Problèmes sur les limites de suites en terminale

Un lac qu'on repeuple, une mesure entachée d'une oscillation, un médicament qui s'accumule : trois évolutions qu'une suite décrit, et trois fois la même question - vers quoi cela se stabilise-t-il ?

Reconnaître une suite auxiliaire géométrique et en déduire le terme général.
Encadrer une suite pour déterminer sa limite par le théorème des gendarmes.
Établir qu'une suite est croissante et majorée, et en déduire sa convergence.
Interpréter une limite dans le contexte de l'énoncé.

Le repeuplement du lac

Un lac compte $3 \ 000$ poissons au 1^er janvier. Chaque année, la pêche et la mortalité en retirent $20 \ \%$, et le syndicat en réintroduit $500$. On note $u_n$ l'effectif au bout de $n$ années.

$$ u_0 = 3 \ 000 \qquad u_{n+1} = 0{,}8 \, u_n + 500 $$

Calculer $u_1$ et $u_2$.

$$ u_1 = 0{,}8 \times 3 \ 000 + 500 = 2 \ 900 $$

$$ u_2 = 0{,}8 \times 2 \ 900 + 500 = 2 \ 820 $$
On pose $v_n = u_n - 2 \ 500$. Montrer que $(v_n)$ est géométrique, et donner son terme général.

$$ v_{n+1} = u_{n+1} - 2 \ 500 = 0{,}8 \, u_n + 500 - 2 \ 500 $$

$$ v_{n+1} = 0{,}8 \, u_n - 2 \ 000 = 0{,}8 \bigl(u_n - 2 \ 500\bigr) $$

Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}8$, avec $v_0 = 500$ :

$$ v_n = 500 \times 0{,}8^n $$
En déduire l'expression de $u_n$.

$$ u_n = 2 \ 500 + 500 \times 0{,}8^n $$
Déterminer la limite de $(u_n)$, et interpréter.

Comme $-1 < 0{,}8 < 1$, la suite $\bigl(0{,}8^n\bigr)$ tend vers $0$, donc :

$$ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 2 \ 500 $$

L'effectif décroît et se stabilise à $2 \ 500$ poissons : c'est le point d'équilibre entre les $20 \ \%$ retirés et les $500$ réintroduits.

La mesure qui oscille

Un capteur relève, au $n$-ième essai, la valeur :

$$ u_n = \frac{2n + (-1)^n}{n} \qquad \text{pour} \ n \geqslant 1 $$

Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.

$$ u_1 = \frac{2 - 1}{1} = 1 \qquad u_2 = \frac{4 + 1}{2} = 2{,}5 $$

$$ u_3 = \frac{6 - 1}{3} = \frac{5}{3} \approx 1{,}67 $$
La suite est-elle monotone ? Justifier.

Non : $u_1 < u_2$ puis $u_2 > u_3$. Elle n'est ni croissante ni décroissante, et le théorème de convergence monotone ne s'applique donc pas.
Établir un encadrement de $u_n$ valable pour tout $n \geqslant 1$.

Pour tout $n$, $-1 \leqslant (-1)^n \leqslant 1$, donc :

$$ 2n - 1 \leqslant 2n + (-1)^n \leqslant 2n + 1 $$

En divisant par $n$, strictement positif, le sens des inégalités ne change pas :

$$ 2 - \frac{1}{n} \leqslant u_n \leqslant 2 + \frac{1}{n} $$
En déduire la limite de $(u_n)$.

Les deux bornes tendent vers $2$, puisque $\frac{1}{n}$ tend vers $0$.

Par le théorème des gendarmes :

$$ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 2 $$

Le capteur oscille donc autour de $2$, avec une amplitude qui s'amenuise.

La concentration du médicament

Un patient prend chaque matin une dose apportant $2 \ \text{mg}$ de principe actif. En vingt-quatre heures, son organisme en élimine $25 \ \%$. On note $c_n$ la concentration, en milligrammes, juste après la prise du $n$-ième jour.

$$ c_0 = 2 \qquad c_{n+1} = 0{,}75 \, c_n + 2 $$

Calculer $c_1$ et $c_2$.

$$ c_1 = 0{,}75 \times 2 + 2 = 3{,}5 $$

$$ c_2 = 0{,}75 \times 3{,}5 + 2 = 4{,}625 $$
Démontrer par récurrence que $c_n < 8$ pour tout $n$.

Initialisation : $c_0 = 2 < 8$.

Hérédité : supposons $c_n < 8$. Alors :

$$ c_{n+1} = 0{,}75 \, c_n + 2 < 0{,}75 \times 8 + 2 = 8 $$

$$ \text{pour tout } n, \ c_n < 8 $$
En déduire que $(c_n)$ est croissante.

$$ c_{n+1} - c_n = 0{,}75 \, c_n + 2 - c_n = 2 - 0{,}25 \, c_n $$

Or $c_n < 8$, donc $0{,}25 \, c_n < 2$, et la différence est strictement positive :

$$ c_{n+1} > c_n $$
Que peut-on conclure ? Déterminer la concentration vers laquelle le traitement se stabilise.

Croissante et majorée par $8$, la suite converge : c'est le théorème de convergence monotone.

Sa limite $\ell$ vérifie $\ell = 0{,}75 \, \ell + 2$, soit $0{,}25 \, \ell = 2$ :

$$ \ell = 8 \ \text{mg} $$

La concentration monte donc vers $8 \ \text{mg}$ sans jamais l'atteindre. Le majorant se trouve ici être la limite, mais rien dans le théorème ne le garantissait : c'est le calcul du point fixe qui le montre.