Problèmes sur les suites récurrentes en terminale

Suite récurrente issue d'un polynôme du second degré

Soit la suite $(u_n)_{n \geqslant 0} $, définie de manière récurrente par :

$$ \forall n \geqslant 0, \hspace{1em} \Biggl \{ \begin{gather*} u_{n+1} = u_n - 3n + 1 \\ u_0 = 1 \end{gather*} $$

Calculer les trois prochains termes la suite $(u_n)$.

$$u_{0+1} = u_0 - 3 \times 0 + 1 $$

$$ u_1 = 1 + 1 $$

$$u_1 = 2 $$

$$ u_{1+1} = u_1 - 3 \times 1 + 1 $$

$$ u_2 = 2 - 3 + 1 $$

$$u_2 = 0 $$

$$ u_{2+1} = u_2 - 3 \times 2 + 1 $$

$$ u_3 = 0 - 6 + 1 $$

$$u_3 = - 5 $$
On suppose que la suite $(u_n)$ est de la forme :

$$ \forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = an^2 + bn + c \hspace{2em} \left( \text{avec} \ (a,b,c) \in \hspace{0.01em} \mathbb{R}^3 \right) $$

Trouver les valeurs des trois coefficients $(a,b,c)$, et en déduire l'expression de $(u_n)$.
1. À l'aide de $u_0$, trouver $c$.
  
  $$ u_0 = a \times 0^2 + b \times 0 + c $$
  
  $$ u_0 = 0 + 0 + c $$
  
  $$ u_0 = c $$
  
  Or on sait que :
  
  $$ u_0 = 1 $$
  
  Alors,
  
  $$ c = 1 $$
2. À l'aide de $u_1$ et $u_2$, établir deux équations vérifiées par $a$ et $b$.
  
  Ensuite, on sait que pour les deux prochains termes :
  
  Pour $(n = 1) $
  
  $$ u_1 = a \times 1^2 + b \times 1 + \textcolor{rgb(163 96 190)}{c} $$
  
  $$ u_1 = a + b + \textcolor{rgb(163 96 190)}{1} $$
  
  Pour $(n = 2) $
  
  $$ u_2 = a \times 2^2 + b \times 2 + \textcolor{rgb(163 96 190)}{c} $$
  
  $$ u_2 = 4a + 2b + \textcolor{rgb(163 96 190)}{1} $$
  
  $$ u_2 = 4a + 2b + 1 $$
  
  Or on sait que,
  
  $$ u_1 = 2 $$
  
  $$ u_2 = 0 $$
  
  Alors,
  
  $$ a + b + 1 = 2 $$
  
  $$ a + b = 2 - 1 $$
  
  $$ a + b = 1 $$
  
  $$ 4a + 2b + 1 = 0 $$
  
  $$ 4a + 2b = -1 $$
3. Résoudre le système obtenu, puis donner l'expression de $(u_n)$.
  
  On obtient alors un système à deux inconnues :
  
  $$ \Biggl \{ \begin{gather*} a + b = 1 \hspace{2em}(L_1) \\ 4a + 2b = -1 \hspace{2em}(L_2) \end{gather*} $$
  
  On multiplie d'abord la première ligne par 4 :
  
  $$ \Biggl \{ \begin{gather*} a + b = 1 \hspace{2em} \hspace{2em}(L_1) \hspace{2em} \textcolor{rgb(157 171 234)}{ (\times 4)} \\ 4a + 2b = -1 \hspace{2em}(L_2) \end{gather*} $$
  
  $$ \Longrightarrow $$
  
  $$ \Biggl \{ \begin{gather*} \textcolor{rgb(157 171 234)}{4} a + \textcolor{rgb(157 171 234)}{4}b = \textcolor{rgb(157 171 234)}{4} \hspace{0.8em} \hspace{2em}(4L_1) \\ 4a + 2b = -1 \hspace{2em}(L_2) \end{gather*} $$
  
