Problèmes sur les limites de suites en terminale

Un lac qu'on repeuple, une mesure entachée d'une oscillation, un médicament qui s'accumule : trois évolutions qu'une suite décrit, et trois fois la même question - vers quoi cela se stabilise-t-il ?

Reconnaître une suite auxiliaire géométrique et en déduire le terme général.
Encadrer une suite pour déterminer sa limite par le théorème des gendarmes.
Établir qu'une suite est croissante et majorée, et en déduire sa convergence.
Interpréter une limite dans le contexte de l'énoncé.

Le repeuplement du lac

Un lac compte $3 \ 000$ poissons au 1^er janvier. Chaque année, la pêche et la mortalité en retirent $20 \ \%$, et le syndicat en réintroduit $500$. On note $u_n$ l'effectif au bout de $n$ années.

$$ u_0 = 3 \ 000 \hspace{2em} u_{n+1} = 0.8 \, u_n + 500 $$

Calculer $u_1$ et $u_2$.

$$ u_1 = 0.8 \times 3 \ 000 + 500 = 2 \ 900 $$

$$ u_2 = 0.8 \times 2 \ 900 + 500 = 2 \ 820 $$
On pose $v_n = u_n - 2 \ 500$. Montrer que $(v_n)$ est géométrique, et donner son terme général.

$$ v_{n+1} = u_{n+1} - 2 \ 500 = 0.8 \, u_n + 500 - 2 \ 500 $$

$$ v_{n+1} = 0.8 \, u_n - 2 \ 000 = 0.8 \bigl(u_n - 2 \ 500\bigr) $$

Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $0.8$, avec $v_0 = 500$ :

$$ v_n = 500 \times 0.8^n $$
En déduire l'expression de $u_n$.

$$ u_n = 2 \ 500 + 500 \times 0.8^n $$
Déterminer la limite de $(u_n)$, et interpréter.

Comme $-1 < 0.8 < 1$, la suite $\bigl(0.8^n\bigr)$ tend vers $0$, donc :

$$ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 2 \ 500 $$

L'effectif décroît et se stabilise à $2 \ 500$ poissons : c'est le point d'équilibre entre les $20 \ \%$ retirés et les $500$ réintroduits.

La mesure qui oscille

Un capteur relève, au $n$-ième essai, la valeur :

$$ u_n = \frac{2n + (-1)^n}{n} \hspace{2em} \text{pour} \ n \geqslant 1 $$

Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.

$$ u_1 = \frac{2 - 1}{1} = 1 \hspace{2em} u_2 = \frac{4 + 1}{2} = 2.5 $$

$$ u_3 = \frac{6 - 1}{3} = \frac{5}{3} \approx 1.67 $$
La suite est-elle monotone ? Justifier.

Non : $u_1 < u_2$ puis $u_2 > u_3$. Elle n'est ni croissante ni décroissante, et le théorème de convergence monotone ne s'applique donc pas.
Établir un encadrement de $u_n$ valable pour tout $n \geqslant 1$.

Pour tout $n$, $-1 \leqslant (-1)^n \leqslant 1$, donc :

$$ 2n - 1 \leqslant 2n + (-1)^n \leqslant 2n + 1 $$

En divisant par $n$, strictement positif, le sens des inégalités ne change pas :

$$ 2 - \frac{1}{n} \leqslant u_n \leqslant 2 + \frac{1}{n} $$
En déduire la limite de $(u_n)$.

Les deux bornes tendent vers $2$, puisque $\frac{1}{n}$ tend vers $0$.

Par le théorème des gendarmes :

$$ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 2 $$

Le capteur oscille donc autour de $2$, avec une amplitude qui s'amenuise.

La concentration du médicament

Un patient prend chaque matin une dose apportant $2 \ \text{mg}$ de principe actif. En vingt-quatre heures, son organisme en élimine $25 \ \%$. On note $c_n$ la concentration, en milligrammes, juste après la prise du $n$-ième jour.

$$ c_0 = 2 \hspace{2em} c_{n+1} = 0.75 \, c_n + 2 $$

Calculer $c_1$ et $c_2$.

$$ c_1 = 0.75 \times 2 + 2 = 3.5 $$

$$ c_2 = 0.75 \times 3.5 + 2 = 4.625 $$
Démontrer par récurrence que $c_n < 8$ pour tout $n$.

Initialisation : $c_0 = 2 < 8$.

