Activité sur les suites géométriques : le prêt immobilier à annuités constantes

Un emprunt immobilier dépend de trois paramètres :

capital à emprunter : $K_0 \ (\text{ €}) $
durée du crédit : $n \ \text{ ans}$
taux d'intérêt : $t \text{ %}$

On souhaite emprunter un certain capital $K_0$ et le rembourser sur $n$ années.

Lorsque l'on contracte un prêt immobilier à annuités constantes , et à taux fixe $t$, on rembourse exactement la même annuité $A$ tous les ans :

$$ A_1 = A_2 = A_3 = \ ... \ = A_{n-1} \ = A_n $$

Mais à chaque année $i$, le capital restant dû $(K_i)$ est recalculé par rapport au capital restant dû de l'année précédente $(K_{i+1})$, lui même soumis à intérêts.

Modélisation de l'annuité $A_i$

À chaque année $i$, l'annuité $A_i$ représente la somme du remboursement et des intérêts de l'année $i$.

Exprimer $A_i$ en fonction de $R_i$ et $I_i$.

$$ A_i = R_i + I_i \qquad(A_i) $$
Remplacer $R_i$ par sa valeur en fonction de $K_i$ et $K_{i+1}$.

Le montant du remboursement $R_i$ est la différence des capitaux restant dûs d'une année sur l'autre :

$$ R_i = K_i - K_{i+1} \qquad(R_i) $$
Remplacer $I_i$ par sa valeur en fonction de $K_i$ et $t$.

Le montant des intérêts $I_i$ vaut :

$$ I_i = K_i \ t \qquad(I_i) $$
Maintenant, injecter les valeurs respectives de $R_i$ et de $I_i$ dans l'expression de $A_i$ trouvée plus haut.

Si on injecte maintenant $(R_i)$ et $(I_i)$ dans $(A_i)$, alors on a :

$$ A_i = K_i - K_{i+1} + K_i \ t $$

$$ A_i = K_i(1+t) - K_{i+1} $$
Enfin, exprimer alors le capital restant dû à l'année $K_{i+1}$ en fonction de $K_i$ et $t$.

Si on injecte maintenant $(R_i)$ et $(I_i)$ dans $(A_i)$, alors on a :

$$ A_i = K_i(1+t) - K_{i+1} $$

En échangeant les places de $A_i$ et de $K_{i+1}$, on a :

$$K_{i+1} = K_i(1+t) - A_i $$

Premières années

La première année, le capital restant dû $K_1$ équivaut à :

$$ K_1 = K_0 \times (1+t) - A_1 $$

Comme par définition, l'annuité est constante :

$$ A_1 = A_2 = A_3 = \ ... \ = A_{n-1} \ = A_n $$

On pourra simplement noter cette annuité $A$ .

L'expression précédente devient alors :

$$ K_1 = K_0 \times (1+t) - A $$

La seconde année, le capital restant dû $K_2$ équivaut à :

$$ K_2 = K_1 \times (1+t) - A $$

Calculer le capital restant dû $K_2$ en y injectant la valeur de $K_1$.

À la première année, on avait ce capital restant dû : :

$$ K_1 = K_0 \times (1+t) - A $$

À la deuxième année, on aura le capital suivant :

$$ K_2 = K_1 \times (1+t) - A $$

On doit réinjecter la valeur de $K_1$ dans $K_2$

$$ K_2 = \Bigl[ K_0 \times (1+t) - A \Bigr] \times (1+t) - A $$

On développe :

$$K_2 = K_0 \times (1+t)^2 - A(1+t) - A $$
Calculer le capital restant dû $K_3$ en y injectant cette fois la valeur de $K_2$ trouvée précédemment.

À la troisième année, on aura le capital suivant :

$$ K_3 = K_2 \times (1+t) - A $$

On réinjecte la valeur de $K_2$ (trouvée précdemment) dans $K_3$

$$ K_3 = \Bigl[ K_0 \times (1+t)^2 - A(1+t) - A \Bigr] \times (1+t) - A $$

On développe :

$$K_3 = K_0 \times (1+t)^3 - A(1+t)^2 - A(1+t) - A $$
Émettre un conjecture pour le capital restant dû $K_n$.

On voit un schéma répétitif se dessiner et on peut conjecturer qu'à l'année $n$ on aura comme capital restant dû :

$$ K_n = K_0 \times (1+t)^n - A(1+t)^{n-1} - A(1+t)^{n-2} \hspace{0.03em } - \hspace{0.03em } ... \hspace{0.03em } - \hspace{0.03em } A(1+t)^2 - A(1+t) - A $$

On peut factoriser l'expression par $A$ :

$$ K_n = K_0 \times (1+t)^n - A \Bigl[ (1+t)^{n-1} + (1+t)^{n-2} \hspace{0.03em } + \hspace{0.03em } ... \hspace{0.03em } + \hspace{0.03em } (1+t)^2 +(1+t) + 1\Bigr] $$

Maintenant, à l'intérieur des crochets, on reconnaît une somme de termes d'une suite géométrique :

$$ K_n = K_0 \times (1+t)^n - A \Bigl[ \underbrace{ (1+t)^{n-1} + (1+t)^{n-2} \hspace{0.03em } + \hspace{0.03em } ... \hspace{0.03em } + \hspace{0.03em } (1+t)^2 +(1+t) + 1 } _\text{ somme des $(1+t)^k$ de $(k=0)$ à $\bigl[k=(n-1)\bigr]$ }\Bigr] $$

$$K_n = K_0 \times (1+t)^n - A \left[ \sum_{k=0}^{n-1} (1+t)^k \right] $$

Valeur de l'annuité $A$

Étant donné que par hypothèse, à l'année $n$ on aura fini de tout rembourser , on aura :

$$ K_n = 0 $$

Avec la formule trouvée précédemment, determiner le montant théorique de l'annuité $A$.

