

$$ P(X = 0) \approx 0{,}358 $$
En déduire la probabilité qu'au moins une pièce soit défectueuse.

$$ P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) $$

$$ P(X \geqslant 1) \approx 0{,}642 $$

Près de deux prélèvements sur trois contiennent au moins une pièce défectueuse.
Calculer $E(X)$, et interpréter ce résultat.

$$ E(X) = 20 \times 0{,}05 = 1 $$

Sur un grand nombre de prélèvements de $20$ pièces, on trouve en moyenne une pièce défectueuse par prélèvement.

Le questionnaire rempli au hasard

Un questionnaire comporte $10$ questions indépendantes, chacune proposant $4$ réponses dont une seule est correcte. Un candidat répond entièrement au hasard, et on note $X$ son nombre de bonnes réponses.

Donner la loi de $X$.

$$ X \sim \mathcal{B}(10 \ ; \ 0{,}25) $$
Calculer la probabilité qu'il donne exactement $3$ bonnes réponses.

$$ P(X = 3) = \binom{10}{3} \times 0{,}25^3 \times 0{,}75^7 = 120 \times 0{,}015625 \times 0{,}133 \ldots $$

$$ P(X = 3) \approx 0{,}250 $$
Le questionnaire est validé à partir de $5$ bonnes réponses. Quelle est la probabilité qu'il soit validé ?

$$ P(X \geqslant 5) = 1 - P(X \leqslant 4) $$

La calculatrice donne $P(X \leqslant 4) \approx 0{,}922$.

$$ P(X \geqslant 5) \approx 0{,}078 $$

Moins de huit candidats sur cent valideraient le questionnaire au hasard.
Calculer $E(X)$ et $\sigma(X)$, puis commenter.

$$ E(X) = 10 \times 0{,}25 = 2{,}5 $$

$$ V(X) = 10 \times 0{,}25 \times 0{,}75 = 1{,}875 $$

$$ \sigma(X) = \sqrt{1{,}875} \approx 1{,}37 $$

Le hasard rapporte en moyenne $2{,}5$ bonnes réponses, très loin du seuil de validation : c'est bien l'écart entre $2{,}5$ et $5$, rapporté à $1{,}37$, qui rend la validation improbable.

Les premières inscriptions

Un site nouvellement ouvert reçoit des visiteurs, chacun s'inscrivant avec la probabilité $0{,}2$, indépendamment des autres. On note $n$ le nombre de visiteurs d'une journée, et $X$ le nombre d'inscriptions.

Exprimer, en fonction de $n$, la probabilité qu'il y ait au moins une inscription.

$X$ suit la loi $\mathcal{B}(n \ ; \ 0{,}2)$, donc :

$$ P(X \geqslant 1) = 1 - 0{,}8^n $$
Déterminer le nombre minimal de visiteurs pour que cette probabilité dépasse $0{,}99$.

$$ 1 - 0{,}8^n \geqslant 0{,}99 \quad \Longleftrightarrow \quad 0{,}8^n \leqslant 0{,}01 $$

$$ n \ln(0{,}8) \leqslant \ln(0{,}01) $$

$\ln(0{,}8)$ étant négatif, l'inégalité change de sens :

$$ n \geqslant \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}8)} \approx 20{,}6 $$

$$ n = 21 \ \text{visiteurs} $$
Le site reçoit finalement $60$ visiteurs. Combien d'inscriptions peut-il espérer ?

$$ E(X) = 60 \times 0{,}2 = 12 $$