Problèmes sur la loi binomiale

Le contrôle qualité

Une machine produit des milliers de pièces par jour, dont \(5 \ \%\) sont défectueuses. On prélève au hasard \(20\) pièces dans la production du jour, et on note \(X\) le nombre de pièces défectueuses du prélèvement.

1. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale, et donner ses paramètres.

   La production étant très grande, le prélèvement est assimilé à \(20\) tirages avec remise : identiques, indépendants, à deux issues, de probabilité de succès \(0.05\).

   $$ X \sim \mathcal{B}(20 \ ; \ 0.05) $$
2. Calculer la probabilité qu'aucune pièce ne soit défectueuse.
   $$ P(X = 0) = \binom{20}{0} \times 0.05^0 \times 0.95^{20} = 0.95^{20} $$

   $$ P(X = 0) \approx 0.358 $$
3. En déduire la probabilité qu'au moins une pièce soit défectueuse.
   $$ P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) $$

   $$ P(X \geqslant 1) \approx 0.642 $$

   Près de deux prélèvements sur trois contiennent au moins une pièce défectueuse.

4. Calculer \(E(X)\), et interpréter ce résultat.
   $$ E(X) = 20 \times 0.05 = 1 $$

   Sur un grand nombre de prélèvements de \(20\) pièces, on trouve en moyenne une pièce défectueuse par prélèvement.

Le questionnaire rempli au hasard

Un questionnaire comporte \(10\) questions indépendantes, chacune proposant \(4\) réponses dont une seule est correcte. Un candidat répond entièrement au hasard, et on note \(X\) son nombre de bonnes réponses.

1. Donner la loi de \(X\).
   $$ X \sim \mathcal{B}(10 \ ; \ 0.25) $$
2. Calculer la probabilité qu'il donne exactement \(3\) bonnes réponses.
   $$ P(X = 3) = \binom{10}{3} \times 0.25^3 \times 0.75^7 = 120 \times 0.015625 \times 0.133 \ldots $$

   $$ P(X = 3) \approx 0.250 $$
3. Le questionnaire est validé à partir de \(5\) bonnes réponses. Quelle est la probabilité qu'il soit validé ?
   $$ P(X \geqslant 5) = 1 - P(X \leqslant 4) $$

   La calculatrice donne \(P(X \leqslant 4) \approx 0.922\).

   $$ P(X \geqslant 5) \approx 0.078 $$

   Moins de huit candidats sur cent valideraient le questionnaire au hasard.

4. Calculer \(E(X)\) et \(\sigma(X)\), puis commenter.
   $$ E(X) = 10 \times 0.25 = 2.5 $$

   $$ V(X) = 10 \times 0.25 \times 0.75 = 1.875 $$

   $$ \sigma(X) = \sqrt{1.875} \approx 1.37 $$

   Le hasard rapporte en moyenne \(2.5\) bonnes réponses, très loin du seuil de validation : c'est bien l'écart entre \(2.5\) et \(5\), rapporté à \(1.37\), qui rend la validation improbable.

Les premières inscriptions

Un site nouvellement ouvert reçoit des visiteurs, chacun s'inscrivant avec la probabilité \(0.2\), indépendamment des autres. On note \(n\) le nombre de visiteurs d'une journée, et \(X\) le nombre d'inscriptions.

1. Exprimer, en fonction de \(n\), la probabilité qu'il y ait au moins une inscription.

   \(X\) suit la loi \(\mathcal{B}(n \ ; \ 0.2)\), donc :

   $$ P(X \geqslant 1) = 1 - 0.8^n $$
2. Déterminer le nombre minimal de visiteurs pour que cette probabilité dépasse \(0.99\).
   $$ 1 - 0.8^n \geqslant 0.99 \quad \Longleftrightarrow \quad 0.8^n \leqslant 0.01 $$

   $$ n \ln(0.8) \leqslant \ln(0.01) $$

   \(\ln(0.8)\) étant négatif, l'inégalité change de sens :

   $$ n \geqslant \frac{\ln(0.01)}{\ln(0.8)} \approx 20.6 $$

   $$ n = 21 \ \text{visiteurs} $$
3. Le site reçoit finalement \(60\) visiteurs. Combien d'inscriptions peut-il espérer ?
   $$ E(X) = 60 \times 0.2 = 12 $$

Le nombre de plants le plus probable

Un pépiniériste sème une graine dans chacune des \(24\) alvéoles d'une plaque. Chaque graine lève avec la probabilité \(0.8\), indépendamment des autres. On note \(X\) le nombre de graines levées sur une plaque.

