Problèmes sur les suites récurrentes arithmétiques ou géométriques en terminale

Suite récurrente avec suite associée arithmétique

Soit la suite $(u_n)_{n \geqslant 0} $, définie de manière récurrente par :

$$ \forall n \geqslant 0, \hspace{1em} \Biggl \{ \begin{gather*} u_{n+1} = u_n + 2n - 3 \\ u_0 = 1 \end{gather*} $$

Calculer les trois premiers termes la suite $(u_n)$.
Soit une nouvelle suite $(v_n)_{n \geqslant 0}$ définie en fonction de la précédente :

$$ \forall n \geqslant 0, \hspace{2em} v_n = u_n - n^2 $$

Montrer alors que la suite $(v_n)$ est une suite arithmétique, et préciser sa raison $r$.

Ainsi, en déduire une expression générale pour $(v_n)$.
Déduire de l'expression de précédemment établie de $(v_n)$, une expression pour $(u_n)$.
Grâce à son expression générale, déterminer le sens de variations de cette suite.

Suite récurrente avec suite associée géométrique (1)

Soit la suite $(u_n)_{n \geqslant 1} $, définie de manière récurrente par :

$$ \forall n \geqslant 1, \hspace{1em} \Biggl \{ \begin{gather*} u_{n+1} = \frac{2}{3}u_n \times \left( \frac{n + 1}{n} \right) \\ u_1 = 1 \end{gather*} $$

Calculer les trois premiers termes la suite $(u_n)$.
Soit une nouvelle suite $(v_n)_{n \geqslant 1}$ définie en fonction de la précédente :

$$ \forall n \geqslant 1, \hspace{2em} v_n = \frac{u_n}{n} $$

Montrer alors que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique, et préciser sa raison $r$.

Ainsi, en déduire une expression générale pour $(v_n)$.
Déduire de l'expression de précédemment établie de $(v_n)$, une expression pour $(u_n)$.
Grâce à son expression générale, déterminer le sens de variations de cette suite.

Suite récurrente avec suite associée géométrique (2)

Soit la suite $(u_n)_{n \geqslant 0} $, définie de manière récurrente par :

$$ \forall n \geqslant 0, \hspace{1em} \Biggl \{ \begin{gather*} u_{n+1} = \frac{3}{4}u_n +\frac{1}{4}n + 1 \\ u_0 = 1 \end{gather*} $$

Calculer les trois premiers termes la suite $(u_n)$.
Soit une nouvelle suite $(v_n)_{n \geqslant 0}$ définie en fonction de la précédente :

$$ \forall n \geqslant 0, \hspace{2em} v_n = u_n - n $$

Montrer alors que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique, et préciser sa raison $q$.

Ainsi, en déduire une expression générale pour $(v_n)$.
Déduire de l'expression de précédemment établie de $(v_n)$, une expression pour $(u_n)$.
Grâce à son expression générale, déterminer le sens de variations de cette suite.

La seule translation qui marche

Soit la suite $(u_n)_{n \geqslant 0}$, définie de manière récurrente par :

$$ \forall n \geqslant 0, \hspace{1em} \Biggl \{ \begin{gather*} u_{n+1} = 3 \, u_n - 8 \\ u_0 = 1 \end{gather*} $$

La méthode habituelle consiste à poser $v_n = u_n + c$ et à choisir $c$ pour que $(v_n)$ soit géométrique. La question est de savoir combien de valeurs de $c$ conviennent.

Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.

$$ u_1 = 3 - 8 = - 5 \hspace{2em} u_2 = - 15 - 8 = - 23 \hspace{2em} u_3 = - 69 - 8 = - 77 $$
Pour un réel $c$ quelconque, on pose $v_n = u_n + c$. Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$ et de $c$.