La somme des premiers termes d'une suite géométrique se calcule par la formule :

$$ \sum_{k=0}^n q^k = \frac{q^{n+1}-1}{q-1} $$

À partir du résultat précédent :

$$ K_n = K_0 \times (1+t)^n - A \left[ \sum_{k=0}^{n-1} (1+t)^k \right] $$

Le terme attaché à $A$ est une suite géomtrique avec :

$$ \sum_{k=0}^{n-1} (1+t)^k = \sum_{k=0}^{n-1} v_0 \ q^k, \hspace{3em} avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} V_0 = 1 \\ q = (1+t) \\ \end{gather*} $$

On calcule la somme des termes, non pas jusque $n$ mais jusque $(n-1)$, donc il faut adapter la formule :

$$ K_n = K_0 \times (1+t)^n - A \left[ \frac{(1+t)^{n}-1}{1+t-1} \right] $$

$$ K_n = K_0 \times (1+t)^n - A \left[ \frac{(1+t)^{n}-1}{t} \right] $$

Et comme par hypothèse, à l'année $n$ on a : $K_n = 0$. Alors,

$$ K_n = 0 \Longleftrightarrow K_0 \times (1+t)^n - A \left[ \frac{(1+t)^{n}-1}{t} \right] = 0 $$

$$ K_0 \times (1+t)^n - A \left[ \frac{(1+t)^{n}-1}{t} \right] = 0 $$

Ensuite, on arrange l'expression :

$$ K_0 \times (1+t)^n \times t = A \Bigl[ (1+t)^{n}-1 \Bigr] $$

$$ \frac{K_0 \times (1+t)^n \times t }{(1+t)^{n}-1} = A $$

$$A = K_0 \times \frac{(1+t)^n \times t }{(1+t)^{n}-1} $$

Application numérique

Établir le montant de l'annuité $A$ pour un prêt du même type, avec les valeurs suivantes :
- capital à emprunter : $300 \ 000 (\text{ €})$
- durée du crédit : $25 \text{ ans}$
- taux d'intérêt : $4 \text{ %}$
À partir de l'annuité théorique en fonction du capital $(K_0)$, de la durée de crédit $(n)$ et du taux d'intérêt $(t)$ :

$$ A = \frac{K_0 \times (1+t)^n \times t }{(1+t)^{n}-1} $$

$$ A = \frac{300 \ 000 \times (1+\frac{4}{100})^{25} \times \frac{4}{100} }{(1+\frac{4}{100})^{25}-1} $$

$$A \approx 19 \ 203.58 \text{ €} $$
Quelle est la somme totale remboursée ?

Appelons $S_T$ la somme totale remoursée à l'issue des $n$ années.

$$ S_T = nA $$

$$ S_T = 25 \times 19 \ 203.58 $$

$$S_T \approx 480 \ 089.50 \text{ €} $$
Calculer la part que représente le montant des intérêts par rapport à la somme empruntée.

Pour calculer la part des intérêts, on utilise la formule :

$$ Part_{int\textit{é}r\textit{ê}ts} \approx \frac{S_T - K_0}{K_0} $$

$$ Part_{int\textit{é}r\textit{ê}ts} \approx \frac{480 \ 089.50 - 300 \ 000}{300 \ 000} $$

$$Part_{int\textit{é}r\textit{ê}ts} \approx 60 \text{ %} $$
Démontrer que la part des intérêts ne dépend pas de la somme empruntée, mais uniquement des deux autres paramètres.

$$ Part_{int\textit{é}r\textit{ê}ts} = \frac{S_T - K_0}{K_0} $$

Mais, on a vu plus haut que $S_T = nA$ :

$$ Part_{int\textit{é}r\textit{ê}ts} = \frac{nA - K_0}{K_0} $$

Et, on a calculé plus haut la valeur de $A$ :

$$ Part_{int\textit{é}r\textit{ê}ts} = \frac{n\left[ K_0 \times \frac{(1+t)^n \times t }{(1+t)^{n}-1} \right] - K_0}{K_0} $$

$$ Part_{int\textit{é}r\textit{ê}ts} = \frac{K_0 \left[ n \times \frac{(1+t)^n \times t }{(1+t)^{n}-1} \right] - K_0}{K_0} $$

Puis on factorise par $K_0$ :

$$ Part_{int\textit{é}r\textit{ê}ts} = \frac{K_0 \left[ n \times \frac{(1+t)^n \times t }{(1+t)^{n}-1} - 1\right]}{K_0} $$

$$ Part_{int\textit{é}r\textit{ê}ts} = \frac{\cancel{K_0} \left[ n \times \frac{(1+t)^n \times t }{(1+t)^{n}-1} - 1\right]}{\cancel{K_0}} $$

Soit finalement,

$$Part_{int\textit{é}r\textit{ê}ts} = n \times \frac{(1+t)^n \times t }{(1+t)^{n}-1} - 1 $$

Comparatif de crédit

Grâce à cet outil de comparatif de crédit , vérifiez le résultat trouvé précédemment.

Le prêt immobilier à annuités constantes

Modélisation de l'annuité \(A_i\)

Premières années

Valeur de l'annuité \(A\)

Application numérique

Comparatif de crédit