Le pépiniériste voudrait savoir quel nombre de plants il doit s'attendre à trouver le plus souvent. Il s'agit de déterminer toutes les valeurs les plus probables.

1. Justifier la loi de \(X\), puis calculer son espérance.

   Chaque alvéole est une épreuve de Bernoulli - la graine lève ou non - de probabilité de succès \(0.8\). Les \(24\) alvéoles sont indépendantes et identiques : c'est un schéma de Bernoulli, et \(X\) compte les succès.

   $$ E(X) = n \, p = 24 \times 0.8 = 19.2 $$

   Cette valeur n'est pas entière : ce n'est donc pas un nombre de plants que l'on puisse observer.

2. Démontrer que, pour tout entier \(k\) compris entre \(0\) et \(23\) :
   $$ \frac{P(X = k + 1)}{P(X = k)} = \frac{4 \, (24 - k)}{k + 1} $$

   On écrit les deux probabilités avec l'expression de la loi binomiale :

   $$ P(X = k) = \binom{24}{k} \, 0.8^{\, k} \, 0.2^{\, 24 - k} $$

   $$ \frac{P(X = k + 1)}{P(X = k)} = \frac{\binom{24}{k + 1}}{\binom{24}{k}} \times \frac{0.8}{0.2} $$

   Le quotient des coefficients binomiaux se simplifie en revenant aux factorielles :

   $$ \frac{\binom{24}{k + 1}}{\binom{24}{k}} = \frac{\frac{24 \, !}{(k + 1) \, ! \ (23 - k) \, !}}{\frac{24 \, !}{k \, ! \ (24 - k) \, !}} = \frac{k \, ! \ (24 - k) \, !}{(k + 1) \, ! \ (23 - k) \, !} = \frac{24 - k}{k + 1} $$

   $$ \frac{P(X = k + 1)}{P(X = k)} = \frac{24 - k}{k + 1} \times 4 $$
3. En déduire toutes les valeurs les plus probables de \(X\).

   Toutes les probabilités \(P(X = k)\) étant strictement positives, on compare le rapport à \(1\) :

   $$ \frac{4 \, (24 - k)}{k + 1} > 1 \quad \Longleftrightarrow \quad 96 - 4 \, k > k + 1 \quad \Longleftrightarrow \quad k < 19 $$

   Le même calcul avec l'égalité donne \(k = 19\), et avec l'inégalité inverse \(k > 19\). D'où trois régimes :

   • pour \(k \leqslant 18\), \(P(X = k) < P(X = k + 1)\) : la suite des probabilités croît strictement de \(k = 0\) à \(k = 19\) ;

   • pour \(k = 19\), le rapport vaut \(\frac{4 \times 5}{20} = 1\) : \(P(X = 19) = P(X = 20)\) ;

   • pour \(k \geqslant 20\), \(P(X = k) > P(X = k + 1)\) : la suite décroît strictement de \(k = 20\) à \(k = 24\).

   Toute valeur inférieure à \(19\) est donc strictement moins probable que \(19\), et toute valeur supérieure à \(20\) strictement moins probable que \(20\) : il n'y a pas d'autre maximum.

   $$ 19 \ \text{et} \ 20 \ \text{plants, à égalité} $$

   $$ P(X = 19) = P(X = 20) = \binom{24}{19} \, 0.8^{\, 19} \, 0.2^{\, 5} \approx 0.196 $$
4. Le pépiniériste conclut : « le plus probable est \(20\), je peux donc vendre mes plaques garanties \(20\) plants ». On donne \(P(X \geqslant 20) \approx 0.46\). Lui répondre.

   Deux objections, et la seconde est la vraie. D'abord \(20\) n'est pas plus probable que \(19\) : les deux valeurs sont à égalité, et l'espérance \(19.2\) tombe entre elles.

   Ensuite et surtout, « le plus probable » ne veut pas dire « probable » : avec \(0.196\), plus de quatre plaques sur cinq ne contiennent pas exactement \(20\) plants. Et la garantie porte sur \(P(X \geqslant 20)\), qui vaut \(0.46\).

   $$ \text{plus d'une plaque sur deux ne tiendrait pas la garantie} $$

   Le mode répond à « quelle valeur unique parier ? » ; une garantie commerciale répond à « quel seuil est franchi presque à coup sûr ? ». Ce sont deux questions différentes, et c'est la queue de la loi, non son sommet, qui répond à la seconde.

