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La première a appris à calculer les termes d'une suite. La terminale pose une autre question : où vont-ils, quand le rang grandit sans fin ?
Diverger vers l'infini
Limite infinie
La suite \((u_n)\) tend vers \(+\infty\) si tout intervalle de la forme \(\bigl[A \ ; \ +\infty\bigr[\) contient toutes les valeurs \(u_n\) à partir d'un certain rang.
Aussi grand que soit le seuil \(A\) qu'on se fixe, la suite finit par le dépasser et ne plus redescendre en dessous. La définition pour \(-\infty\) est la même, avec \(\bigl]-\infty \ ; \ A\bigr]\).
Toute suite croissante non majorée tend vers \(+\infty\)
Soit \(A\) un réel quelconque.
La suite n'étant pas majorée, \(A\) n'est pas un majorant : il existe donc un rang \(N\) tel que \(u_N > A\).
La suite étant croissante, pour tout \(n \geqslant N\) :
L'intervalle \(\bigl[A \ ; \ +\infty\bigr[\) contient donc tous les termes à partir du rang \(N\). Comme \(A\) était quelconque, c'est vrai de tout seuil :
Une suite croissante a donc deux avenirs seulement : ou elle est majorée, et elle converge ; ou elle ne l'est pas, et elle tend vers \(+\infty\). Il n'y a pas de troisième cas.
Converger vers un réel
Limite finie
La suite \((u_n)\) converge vers le réel \(\ell\) si tout intervalle ouvert contenant \(\ell\) contient toutes les valeurs \(u_n\) à partir d'un certain rang.
Une suite qui ne converge pas est dite divergente. C'est le cas de celles qui partent à l'infini, mais aussi de \(\bigl((-1)^n\bigr)\), qui oscille entre \(-1\) et \(1\) sans jamais se fixer.
Les limites de référence
Elles se retiennent en deux lignes, et tout le reste s'y ramène.
Opérations sur les limites
Somme, produit et quotient se comportent comme on l'espère, sauf dans quatre cas où le résultat dépend des suites elles-mêmes et non de leurs limites.
Ces quatre écritures sont les formes indéterminées. Elles ne sont pas une réponse : elles signalent qu'il faut transformer l'écriture.
Exemple :
On factorise le terme prépondérant, en haut comme en bas :
Comparaison et gendarmes
Divergence par minoration
Si \(u_n \geqslant v_n\) à partir d'un certain rang et si \((v_n)\) tend vers \(+\infty\), alors \((u_n)\) aussi.
Pourquoi la minoration suffit
Soit \(A\) un réel quelconque.
Comme \((v_n)\) tend vers \(+\infty\), il existe un rang \(N\) à partir duquel \(v_n > A\).
À partir de ce même rang, et puisque \(u_n \geqslant v_n\) :
Une seule inégalité suffit donc : on n'a pas besoin de connaître \((u_n)\), seulement de la coincer par en dessous.
Théorème des gendarmes
Si \(v_n \leqslant u_n \leqslant w_n\) à partir d'un certain rang, et si :
C'est le seul outil pour une suite qui contient \((-1)^n\) ou \(\sin(n)\) : ces expressions n'ont pas de limite, mais elles restent bornées, et l'encadrement suffit à conclure.
La suite géométrique \((q^n)\)
Son comportement ne dépend que de la raison, et se lit dans un seul tableau.
Raison |
\(\lim q^n\) |
|---|---|
\(q > 1\) |
\(+\infty\) |
\(q = 1\) |
\(1\) |
\(-1 < q < 1\) |
\(0\) |
\(q \leqslant -1\) |
pas de limite |
Pourquoi \(q^n\) tend vers \(+\infty\) quand \(q > 1\)
Établissons d'abord l'inégalité de Bernoulli : pour tout réel \(a > 0\) et tout entier \(n\),
Initialisation : pour \(n = 0\), les deux membres valent \(1\).
Hérédité : supposons l'inégalité vraie au rang \(n\). En multipliant par \(1 + a\), qui est positif :
Or \(na^2 \geqslant 0\), donc :
L'inégalité est donc vraie pour tout \(n\).
Si maintenant \(q > 1\), posons \(a = q - 1\), qui est strictement positif. Alors \(q = 1 + a\) et :
Le membre de droite tend vers \(+\infty\) ; par divergence par minoration :
Le théorème de convergence monotone
Convergence monotone
Ce théorème donne l'existence de la limite, jamais sa valeur. Il ne dit pas non plus que la limite vaut le majorant : une suite croissante majorée par \(10\) peut très bien converger vers \(4\).
C'est précisément ce qui le rend utile : pour une suite définie par récurrence, on sait souvent montrer qu'elle croît et qu'elle est majorée bien avant de savoir calculer sa limite.