Hérédité : supposons $c_n < 8$. Alors :

$$ c_{n+1} = 0.75 \, c_n + 2 < 0.75 \times 8 + 2 = 8 $$

$$ \text{pour tout } n, \ c_n < 8 $$
En déduire que $(c_n)$ est croissante.

$$ c_{n+1} - c_n = 0.75 \, c_n + 2 - c_n = 2 - 0.25 \, c_n $$

Or $c_n < 8$, donc $0.25 \, c_n < 2$, et la différence est strictement positive :

$$ c_{n+1} > c_n $$
Que peut-on conclure ? Déterminer la concentration vers laquelle le traitement se stabilise.

Croissante et majorée par $8$, la suite converge : c'est le théorème de convergence monotone.

Sa limite $\ell$ vérifie $\ell = 0.75 \, \ell + 2$, soit $0.25 \, \ell = 2$ :

$$ \ell = 8 \ \text{mg} $$

La concentration monte donc vers $8 \ \text{mg}$ sans jamais l'atteindre. Le majorant se trouve ici être la limite, mais rien dans le théorème ne le garantissait : c'est le calcul du point fixe qui le montre.

Les deux quartiers

Une commune suit la population de deux quartiers, année après année. Le quartier Nord, déjà bâti, gagne $120$ habitants chaque année ; le quartier Sud, en construction, croît de $8 \ \%$ par an. Au rang $n = 0$, le Nord compte $4 \ 200$ habitants et le Sud $1 \ 500$.

$$ a_n = 4 \ 200 + 120 \, n \hspace{2em} s_n = 1 \ 500 \times 1.08^{\, n} $$

Le maire veut savoir pendant combien d'années exactement le Nord restera le quartier le plus peuplé.

Calculer $a_{10}$ et $s_{10}$, arrondis à l'unité.

$$ a_{10} = 4 \ 200 + 1 \ 200 = 5 \ 400 $$

$$ s_{10} = 1 \ 500 \times 1.08^{\, 10} \approx 1 \ 500 \times 2.1589 \approx 3 \ 238 $$

Au bout de dix ans, le Nord compte encore plus de deux mille habitants d'avance.
On pose $d_n = a_n - s_n$. Démontrer que $d_{n+1} - d_n = 120 \left( 1 - 1.08^{\, n} \right)$, puis en déduire le sens de variation de $(d_n)$.

On calcule séparément les deux accroissements. Celui de $(a_n)$ est la raison de la suite arithmétique :

$$ a_{n+1} - a_n = 120 $$

$$ s_{n+1} - s_n = 1 \ 500 \times 1.08^{\, n} \bigl( 1.08 - 1 \bigr) = 120 \times 1.08^{\, n} $$

$$ d_{n+1} - d_n = 120 - 120 \times 1.08^{\, n} = 120 \left( 1 - 1.08^{\, n} \right) $$

Pour $n \geqslant 1$, on a $1.08^{\, n} > 1$, donc cette différence est strictement négative. Pour $n = 0$, elle est nulle : $d_1 = d_0 = 2 \ 700$.

$$ (d_n) \ \text{est strictement décroissante à partir du rang} \ 1 $$
Déterminer tous les rangs pour lesquels le Nord est le quartier le plus peuplé.

On cherche les rangs où $d_n > 0$. On calcule au voisinage du basculement :

$$ a_{19} = 6 \ 480 \hspace{2em} s_{19} \approx 6 \ 473.5 \hspace{2em} d_{19} \approx 6.5 > 0 $$

$$ a_{20} = 6 \ 600 \hspace{2em} s_{20} \approx 6 \ 991.4 \hspace{2em} d_{20} \approx - 391.4 < 0 $$

La conclusion tient à la question précédente, et à elle seule. $(d_n)$ étant strictement décroissante à partir du rang $1$ : tout rang $n \leqslant 19$ vérifie $d_n \geqslant d_{19} > 0$, et tout rang $n \geqslant 20$ vérifie $d_n \leqslant d_{20} < 0$.

$$ \text{le Nord l'emporte aux rangs} \ 0 \ \text{à} \ 19 \text{, et à eux seuls} $$

Sans la décroissance, les deux calculs ne prouveraient rien : une suite quelconque peut changer de signe autant de fois qu'elle veut.
Déterminer $\lim\limits_{n \to + \infty} \frac{s_n}{a_n}$, puis commenter l'écart entre ce résultat et ce que la commune observera dans les vingt prochaines années.

$$ \frac{s_n}{a_n} = \frac{1 \ 500 \times 1.08^{\, n}}{120 \, n + 4 \ 200} = \frac{25}{2} \times \frac{1.08^{\, n}}{n + 35} $$

On pose $m = n + 35$, de sorte que $1.08^{\, n} = \frac{1.08^{\, m}}{1.08^{\, 35}}$ :

$$ \frac{1.08^{\, n}}{n + 35} = \frac{1}{1.08^{\, 35}} \times \frac{1.08^{\, m}}{m} $$

Par croissance comparée, $\frac{q^{\, m}}{m}$ tend vers $+ \infty$ pour $q > 1$ :

$$ \lim\limits_{n \to + \infty} \frac{s_n}{a_n} = + \infty $$

À terme, le Sud sera donc arbitrairement plus peuplé que le Nord : dix fois, cent fois. Mais « à terme » est ici un mot redoutable. Il aura fallu vingt ans pour que le Sud passe devant, et au moment du croisement l'écart se comptait en unités - sept habitants.