Le surbooking du car

Une compagnie d'autocars exploite une ligne avec un véhicule de \(50\) places. L'expérience montre qu'un voyageur ayant réservé se présente au départ avec la probabilité \(0.9\), indépendamment des autres. La compagnie vend donc plus de billets qu'elle n'a de places.

Si \(n\) billets sont vendus, on note \(X\) le nombre de voyageurs qui se présentent. Un billet rapporte \(30 \ \text{€}\) ; chaque voyageur refoulé reçoit \(250 \ \text{€}\) d'indemnité. La règle interne de la compagnie est de ne jamais dépasser \(5 \ \%\) de risque de refouler quelqu'un.

1. Pour \(n = 52\), justifier la loi de \(X\), puis retrouver par le calcul les deux premières valeurs du tableau.

   Chaque réservation donne lieu à une épreuve de Bernoulli - se présenter ou non - de probabilité \(0.9\), et les \(52\) réservations sont indépendantes : \(X \sim \mathcal{B}(52 \ ; \ 0.9)\).

   $$ P(X = 52) = 0.9^{\, 52} \approx 0.0042 $$

   $$ P(X = 51) = \binom{52}{51} \, 0.9^{\, 51} \times 0.1 = 52 \times 0.9^{\, 51} \times 0.1 \approx 0.0241 $$

   Le car ne peut refouler que si \(X\) vaut \(51\) ou \(52\) :

   $$ P(X > 50) \approx 0.0283 $$
2. Déterminer le nombre maximal de billets que la règle interne autorise.

   Le tableau donne les risques : \(2.83 \ \%\) pour \(52\) billets, \(9.00 \ \%\) pour \(53\), \(19.86 \ \%\) pour \(54\).

   Vendre un billet de plus ne peut qu'augmenter le risque, puisque tout dépassement avec \(n\) billets en est encore un avec \(n + 1\) : il est donc inutile de regarder au-delà de \(54\).

   $$ 52 \ \text{billets} $$
3. Le comptable propose \(53\) billets. Calculer, pour \(52\) puis pour \(53\) billets, la recette moyenne d'un départ, indemnités déduites.

   Avec \(n\) billets, la recette est de \(30 \, n\) euros, dont il faut retirer \(250\) euros par voyageur refoulé. Le nombre de refoulés vaut \(1\) si \(X = 51\), \(2\) si \(X = 52\), \(3\) si \(X = 53\).

   Pour \(n = 52\) :

   $$ 52 \times 30 - 250 \bigl( 1 \times 0.0241 + 2 \times 0.0042 \bigr) = 1 \ 560 - 250 \times 0.0325 $$

   $$ \approx 1 \ 551.9 \ \text{€} $$

   Pour \(n = 53\) :

   $$ 53 \times 30 - 250 \bigl( 0.0639 + 2 \times 0.0221 + 3 \times 0.0038 \bigr) = 1 \ 590 - 250 \times 0.1195 $$

   $$ \approx 1 \ 560.1 \ \text{€} $$
4. Trancher, en chiffrant ce que la règle interne coûte à la compagnie.

   Le comptable a raison sur les euros : \(53\) billets rapportent en moyenne \(8.25 \ \text{€}\) de plus par départ, soit environ \(3 \ 000 \ \text{€}\) par an pour un départ quotidien.

   $$ \text{la règle des} \ 5 \ \% \ \text{coûte} \ 8.25 \ \text{€ par départ} $$

   Elle achète en échange le passage de \(9.0 \ \%\) à \(2.8 \ \%\) du risque de laisser quelqu'un sur le quai : trois fois moins souvent, soit une dizaine de départs par an au lieu d'une trentaine.

   L'indemnité de \(250 \ \text{€}\) sous-estime ce que coûte réellement un voyageur refoulé - le rendez-vous manqué, la réputation de la ligne. La règle interne, elle, ne se discute pas en euros : elle fixe d'avance ce que la compagnie accepte de faire subir, et c'est ce qui la rend tenable.

   $$ \text{s'en tenir à} \ 52 \ \text{billets} $$