  Puis on effectue l'opération $ (4L_1) - (L_2)$ pour isoler $b$ :
  
  $$ 4a+4b - (4a +2b) = 4 - (-1) $$
  
  $$ 4a+4b - 4a - 2 b = 5 $$
  
  $$ 2 b = 5 $$
  
  $$b = \frac{5}{2} $$
  
  À présent, on prend une des deux lignes pour en déduire $a$ :
  
  $$ a + b = 1 \hspace{2em}(L_1) $$
  
  $$ a + \frac{5}{2} = 1 $$
  
  $$ a = 1 -\frac{5}{2} $$
  
  $$ a = \frac{2}{2} -\frac{5}{2} $$
  
  $$a = -\frac{3}{2} $$
  
  On a alors trouvée les trois coefficients :
  
  $$ \left \{ a = -\frac{3}{2} , \ b = \frac{5}{2} ,\ c = 1 \right \} $$
  
  Alors, cette suite $(u_n)$ a pour expression :
  
  $$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = -\frac{3}{2} n^2 + \frac{5}{2} n + 1 $$
Enfin, montrer que la suite $(u_n)$ vérifie bien la relation de récurrence avec cette forme.

On raisonne par récurrence sur la proposition :

$$ \forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = -\frac{3}{2}n^2 + \frac{5}{2}n + 1 \hspace{2em} (P_n) $$
1. Initialisation : vérifier que cette forme donne bien $u_0$.
  
  Pour le premier terme avec $(n=0)$, on a :
  
  $$ u_0 = -\frac{3}{2} \times 0^2 + \frac{5}{2} \times 0 + 1 $$
  
  $$u_0 = 1 $$
  
  La relation est bien vérifiée pour le premier terme $u_0$.
2. Hérédité : en supposant $(P_n)$ vraie pour un rang $n \geqslant 0$, calculer $u_{n+1}$ avec la relation de récurrence, et montrer qu'on retrouve $(P_{n+1})$.
  
  À partir de la proposition $(P_n)$ suivante supposée vraie :
  
  $$ \forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = -\frac{3}{2}n^2 + \frac{5}{2}n + 1 \hspace{2em} (P_n) $$
  
  On cherche à montrer qu'elle est aussi vraie au rang suivant :
  
  $$ \forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_{n+1} = -\frac{3}{2}(n+1)^2 + \frac{5}{2}(n+1) + 1 $$
  
  $$ u_{n+1} = -\frac{3}{2}(n^2 + 2n + 1) + \frac{5}{2}n + \frac{5}{2} + 1 $$
  
  $$ u_{n+1} = -\frac{3}{2}n^2 + -\frac{3}{2} \times 2n -\frac{3}{2} + \frac{5}{2}n + \frac{5}{2} + \textcolor{rgb(157 171 234)}{\frac{2}{2} \times} 1 $$
  
  $$ u_{n+1} = -\frac{3}{2}n^2 + -\frac{6}{2}n -\frac{3}{2} + \frac{5}{2}n + \frac{5}{2} + \frac{2}{2} $$
  
  $$u_{n+1} = -\frac{3}{2}n^2 -\frac{1}{2}n + 2 \hspace{2em} (P_{n+1}) $$
  
  Alors, vérifions que cela correspond bien à notre expression de départ, en y injectant la valeur supposée vraie de $(u_n)$ :
  
  $$ u_{n+1} = \textcolor{rgb(163 96 190)}{u_n} - 3n + 1 $$
  
  $$ u_{n+1} = \textcolor{rgb(163 96 190)}{-\frac{3}{2}n^2 + \frac{5}{2}n + 1} - 3n + 1 $$
  
  $$ u_{n+1} = -\frac{3}{2}n^2 + \frac{5}{2}n + 1 - \textcolor{rgb(157 171 234)}{\frac{2}{2} \times } 3n + 1 $$
  
  $$ u_{n+1} = -\frac{3}{2}n^2 + \frac{5}{2}n + 1 - \frac{6}{2}n + 1 $$
  
  $$u_{n+1} = -\frac{3}{2}n^2 - \frac{1}{2}n + 2 \hspace{2em} (u_{n+1}) $$
3. Conclure.
  
  La forme de $u_n$ est vraie pour le premier terme $u_0$, et est bien héréditaire de proche en proche.
  
  Alors, on a montré que la suite $(u_n)$ admet bien une relation de récurrence, et vaut bien :
  
  $$ \forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = -\frac{3}{2}n^2 + \frac{5}{2}n + 1 \hspace{2em} (u_n) $$
Avec la nouvelle formule pour $(u_n)$, recalculer les termes de la suite avec cette nouvelle formule, et comparer avec les résultats précédents, afin de valider ou d'invalider le modèle.