Une limite dit où l'on va, jamais quand on y arrive. Pour un plan d'urbanisme à dix ans, c'est $d_{10}$ qui compte, pas la limite.

Le capital ou la rente

Un club sportif reçoit un legs, et doit choisir entre deux formes de versement.

Le capital : $200 \ 000 \ \text{€}$, versés immédiatement.
La rente : $20 \ 000 \ \text{€}$ la première année, puis chaque année $90 \ \%$ du versement précédent, sans limite de durée.

Le notaire affirme que « les deux offres se valent, elles totalisent la même somme ». Le club, lui, doit financer un gymnase de $150 \ 000 \ \text{€}$ dans les cinq ans.

On note $u_n$ le versement de la rente à l'année $n$, avec $u_0 = 20 \ 000$. Exprimer $u_n$, puis démontrer que le total $S_N$ reçu au bout de $N + 1$ versements vaut :

$$ S_N = 200 \ 000 \left( 1 - 0.9^{\, N + 1} \right) $$

$(u_n)$ est géométrique de raison $0.9$ et de premier terme $20 \ 000$ :

$$ u_n = 20 \ 000 \times 0.9^{\, n} $$

La somme des premiers termes d'une suite géométrique de raison différente de $1$ s'écrit :

$$ S_N = u_0 \times \frac{1 - q^{\, N + 1}}{1 - q} = 20 \ 000 \times \frac{1 - 0.9^{\, N + 1}}{0.1} $$

$$ S_N = 200 \ 000 \left( 1 - 0.9^{\, N + 1} \right) $$
Déterminer $\lim\limits_{N \to + \infty} S_N$, et dire en quoi le notaire a raison.

Comme $- 1 < 0.9 < 1$, la suite $\left( 0.9^{\, N + 1} \right)$ tend vers $0$.

$$ \lim\limits_{N \to + \infty} S_N = 200 \ 000 \ \text{€} $$

Le total de la rente tend bien vers le capital. Le notaire a raison sur ce point, et sur ce point seul : la rente ne dépasse jamais $200 \ 000$, et ne les atteint pas non plus.
Déterminer tous les rangs $N$ pour lesquels la rente a déjà rapporté au moins $150 \ 000 \ \text{€}$.

$$ 200 \ 000 \left( 1 - 0.9^{\, N + 1} \right) \geqslant 150 \ 000 \quad \Longleftrightarrow \quad 0.9^{\, N + 1} \leqslant 0.25 $$

On passe au logarithme ; $\ln(0.9)$ étant négatif, l'inégalité change de sens :

$$ (N + 1) \ln(0.9) \leqslant \ln(0.25) \quad \Longleftrightarrow \quad N + 1 \geqslant \frac{\ln(0.25)}{\ln(0.9)} \approx 13.16 $$

Vérification aux deux rangs voisins :

$$ S_{12} \approx 149 \ 163 \hspace{2em} S_{13} \approx 154 \ 246 $$

$$ N \geqslant 13 \text{, c'est-à-dire à partir du quatorzième versement} $$
Trancher, et expliquer ce que l'argument du notaire passe sous silence.

Le gymnase doit être financé dans les cinq ans, c'est-à-dire avec les cinq premiers versements :

$$ S_4 = 200 \ 000 \left( 1 - 0.9^{\, 5} \right) \approx 81 \ 902 \ \text{€} $$

$$ \text{le capital : la rente ne couvre pas la moitié du projet en cinq ans} $$

Et même sur dix ans, la rente reste loin du compte :

$$ S_9 \approx 130 \ 264 \ \text{€, soit} \ 65 \ \% \ \text{du capital} $$

L'argument du notaire compare deux nombres qui n'ont pas le même statut : $200 \ 000$ est ce que le capital verse, et c'est ce vers quoi la rente tend. Une limite n'est pas une somme reçue ; elle n'est reçue à aucune date.

La rente aurait pourtant un sens pour une charge permanente - un poste d'entraîneur, un loyer - que le club paiera chaque année. Ce qui la disqualifie ici, c'est la date : un gymnase se paie une fois, et tout de suite.