Exercices de type problème sur les suites homographiques

Suite homographique avec suite auxiliaire arithmétique

Soit la suite \((u_n)_{n \geqslant 0} \), définie de manière récurrente par :

1. Calculer les trois premiers termes la suite \((u_n)\).

2. Soit une nouvelle suite \((v_n)_{n \geqslant 0}\) définie en fonction de la précédente :

   $$ \forall n \geqslant 0, \hspace{2em} v_n = \ \frac{1}{u_n} $$

   Montrer alors que la suite \((v_n)\) est une suite arithmétique, et préciser sa raison \(r\).

   Ainsi, en déduire une expression générale pour \((v_n)\).

3. Déduire de l'expression de précédemment établie de \((v_n)\), une expression pour \((u_n)\).

4. Grâce à son expression générale, déterminer le sens de variations de la suite \((u_n)\).

Suite homographique avec suite auxiliaire géométrique

Soit la suite \((u_n)_{n \geqslant 0}\), définie de manière récurrente par :

1. Calculer les trois premiers termes la suite \((u_n)\).

2. Soit une nouvelle suite \((v_n)_{n \geqslant 0}\) définie en fonction de la précédente :

   $$ \forall n \geqslant 0, \hspace{2em} v_n = \frac{u_n - 1}{u_n - 3} $$

   Montrer alors que la suite \((v_n)\) est une suite géométrique, et préciser sa raison \(q\).

   Ainsi, en déduire une expression générale pour \((v_n)\).

3. En conservant \((v_n)\) sous forme littérale, exprimer maintenant \((u_n)\) en fonction de \((v_n)\).

   $$ u_n = f(v_n) $$

4. Déduire de l'expression de précédemment établie de \((v_n)\), une expression pour \((u_n)\).

5. Grâce à son expression générale, déterminer le sens de variations de la suite \((u_n)\).