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Une relation de récurrence dit comment passer d'un terme au suivant, et rien d'autre. Elle ne donne ni le terme général, ni la limite : tout le chapitre consiste à les obtenir malgré tout.
Ce que la relation définit
Suite définie par récurrence
Une suite est définie par récurrence par la donnée de son premier terme et d'une relation \(u_{n+1} = f(u_n)\).
Changer \(u_0\) change toute la suite : la relation seule ne définit rien. Et pour calculer \(u_{100}\), il faut avoir calculé les cent termes précédents.
C'est la différence avec une suite donnée par une formule explicite \(u_n = \ldots\), où chaque terme se calcule directement à partir de son rang. Reconnaître laquelle des deux on a sous les yeux décide de toutes les méthodes qui suivront.
Lire la suite en escalier
Sur un même graphique, la courbe de \(f\) et la droite d'équation \(y = x\) suffisent à placer tous les termes : on monte à la courbe, on revient à la droite.
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partir de \(u_n\) sur l'axe des abscisses et monter jusqu'à la courbe: on lit \(u_{n+1}\) en ordonnée
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se déplacer horizontalement jusqu'à la droite \(y = x\), qui ramène cette ordonnée en abscisse
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recommencer : chaque marche construit un terme de plus
Le dessin ne démontre rien, mais il annonce la réponse: on y voit la suite croître, rester sous une barre, et se tasser contre le point où la courbe croise la droite. Il reste à établir ces trois faits.
Encadrer par récurrence
Comme le terme général est inconnu, une majoration ne se calcule pas : elle se transmet. C'est l'usage le plus fréquent du raisonnement par récurrence.
Exemple :
Montrons que \(u_n < 4\) pour la suite du graphique, où \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = 0{,}5 \, u_n + 2\).
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Initialisation : \(u_0 = 0 < 4\)
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Hérédité : supposons \(u_n < 4\). Alors :
Le seuil \(4\) n'est pas tombé du ciel : c'est l'abscisse du point d'intersection lue sur le graphique.
Le sens de variation
Deux voies, et la première est presque toujours la plus courte.
Par le signe de la différence
On remplace, on factorise, et on utilise l'encadrement déjà établi pour conclure sur le signe.
Exemple :
Or \(u_n < 4\), donc \(0{,}5 \, u_n < 2\), et la différence est strictement positive :
Par récurrence, quand \(f\) est croissante
Si \(f\) est croissante et si \(u_0 \leqslant u_1\), alors l'inégalité se transmet: \(u_n \leqslant u_{n+1}\) entraîne \(f(u_n) \leqslant f(u_{n+1})\), c'est-à-dire \(u_{n+1} \leqslant u_{n+2}\).
Cette seconde voie est la seule possible quand la différence ne se factorise pas. Elle exige de comparer les deux premiers termes: c'est ce premier pas qui décide du sens, la croissance de \(f\) ne faisant que le propager.
Conclure à la convergence
Croissante et majorée, la suite converge : c'est le théorème de convergence monotone. Il donne l'existence de la limite, jamais sa valeur.
Trouver la limite : le point fixe
Équation du point fixe
Si \((u_n)\) converge vers \(\ell\), si tous ses termes appartiennent à un intervalle \(I\), et si \(f\) est continue en \(\ell\), alors :
L'idée tient en une ligne : \(u_{n+1}\) tend vers \(\ell\) comme \((u_n)\), et la continuité fait passer la limite à travers \(f\), de sorte que \(f(u_n)\) tend vers \(f(\ell)\). Les deux membres de \(u_{n+1} = f(u_n)\) ont donc la même limite.
Exemple :
L'ordre des étapes n'est pas négociable : résoudre \(\ell = f(\ell)\) ne démontre pas que la suite converge. Une suite qui diverge peut très bien avoir un point fixe - il faut avoir établi la convergence avant d'écrire cette équation.
La marche à suivre, en trois temps
Étape |
Outil |
Ce qu'elle donne |
|---|---|---|
encadrer |
récurrence |
un majorant, lu sur le graphique |
varier |
signe de \(f(u_n) - u_n\) |
la monotonie |
conclure |
convergence monotone, puis point fixe |
l'existence, puis la valeur de la limite |