Problèmes sur les suites homographiques

Suite homographique avec suite auxiliaire arithmétique

Soit la suite \((u_n)_{n \geqslant 0} \), définie de manière récurrente par :

1. Calculer les trois premiers termes la suite \((u_n)\).
2. Soit une nouvelle suite \((v_n)_{n \geqslant 0}\) définie en fonction de la précédente :
   $$ \forall n \geqslant 0, \hspace{2em} v_n = \ \frac{1}{u_n} $$

   Montrer alors que la suite \((v_n)\) est une suite arithmétique, et préciser sa raison \(r\).

   Ainsi, en déduire une expression générale pour \((v_n)\).
3. Déduire de l'expression de précédemment établie de \((v_n)\), une expression pour \((u_n)\).
4. Grâce à son expression générale, déterminer le sens de variations de la suite \((u_n)\).

Suite homographique avec suite auxiliaire géométrique

Soit la suite \((u_n)_{n \geqslant 0}\), définie de manière récurrente par :

1. Calculer les trois premiers termes la suite \((u_n)\).
2. Soit une nouvelle suite \((v_n)_{n \geqslant 0}\) définie en fonction de la précédente :
   $$ \forall n \geqslant 0, \hspace{2em} v_n = \frac{u_n - 1}{u_n - 3} $$

   Montrer alors que la suite \((v_n)\) est une suite géométrique, et préciser sa raison \(q\).

   Ainsi, en déduire une expression générale pour \((v_n)\).
3. En conservant \((v_n)\) sous forme littérale, exprimer maintenant \((u_n)\) en fonction de \((v_n)\).
   $$ u_n = f(v_n) $$
4. Déduire de l'expression de précédemment établie de \((v_n)\), une expression pour \((u_n)\).
5. Grâce à son expression générale, déterminer le sens de variations de la suite \((u_n)\).

Les points fixes et les valeurs interdites

Soit la suite \((u_n)_{n \geqslant 0}\), définie de manière récurrente par :

On note \(f\) la fonction \(x \mapsto \frac{4x - 6}{x - 1}\), définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{ 1 \}\). Deux questions se posent avant tout calcul : quels premiers termes rendent la suite constante, et quels premiers termes l'arrêtent net.

1. Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\) sous forme de fractions irréductibles.
   $$ u_1 = \frac{0 - 6}{0 - 1} = 6 \hspace{2em} u_2 = \frac{24 - 6}{6 - 1} = \frac{18}{5} $$

   $$ u_3 = \frac{\frac{72}{5} - \frac{30}{5}}{\frac{18}{5} - \frac{5}{5}} = \frac{\frac{42}{5}}{\frac{13}{5}} = \frac{42}{13} $$

   Les termes semblent se rapprocher de \(3\), par valeurs supérieures.

2. Déterminer tous les premiers termes \(u_0\) pour lesquels la suite est constante.

   La suite est constante si et seulement si \(u_1 = u_0\), c'est-à-dire si \(u_0\) est un point fixe de \(f\) - une récurrence immédiate donne alors la constance à tous les rangs.

   $$ \frac{4x - 6}{x - 1} = x \quad \Longleftrightarrow \quad 4x - 6 = x^2 - x \hspace{2em} (x \neq 1) $$

   $$ x^2 - 5x + 6 = 0 \hspace{2em} \Delta = 25 - 24 = 1 $$

   $$ x = \frac{5 - 1}{2} = 2 \hspace{2em} \text{ou} \hspace{2em} x = \frac{5 + 1}{2} = 3 $$

   Une équation du second degré a au plus deux solutions, et aucune des deux ne vaut \(1\) :

   $$ u_0 = 2 \quad \text{ou} \quad u_0 = 3 \text{, et rien d'autre} $$
3. Déterminer tous les premiers termes \(u_0\) pour lesquels la suite s'interrompt au rang \(1\), \(2\) ou \(3\), faute d'être définie.

   La suite s'interrompt au rang \(k + 1\) lorsque \(u_k = 1\). On remonte donc les rangs un à un.

   • \(u_0 = 1\) : \(u_1\) n'est pas défini.

   • \(u_1 = 1\) : on résout \(\frac{4x - 6}{x - 1} = 1\), soit \(4x - 6 = x - 1\), donc \(x = \frac{5}{3}\).

