Reconnaître et exploiter une loi binomiale en terminale

Avant tout calcul, une question : la situation est-elle vraiment un schéma de Bernoulli ? Si la réponse est non, aucune formule de ce chapitre ne s'applique.

Vérifier que la loi est binomiale

l'épreuve élémentaire n'a-t-elle que deux issues ? Nommer le succès
est-elle répétée un nombre fixé $n$ de fois ?
la probabilité du succès reste-t-elle la même à chaque répétition ?
les répétitions sont-elles indépendantes ?

Alors seulement on écrit $X \sim \mathcal{B}(n \ ; \ p)$, en disant ce que $X$ compte.

Situation	Binomiale ?	Pourquoi
tirages avec remise	oui	la composition ne change pas
tirages sans remise	non	$p$ change à chaque tirage
tirage simultané	non	c'est un tirage sans remise déguisé
on répète jusqu'à réussir	non	le nombre de répétitions n'est pas fixé

les trois pièges du chapitre, et le seul cas favorable

Un prélèvement dans une très grande production est assimilé à un tirage avec remise : l'énoncé le dit, et cette phrase est là pour autoriser la loi binomiale.

Traduire l'énoncé en événement

Le français est ici plus difficile que le calcul. Chaque tournure désigne un intervalle d'entiers , et il faut décider si les bornes en font partie.

L'énoncé dit	On écrit
exactement $k$ succès	$P(X = k)$
au plus $k$ succès	$P(X \leqslant k)$
au moins $k$ succès	$P(X \geqslant k) = 1 - P(X \leqslant k - 1)$
moins de $k$ succès	$P(X \leqslant k - 1)$
entre $k$ et $k'$ succès	$P(X \leqslant k') - P(X \leqslant k - 1)$

la calculatrice ne donne que $P(X = k)$ et $P(X \leqslant k)$ : tout le reste s'y ramène

« Au moins $k$ » passe par $k - 1$ , et non par $k$ : c'est le décalage qui coûte le plus de points.

Chercher un seuil

Quand l'inconnue est le nombre de répétitions , on part de l'événement contraire, puis on passe au logarithme.

Exemple :

Avec $p = 0{,}15$, combien de répétitions pour dépasser $90 \ \%$ de chances d'au moins un succès ?

$$ 1 - 0{,}85^n \geqslant 0{,}9 \quad \Longleftrightarrow \quad 0{,}85^n \leqslant 0{,}1 $$

$$ n \geqslant \frac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}85)} \approx 14{,}2 $$

$$ n = 15 $$

Le sens de l'inégalité s'inverse au moment de la division, parce que $\ln(0{,}85)$ est négatif. Et le résultat se conclut toujours par un entier.

Utiliser la calculatrice

Les deux fonctions à connaître portent des noms voisins, et ne renvoient pas la même chose .

Fonction	Renvoie
binomFdp / binompdf	$P(X = k)$
binomFrép / binomcdf	$P(X \leqslant k)$

« F d p » pour une valeur, « F rép » pour un cumul

L'énoncé dit	On écrit
exactement \(k\) succès	\(P(X = k)\)
au plus \(k\) succès	\(P(X \leqslant k)\)
au moins \(k\) succès	\(P(X \geqslant k) = 1 - P(X \leqslant k - 1)\)
moins de \(k\) succès	\(P(X \leqslant k - 1)\)
entre \(k\) et \(k'\) succès	\(P(X \leqslant k') - P(X \leqslant k - 1)\)