On remplace $u_n$ par $v_n - c$ dans la relation de récurrence :

$$ v_{n+1} = u_{n+1} + c = 3 \, u_n - 8 + c = 3 \bigl( v_n - c \bigr) - 8 + c $$

$$ v_{n+1} = 3 \, v_n - \bigl( 2c + 8 \bigr) $$
En déduire toutes les valeurs de $c$ pour lesquelles $(v_n)$ est géométrique, puis exprimer $u_n$.

Si $2c + 8 = 0$, c'est-à-dire $c = - 4$, alors $v_{n+1} = 3 \, v_n$ : la suite est géométrique de raison $3$.

Réciproquement, supposons $(v_n)$ géométrique de raison $q$. Alors $q \, v_n = 3 \, v_n - (2c + 8)$ pour tout $n$, donc $(3 - q) \, v_n = 2c + 8$ : la suite $(v_n)$ est constante, ou bien $q = 3$ et $2c + 8 = 0$.

Le cas constant exigerait $u_n = v_0 - c$ constante, donc $u_0$ point fixe : $3 \, u_0 - 8 = u_0$ donnerait $u_0 = 4$, alors que $u_0 = 1$. Il est donc exclu.

$$ c = - 4 \text{, et cette valeur seule} $$

Avec $v_0 = u_0 - 4 = - 3$, il vient $v_n = - 3 \times 3^{\, n} = - 3^{\, n+1}$ :

$$ u_n = 4 - 3^{\, n+1} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \lim\limits_{n \to + \infty} u_n = - \infty $$

Vérification : $u_3 = 4 - 81 = - 77$.
Déterminer toutes les valeurs de $c$ pour lesquelles $(u_n + c)$ serait arithmétique, puis tous les couples $(a \ ; \ c)$, avec $a \neq 0$, pour lesquels $\bigl( a \, u_n + c \bigr)$ est géométrique.

Pour le cas arithmétique, la différence doit être constante :

$$ v_{n+1} - v_n = u_{n+1} - u_n = 3 \, u_n - 8 - u_n = 2 \, u_n - 8 $$

Cette différence ne dépend pas de $c$ : elle est constante si et seulement si $(u_n)$ l'est, donc si $u_0 = 4$. Ce n'est pas le cas.

$$ \text{aucune valeur de} \ c \ \text{ne rend la suite arithmétique} $$

Pour le cas général, on pose $t_n = a \, u_n + c$, donc $u_n = \frac{t_n - c}{a}$ :

$$ t_{n+1} = a \bigl( 3 \, u_n - 8 \bigr) + c = 3 \bigl( t_n - c \bigr) - 8 \, a + c = 3 \, t_n - \bigl( 2c + 8a \bigr) $$

Le même raisonnement qu'à la question précédente impose $2c + 8a = 0$ :

$$ c = - 4 \, a \text{, c'est-à-dire} \ t_n = a \bigl( u_n - 4 \bigr) $$

Il n'y a donc pas plusieurs suites auxiliaires : il n'y en a qu'une, $u_n - 4$, et toutes les autres en sont des multiples. Le nombre $4$ n'a rien d'arbitraire - c'est le point fixe de $x \mapsto 3x - 8$, le seul terme initial qui rendrait la suite constante.

Deux plans de remboursement

Un ménage emprunte $12 \ 000 \ \text{€}$. Chaque mois, la dette augmente de $0{,}4 \ \%$ d'intérêts, puis le ménage verse une mensualité de $m$ euros. On note $c_n$ la dette restante après la $n$-ième mensualité, avec $c_0 = 12 \ 000$.

$$ c_{n+1} = 1{,}004 \, c_n - m $$

La banque propose deux plans : $m = 400$ ou $m = 300$. Le ménage veut savoir lequel lui coûte le moins.

Pour $m = 400$, calculer $c_1$ et $c_2$, arrondis au centime.

$$ c_1 = 1{,}004 \times 12 \ 000 - 400 = 12 \ 048 - 400 = 11 \ 648 $$

$$ c_2 = 1{,}004 \times 11 \ 648 - 400 \approx 11 \ 294{,}59 $$

La première mensualité n'a effacé que $352 \ \text{€}$ de dette : les $48$ autres euros ont payé les intérêts.
Toujours pour $m = 400$, on pose $w_n = c_n - 100 \ 000$. Montrer que $(w_n)$ est géométrique, puis exprimer $c_n$.