On recalcule toutes les valeurs avec la formule explicite.

$$ \forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = -\frac{3}{2}n^2 + \frac{5}{2}n + 1 \hspace{2em} (u_n) $$

Pour $u_0$ :

$$ u_0 = -\frac{3}{2}\times 0^2 + \frac{5}{2}\times 0 + 1 $$

$$ u_ 0 = 1 $$

Pour $u_1$ :

$$ u_1 = -\frac{3}{2}\times 1^2 + \frac{5}{2}\times 1 + 1 $$

$$ u_1 = -\frac{3}{2} + \frac{5}{2}+ 1 $$

$$ u_1 = \frac{2}{2} + 1 $$

$$ u_1 = 2 $$

Pour $u_2$ :

$$ u_2 = -\frac{3}{2}\times 2^2 + \frac{5}{2}\times 2 + 1 $$

$$ u_2 = -\frac{12}{2} + \frac{10}{2}+ 1 $$

$$ u_2 = -\frac{2}{2} + \frac{10}{2}+ 1 $$

$$ u_2 = 0 $$

Pour $u_3$ :

$$ u_3 = -\frac{3}{2}\times 3^2 + \frac{5}{2}\times 3 + 1 $$

$$ u_3 = -\frac{27}{2} + \frac{15}{2} + 1 $$

$$ u_3 = -\frac{12}{2} + 1 $$

$$ u_3 = -5 $$

Toutes les valeurs collent bien à l'expression explicite de la suite $(u_n)$.

Suite récurrente issue d'une puissance

Soit la suite $(u_n)_{n \geqslant 0} $, définie de manière récurrente par :

$$ \forall n \geqslant 0, \hspace{1em} \Biggl \{ \begin{gather*} u_{n+1} = 4u_n + 3n - 1 \\ u_0 = 1 \end{gather*} $$

Calculer les trois prochains termes la suite $(u_n)$.

$$ u_{0+1} = 4u_0 + 3 \times 0 - 1 $$

$$ u_1 = 4 -1 $$

$$u_1 = 3 $$

$$ u_{1+1} = 4u_1 + 3 \times 1 - 1 $$

$$ u_2 = 4 \times 3 + 3 - 1 $$

$$u_2 = 14 $$

$$ u_{2+1} = 4u_2 + 3 \times 2 - 1 $$

$$ u_3 = 4 \times 14 + 6 - 1 $$

$$u_3 = 61 $$
On suppose que la suite $(u_n)$ est de la forme :

$$ \forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = \alpha^n - n \hspace{2em} \left( \text{avec} \ \alpha \in \mathbb{R} \right) $$

Trouver la valeurs du coefficient $\alpha$, et en déduire l'expression de $(u_n)$.

On calcule les premières valeurs avec cette nouvelle forme :

$$ \forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = \alpha^n - n \hspace{2em} \left( \text{avec} \ \alpha \in \mathbb{R} \right) $$

Pour $(n = 1)$, comme on sait que :

$$ u_1 = 3 $$

Alors,

$$ \alpha^1 - 1 = 3 $$

$$ \alpha = 4 $$

Alors, la forme explicite de la suite $(u_n)$ est :

$$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = 4^n - n $$
On suppose que la suite $(u_n)$ vaut :

$$ \forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = 4^n - n $$

Montrer que la suite $(u_n)$ vérifie bien la relation de récurrence.

On raisonne par récurrence sur la proposition :

$$ \forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = 4^n - n \hspace{2em} (P_n) $$
1. Initialisation : vérifier que cette forme donne bien $u_0$.
  
  Pour le premier terme avec $(n=0)$, on a :
  
  $$ u_n = 4^0 - 0 $$
  
  $$u_0 = 1 $$
  
  La relation est bien vérifiée pour le premier terme $u_0$.
2. Hérédité : en supposant $(P_n)$ vraie pour un rang $n \geqslant 0$, calculer $u_{n+1}$ avec la relation de récurrence, et montrer qu'on retrouve $(P_{n+1})$.
  
