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Déterminer la limite d'une suite

Une limite de suite se cherche toujours dans le même ordre : reconnaître la forme, appliquer le théorème qui lui correspond , et ne transformer l'écriture que si aucun ne s'applique.

Reconnaître la forme

La suite est…
L'outil
une puissance \(q^n\)
le tableau des raisons
un quotient de polynômes en \(n\)
factoriser le terme prépondérant
encadrée, ou contient \((-1)^n\)
le théorème des gendarmes
minorée par une suite qui explose
la divergence par minoration
croissante et majorée
la convergence monotone
cinq formes, cinq outils - et aucun ne se cherche au hasard

Le réflexe à prendre : calculer d'abord la limite « naïve » . Si elle n'est pas une forme indéterminée, c'est la réponse, et il n'y a rien à transformer.

Lever une forme indéterminée

  1. repérer le terme prépondérant , celui de plus haut degré
  2. le factoriser au numérateur et au dénominateur
  3. simplifier : il disparaît
  4. conclure sur ce qui reste, où plus rien n'est indéterminé

Exemple :

$$ u_n = \frac{5n^2 - n}{2n^2 + 3} $$
$$ u_n = \frac{n^2\left(5 - \frac{1}{n}\right)}{n^2\left(2 + \frac{3}{n^2}\right)} = \frac{5 - \frac{1}{n}}{2 + \frac{3}{n^2}} $$
$$ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \frac{5}{2} $$

Pour une somme, la même idée : \(n^2 - n = n^2\left(1 - \frac{1}{n}\right)\), et l'indétermination \(\infty - \infty\) disparaît .

Rédiger un encadrement

Trois lignes suffisent, et la première est toujours la même : encadrer la seule partie qui n'a pas de limite .

Exemple :

$$ u_n = \frac{\sin(n)}{n} $$
  1. pour tout \(n\) , \(-1 \leqslant \sin(n) \leqslant 1\)
  2. en divisant par \(n\), strictement positif , le sens ne change pas :
$$ -\frac{1}{n} \leqslant u_n \leqslant \frac{1}{n} $$

Les deux bornes tendent vers \(0\), donc par le théorème des gendarmes :

$$ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0 $$

Diviser par une quantité négative renverserait l'encadrement. C'est la seule vérification à faire avant d'écrire la deuxième ligne.

Conclure sans calculer la limite

Quand l'énoncé demande seulement de montrer que la suite converge , la convergence monotone suffit - et elle évite tout calcul de limite.

  1. établir le sens de variation, en étudiant le signe de \(u_{n+1} - u_n\)
  2. établir la borne, souvent par récurrence
  3. conclure : croissante et majorée, donc convergente

Ne jamais écrire que la limite vaut le majorant : le théorème ne le dit pas . Pour l'obtenir, il faut un autre argument - souvent le point fixe de la relation de récurrence.