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Les limites de suites

Une suite peut partir à l'infini, se fixer sur un réel ou osciller : ce chapitre apprend à trancher.

Une balle rebondit à \(75 \ \%\) de la hauteur précédente. Elle rebondit une infinité de fois, et pourtant la distance totale parcourue est finie.

$$ u_n = 2 \times 0.75^n \hspace{3em} u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 $$

Chaque rebond est plus petit que le précédent, sans jamais devenir nul.

Une suite peut décroître sans fin sans jamais passer sous zéro : elle converge vers sa limite.

La première a appris à calculer les termes d'une suite. La terminale pose une autre question : où vont-ils, quand le rang grandit sans fin ?

Diverger vers l'infini

Limite infinie

La suite \((u_n)\) tend vers \(+\infty\) si tout intervalle de la forme \(\bigl[A \ ; \ +\infty\bigr[\) contient toutes les valeurs \(u_n\) à partir d'un certain rang.

$$ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty $$

Aussi grand que soit le seuil \(A\) qu'on se fixe, la suite finit par le dépasser et ne plus redescendre en dessous. La définition pour \(-\infty\) est la même, avec \(\bigl]-\infty \ ; \ A\bigr]\).

Divergence d'une suite croissante non majorée

Soit \(A\) un réel quelconque.

La suite n'étant pas majorée, \(A\) n'est pas un majorant : il existe donc un rang \(N\) tel que \(u_N > A\).

La suite étant croissante, pour tout \(n \geqslant N\) :

$$ u_n \geqslant u_N > A $$

L'intervalle \(\bigl[A \ ; \ +\infty\bigr[\) contient donc tous les termes à partir du rang \(N\). Comme \(A\) était quelconque, c'est vrai de tout seuil :

$$ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty $$

Une suite croissante a donc deux avenirs seulement : ou elle est majorée, et elle converge ; ou elle ne l'est pas, et elle tend vers \(+\infty\). Il n'y a pas de troisième cas.

Converger vers un réel

Limite finie

La suite \((u_n)\) converge vers le réel \(\ell\) si tout intervalle ouvert contenant \(\ell\) contient toutes les valeurs \(u_n\) à partir d'un certain rang.

$$ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \ell $$

Une suite qui ne converge pas est dite divergente. C'est le cas de celles qui partent à l'infini, mais aussi de \(\bigl((-1)^n\bigr)\), qui oscille entre \(-1\) et \(1\) sans jamais se fixer.

Les limites de référence

Elles se retiennent en deux lignes, et tout le reste s'y ramène.

$$ \lim\limits_{n \to +\infty} n = \lim\limits_{n \to +\infty} n^2 = \lim\limits_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty $$
$$ \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2} = \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0 $$

Opérations sur les limites

Somme, produit et quotient se comportent comme on l'espère, sauf dans quatre cas où le résultat dépend des suites elles-mêmes et non de leurs limites.

$$ \infty - \infty \hspace{2em} 0 \times \infty \hspace{2em} \frac{\infty}{\infty} \hspace{2em} \frac{0}{0} $$

Ces quatre écritures sont les formes indéterminées. Elles ne sont pas une réponse : elles signalent qu'il faut transformer l'écriture.

Exemple :

$$ u_n = \frac{3n^2 + 5}{n^2 - 2n} \hspace{2em} \text{donne} \ \frac{\infty}{\infty} $$

On factorise le terme prépondérant, en haut comme en bas :

$$ u_n = \frac{n^2\left(3 + \frac{5}{n^2}\right)}{n^2\left(1 - \frac{2}{n}\right)} = \frac{3 + \frac{5}{n^2}}{1 - \frac{2}{n}} $$
$$ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 3 $$

Comparaison et gendarmes

Divergence par minoration

Si \(u_n \geqslant v_n\) à partir d'un certain rang et si \((v_n)\) tend vers \(+\infty\), alors \((u_n)\) aussi.

Théorème de comparaison

Soit \(A\) un réel quelconque.

Comme \((v_n)\) tend vers \(+\infty\), il existe un rang \(N\) à partir duquel \(v_n > A\).

À partir de ce même rang, et puisque \(u_n \geqslant v_n\) :

$$ u_n \geqslant v_n > A $$
$$ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty $$

Une seule inégalité suffit donc : on n'a pas besoin de connaître \((u_n)\), seulement de la coincer par en dessous.

Théorème des gendarmes

Si \(v_n \leqslant u_n \leqslant w_n\) à partir d'un certain rang, et si :

$$ \lim\limits_{n \to +\infty} v_n = \lim\limits_{n \to +\infty} w_n = \ell $$
$$ \text{alors} \quad \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \ell $$

C'est le seul outil pour une suite qui contient \((-1)^n\) ou \(\sin(n)\) : ces expressions n'ont pas de limite, mais elles restent bornées, et l'encadrement suffit à conclure.

La suite géométrique \((q^n)\)

Son comportement ne dépend que de la raison, et se lit dans un seul tableau.

Raison
\(\lim q^n\)
\(q > 1\)
\(+\infty\)
\(q = 1\)
\(1\)
\(-1 < q < 1\)
\(0\)
\(q \leqslant -1\)
pas de limite
le seul cas sans limite est celui où la suite change de signe sans s'amortir

Limite de \(q^n\) pour \(q > 1\)

Établissons d'abord l'inégalité de Bernoulli : pour tout réel \(a > 0\) et tout entier \(n\),

$$ (1 + a)^n \geqslant 1 + na $$

Initialisation : pour \(n = 0\), les deux membres valent \(1\).

Hérédité : supposons l'inégalité vraie au rang \(n\). En multipliant par \(1 + a\), qui est positif :

$$ (1+a)^{n+1} \geqslant (1 + na)(1 + a) = 1 + (n+1)a + na^2 $$

Or \(na^2 \geqslant 0\), donc :

$$ (1+a)^{n+1} \geqslant 1 + (n+1)a $$

L'inégalité est donc vraie pour tout \(n\).

Si maintenant \(q > 1\), posons \(a = q - 1\), qui est strictement positif. Alors \(q = 1 + a\) et :

$$ q^n \geqslant 1 + na $$

Le membre de droite tend vers \(+\infty\) ; par divergence par minoration :

$$ \lim\limits_{n \to +\infty} q^n = +\infty $$

Le théorème de convergence monotone

Convergence monotone

Une suite qui monte sans jamais dépasser un plafond finit par s'installer - et le théorème ne dit pas où :

$$ \text{Toute suite croissante et majorée converge.} $$
$$ \text{Toute suite décroissante et minorée converge.} $$

Ce théorème donne l'existence de la limite, jamais sa valeur. Il ne dit pas non plus que la limite vaut le majorant : une suite croissante majorée par \(10\) peut très bien converger vers \(4\).

C'est précisément ce qui le rend utile : pour une suite définie par récurrence, on sait souvent montrer qu'elle croît et qu'elle est majorée bien avant de savoir calculer sa limite.