   • \(u_2 = 1\) : il faut \(u_1 = \frac{5}{3}\), donc \(\frac{4x - 6}{x - 1} = \frac{5}{3}\), soit \(12x - 18 = 5x - 5\), donc \(x = \frac{13}{7}\).

   Chacune de ces équations est du premier degré après produit en croix : elle a une solution et une seule. La liste est donc complète.

   $$ u_0 = 1 \hspace{2em} u_0 = \frac{5}{3} \hspace{2em} u_0 = \frac{13}{7} $$
4. On pose \(v_n = \frac{u_n - 3}{u_n - 2}\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique, puis exprimer \(u_n\) et déterminer sa limite.

   On calcule séparément le numérateur et le dénominateur de \(v_{n+1}\), en réduisant au dénominateur \(u_n - 1\) :

   $$ u_{n+1} - 3 = \frac{4 \, u_n - 6 - 3 \, u_n + 3}{u_n - 1} = \frac{u_n - 3}{u_n - 1} $$

   $$ u_{n+1} - 2 = \frac{4 \, u_n - 6 - 2 \, u_n + 2}{u_n - 1} = \frac{2 \bigl( u_n - 2 \bigr)}{u_n - 1} $$

   Le facteur \(u_n - 1\) se simplifie dans le quotient :

   $$ v_{n+1} = \frac{u_n - 3}{2 \bigl( u_n - 2 \bigr)} = \frac{1}{2} \, v_n $$

   Avec \(v_0 = \frac{0 - 3}{0 - 2} = \frac{3}{2}\), on obtient \(v_n = \frac{3}{2^{\, n+1}}\). Il reste à revenir à \(u_n\) :

   $$ v_n \bigl( u_n - 2 \bigr) = u_n - 3 \quad \Longleftrightarrow \quad u_n \bigl( v_n - 1 \bigr) = 2 \, v_n - 3 $$

   $$ u_n = \frac{3 - 2 \, v_n}{1 - v_n} = \frac{3 - \frac{6}{2^{\, n+1}}}{1 - \frac{3}{2^{\, n+1}}} $$

   $$ u_n = \frac{3 \times 2^{\, n+1} - 6}{2^{\, n+1} - 3} $$

   Comme \(\frac{1}{2^{\, n+1}}\) tend vers \(0\), le numérateur tend vers \(3\) et le dénominateur vers \(1\) :

   $$ \lim\limits_{n \to + \infty} u_n = 3 $$

   Des deux points fixes, un seul attire la suite. L'autre, \(2\), n'est atteint que si l'on part exactement de lui - c'est d'ailleurs lui qui figure au dénominateur de \(v_n\).

Quelle suite auxiliaire choisir ?

Soit la suite \((u_n)_{n \geqslant 0}\), définie de manière récurrente par :

Trois élèves proposent trois suites auxiliaires, et chacun assure que la sienne est arithmétique ou géométrique :

1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\), puis déterminer les points fixes de la fonction associée.
   $$ u_1 = \frac{4 + 3}{2 + 4} = \frac{7}{6} \hspace{2em} u_2 = \frac{\frac{14}{6} + 3}{\frac{7}{6} + 4} = \frac{\frac{32}{6}}{\frac{31}{6}} = \frac{32}{31} $$

   $$ \frac{2x + 3}{x + 4} = x \quad \Longleftrightarrow \quad x^2 + 4x = 2x + 3 \hspace{2em} (x \neq - 4) $$

   $$ x^2 + 2x - 3 = 0 \hspace{2em} \Delta = 4 + 12 = 16 $$

   $$ x = 1 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} x = - 3 $$
2. Écarter deux des trois propositions, par le calcul des trois premiers termes.

   Pour \((v_n)\) :

   $$ v_0 = \frac{1}{2} \hspace{2em} v_1 = \frac{6}{7} \hspace{2em} v_2 = \frac{31}{32} $$

   $$ v_1 - v_0 = \frac{5}{14} \hspace{2em} v_2 - v_1 = \frac{25}{224} \hspace{2em} \frac{v_1}{v_0} = \frac{12}{7} \hspace{2em} \frac{v_2}{v_1} = \frac{217}{192} $$

   Ni les différences ni les quotients ne se répètent : \((v_n)\) n'est ni arithmétique ni géométrique.