Le nombre $100 \ 000$ est le point fixe : il vérifie $1{,}004 \, x - 400 = x$, soit $0{,}004 \, x = 400$.

$$ w_{n+1} = c_{n+1} - 100 \ 000 = 1{,}004 \, c_n - 400 - 100 \ 000 $$

$$ w_{n+1} = 1{,}004 \bigl( w_n + 100 \ 000 \bigr) - 100 \ 400 = 1{,}004 \, w_n $$

$(w_n)$ est géométrique de raison $1{,}004$, avec $w_0 = - 88 \ 000$ :

$$ c_n = 100 \ 000 - 88 \ 000 \times 1{,}004^{\, n} $$
Déterminer le mois de la dernière mensualité et le montant total remboursé, pour chacun des deux plans. On donne, pour $m = 300$, la relation $c_n = 75 \ 000 - 63 \ 000 \times 1{,}004^{\, n}$.

La dette est éteinte au premier rang où $c_n$ devient négatif ou nul. Pour $m = 400$ :

$$ 100 \ 000 - 88 \ 000 \times 1{,}004^{\, n} \leqslant 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 1{,}004^{\, n} \geqslant \frac{100}{88} $$

$$ n \geqslant \frac{\ln \left( \frac{100}{88} \right)}{\ln(1{,}004)} \approx 32{,}0 $$

Au rang $32$, il reste $c_{32} \approx 9{,}12 \ \text{€}$ : une trente-troisième mensualité, réduite à $9{,}16 \ \text{€}$ après intérêts, solde le prêt.

$$ 33 \ \text{mois} \hspace{2em} 32 \times 400 + 9{,}16 \approx 12 \ 809 \ \text{€} $$

Pour $m = 300$, le même calcul donne $1{,}004^{\, n} \geqslant \frac{75}{63}$, soit $n \geqslant 43{,}7$.

$$ c_{43} \approx 201{,}70 \ \text{€} \hspace{2em} \text{et la dernière mensualité vaut} \ 202{,}51 \ \text{€} $$

$$ 44 \ \text{mois} \hspace{2em} 43 \times 300 + 202{,}51 \approx 13 \ 103 \ \text{€} $$
Déterminer toutes les mensualités qui permettent d'éteindre la dette, puis trancher entre les deux plans.

La dette diminue dès la première mensualité si et seulement si $c_1 < c_0$ :

$$ 1{,}004 \times 12 \ 000 - m < 12 \ 000 \quad \Longleftrightarrow \quad m > 48 $$

Et cette condition suffit : si la dette diminue une fois, les intérêts du mois suivant sont plus faibles, donc elle diminue encore, et de plus en plus vite.

$$ m > 48 \ \text{€ par mois} $$

En dessous, la mensualité ne couvre même pas les intérêts du premier mois et la dette enfle : c'est le cas limite que décrit le point fixe $250 \, m$, au-delà duquel la suite part vers $+ \infty$.

Reste à trancher. Les intérêts payés sont la différence entre le total remboursé et les $12 \ 000 \ \text{€}$ empruntés :

$$ 809 \ \text{€ en} \ 33 \ \text{mois} \hspace{2em} \text{contre} \hspace{2em} 1 \ 103 \ \text{€ en} \ 44 \ \text{mois} $$

$$ \text{le plan à} \ 400 \ \text{€ : } 294 \ \text{€ d'intérêts en moins, et onze mois de moins} $$

Ce n'est pourtant pas une recommandation inconditionnelle : les $100 \ \text{€}$ mensuels d'écart doivent exister dans le budget. Le plan à $300$ achète de la trésorerie, et son prix est de $294 \ \text{€}$ - soit environ $27 \ \text{€}$ par mois de délai gagné.