  À partir de la proposition $(P_n)$ suivante supposée vraie :
  
  $$ \forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = 4^n - n \hspace{2em} (P_{n}) $$
  
  On cherche à montrer qu'elle est vraie au rang suivant :
  
  $$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_{n+1} = 4^{n+1} - (n+1) \hspace{2em} (P_{n+1}) $$
  
  Alors, vérifions que cela correspond bien à notre expression de départ, en y injectant la valeur $(u_n)$ :
  
  $$ u_{n+1} = 4\textcolor{rgb(163 96 190)}{u_n} + 3n - 1 $$
  
  $$ u_{n+1} = 4\textcolor{rgb(163 96 190)}{(4^n - n)} + 3n - 1 $$
  
  $$ u_{n+1} = 4^{n+1} -4n + 3n - 1 $$
  
  $$ u_{n+1} = 4^{n+1} - n - 1 $$
  
  $$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_{n+1} = 4^{n+1} - (n+1) \hspace{2em} (P_{n+1}) $$
3. Conclure.
  
  La forme de $u_n$ est vraie pour le premier terme $u_0$, et est bien héréditaire de proche en proche.
  
  Alors, on a montré que la suite $(u_n)$ admet bien une relation de récurrence.
Avec la nouvelle formule pour $(u_n)$, recalculer les termes de la suite avec cette nouvelle formule, et comparer avec les résultats précédents, afin de valider ou d'invalider le modèle.

On recalcule toutes les valeurs avec la formule explicite.

$$ \forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = 4^n - n $$

Pour $u_0$ :

$$ u_0 = 4^0 - 0 $$

$$ u_ 0 = 1 $$

Pour $u_1$ :

$$ u_1 = 4^1 - 1 $$

$$ u_1 = 4 - 1 $$

$$ u_1 = 3 $$

Pour $u_2$ :

$$ u_2 = 4^2 - 2 $$

$$ u_2 = 16 - 2 $$

$$ u_2 = 14 $$

Pour $u_3$ :

$$ u_3 = 4^3 - 3 $$

$$ u_3 = 64 - 3 $$

$$ u_3 = 61 $$

Toutes les valeurs collent bien à l'expression explicite de la suite $(u_n)$.

Suite récurrente périodique

Soit la suite $(u_n)_{n \geqslant 0} $, définie de manière récurrente par :

$$ \forall n \geqslant 0, \hspace{1em} \Biggl \{ \begin{gather*} u_{n+1} = -u_n + 6 \\ u_0 = 1 \end{gather*} $$

Calculer les trois prochains termes la suite $(u_n)$.

$$ u_{0+1} = -u_0 +6 $$

$$ u_1 = -1 + 6 $$

$$u_1 = 5 $$

$$ u_{1+1} = -u_1 + 6 $$

$$ u_2 = -5 + 6 $$

$$u_2 = 1 $$

$$ u_{2+1} = -u_2 + 6 $$

$$ u_3 = -1 + 6 $$

$$u_3 = 5 $$
Conjecturer sur les valeurs des termes de rang pair et impair : $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$.

On peut conjecturer que :

$$\forall n \geqslant 0, \hspace{1em} \Biggl \{ \begin{gather*} u_{2n} = 1 \\ u_{2n + 1} = 5 \end{gather*} $$
Démontrer que la suite $(u_n)$ est périodique, telle que :

$$ \forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_{n+2} = u_n $$

À partir de l'expression de départ de $(u_{n+1})$:

$$ u_{n+1} = -u_n + 6 $$

On calcule l'expression de $(u_{n+2})$ :

$$ u_{n+2} = -u_{n+1} + 6 $$

$$ u_{n+2} = -(-u_n + 6) + 6 $$

$$ u_{n+2} = u_n - 6 + 6 $$

$$u_{n+2} = u_n $$
On suppose que la suite $(u_n)$ est de la forme :

$$ \forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = \alpha \ \cos \left(\pi n \right) + \beta \hspace{2em} \left( \text{avec} \ (\alpha, \beta) \in \hspace{0.01em} \mathbb{R}^2 \right) $$

Trouver les valeurs des deux coefficients $(\alpha, \beta)$, et en déduire l'expression de $(u_n)$.
1. À l'aide de $u_0$, établir une équation vérifiée par $\alpha$ et $\beta$.
  
  $$ u_0 = \alpha \ \cos \left(\pi \times 0 \right) + \beta $$
  
  $$ u_0 = \alpha \ \cos \left(0 \right) + \beta $$
  
  $$ u_0 = \alpha \times 1 + \beta $$
  
  Or on sait que :
  
  $$ u_0 = 1 $$
  
  Donc,
  
  $$ \alpha + \beta = 1 $$
2. À l'aide de $u_1$, établir une seconde équation.
  