   Pour \((z_n)\) :

   $$ z_0 = 1 \hspace{2em} z_1 = \frac{1}{6} \hspace{2em} z_2 = \frac{1}{31} $$

   $$ \frac{z_1}{z_0} = \frac{1}{6} \hspace{2em} \frac{z_2}{z_1} = \frac{6}{31} $$

   Deux quotients différents suffisent à conclure : \((z_n)\) n'est pas géométrique, et ses différences ne sont pas davantage constantes.

   $$ \text{il ne reste que} \ (w_n) $$

   Un contre-exemple écarte une proposition ; il ne démontre pas la troisième, qu'il faut établir.

3. Démontrer que \((w_n)\) est géométrique, puis exprimer \(u_n\) et déterminer sa limite.
   $$ u_{n+1} - 1 = \frac{2 \, u_n + 3 - u_n - 4}{u_n + 4} = \frac{u_n - 1}{u_n + 4} $$

   $$ u_{n+1} + 3 = \frac{2 \, u_n + 3 + 3 \, u_n + 12}{u_n + 4} = \frac{5 \bigl( u_n + 3 \bigr)}{u_n + 4} $$

   $$ w_{n+1} = \frac{u_n - 1}{5 \bigl( u_n + 3 \bigr)} = \frac{1}{5} \, w_n $$

   Avec \(w_0 = \frac{2 - 1}{2 + 3} = \frac{1}{5}\), il vient \(w_n = \frac{1}{5^{\, n+1}}\). On revient à \(u_n\) :

   $$ w_n \bigl( u_n + 3 \bigr) = u_n - 1 \quad \Longleftrightarrow \quad u_n \bigl( w_n - 1 \bigr) = - 1 - 3 \, w_n $$

   $$ u_n = \frac{1 + 3 \, w_n}{1 - w_n} $$

   $$ u_n = \frac{5^{\, n+1} + 3}{5^{\, n+1} - 1} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \lim\limits_{n \to + \infty} u_n = 1 $$

   Vérification : pour \(n = 2\), \(\frac{125 + 3}{125 - 1} = \frac{128}{124} = \frac{32}{31}\).

4. Énoncer la règle qui permet de choisir la suite auxiliaire sans tâtonner, puis l'appliquer à la suite \((t_n)\) définie par \(t_0 = 3\) et \(t_{n+1} = \frac{3 \, t_n - 1}{t_n + 1}\).
   $$ \text{deux points fixes} \ a \ \text{et} \ b : \ \frac{u_n - a}{u_n - b} \ \text{est géométrique} $$

   $$ \text{un point fixe double} \ a : \ \frac{1}{u_n - a} \ \text{est arithmétique} $$

   Pour \((t_n)\), on cherche d'abord les points fixes :

   $$ x^2 + x = 3x - 1 \quad \Longleftrightarrow \quad x^2 - 2x + 1 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (x - 1)^2 = 0 $$

   Le point fixe \(1\) est double : la règle désigne \(x_n = \frac{1}{t_n - 1}\).

   $$ t_{n+1} - 1 = \frac{3 \, t_n - 1 - t_n - 1}{t_n + 1} = \frac{2 \bigl( t_n - 1 \bigr)}{t_n + 1} $$

   $$ x_{n+1} = \frac{t_n + 1}{2 \bigl( t_n - 1 \bigr)} = \frac{\bigl( t_n - 1 \bigr) + 2}{2 \bigl( t_n - 1 \bigr)} = \frac{1}{2} + x_n $$

   \((x_n)\) est arithmétique de raison \(\frac{1}{2}\), avec \(x_0 = \frac{1}{2}\), donc \(x_n = \frac{n + 1}{2}\) :

   $$ t_n = 1 + \frac{2}{n + 1} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \lim\limits_{n \to + \infty} t_n = 1 $$

   Les deux suites convergent vers leur point fixe attractif, mais pas du tout à la même allure : \((u_n)\) s'en approche comme \(5^{-n}\), \((t_n)\) comme \(\frac{1}{n}\). Au rang \(10\), la première est juste à \(10^{-7}\) près, la seconde à \(0.18\) près. C'est le point fixe double qui ralentit tout.