  Ensuite, on sait que pour le prochain terme :
  
  $$ u_1 = \alpha \ \cos \left(\pi \times 1 \right) + \beta $$
  
  $$ u_1 = \alpha \ \cos \left(\pi \right) + \beta $$
  
  $$ u_1 = -\alpha + \beta $$
  
  Or on sait que :
  
  $$ u_1 = 5 $$
  
  Alors,
  
  $$ -\alpha + \beta = 5 $$
3. Résoudre le système obtenu, puis donner l'expression de $(u_n)$.
  
  On obtient alors un système à deux inconnues :
  
  $$ \Biggl \{ \begin{gather*} \alpha + \beta = 1 \hspace{0.4em} \hspace{2em}(L_1) \\ -\alpha + \beta = 5 \hspace{2em}(L_2) \end{gather*} $$
  
  On effectue l'opération $ (L_1) + (L_2)$ pour isoler $\beta$ :
  
  $$ \alpha + \beta + (-\alpha + \beta) = 5 + 1 $$
  
  $$ \alpha + \beta -\alpha + \beta = 6 $$
  
  $$ 2 \beta = 6 $$
  
  $$ \beta = \frac{6}{2} $$
  
  $$\beta = 3 $$
  
  Maintenant, à partir de $(L_1)$, on détermine $\alpha$ :
  
  $$ \alpha + \beta = 1 \hspace{0.4em} \hspace{2em}(L_1) $$
  
  Soit,
  
  $$ \alpha + 3= 1 $$
  
  $$ \alpha = 1 - 3 $$
  
  $$\alpha = -2 $$
  
  On a alors trouvée les deux coefficients :
  
  $$ \Bigl \{ \alpha = -2 , \ \beta = 3\Bigr \} $$
  
  On a donc comme expression pour $(u_n) $
  
  $$\forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = -2 \ \cos \left(\pi n \right) + 3 $$
Avec la nouvelle formule pour $(u_n)$, recalculer les termes de la suite avec cette nouvelle formule, et comparer avec les résultats précédents, afin de valider ou d'invalider le modèle.

On recalcule toutes les valeurs avec la formule explicite.

$$ \forall n \geqslant 0, \hspace{2em} u_n = -2 \ \cos \left(\pi n \right) + 3 $$

Pour $u_0$ :

$$ u_0 = -2 \ \cos \left(\pi \times 0 \right) + 3 $$

$$ u_0 = -2 \ \cos \left(0 \right) + 3 $$

$$ u_0 = -2 + 3 $$

$$ u_ 0 = 1 $$

Pour $u_1$ :

$$ u_1 = -2 \ \cos \left(\pi \times 1 \right) + 3 $$

$$ u_1 = -2 \ \cos \left(\pi \right) + 3 $$

$$ u_1 = 2 + 3 $$

$$ u_1 = 3 $$

Pour $u_2$ :

$$ u_2 = -2 \ \cos \left(\pi \times 2 \right) + 3 $$

$$ u_2 = -2 \ \cos \left(2\pi \right) + 3 $$

$$ u_2 = -2 + 3 $$

$$ u_2 = 1 $$

Pour $u_3$ :

$$ u_3 = -2 \ \cos \left(\pi \times 3 \right) + 3 $$

$$ u_3 = -2 \ \cos \left(3\pi \right) + 3 $$

$$ u_3 = 2 + 3 $$

$$ u_3 = 5 $$

Toutes les valeurs collent bien à l'expression explicite de la suite $(u_n)$.

Ce que décide le premier terme

Soit la fonction $f$ définie sur $\bigl[ 0 \ ; \ + \infty \bigr[$ et la suite $(u_n)$ qu'elle engendre :

$$ f(x) = \frac{x^2 + 6}{5} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} u_{n+1} = f \bigl( u_n \bigr) $$

Le premier terme $u_0$ est un réel positif que l'on choisit. Selon ce choix, la suite monte, descend, stagne ou s'envole : il s'agit de dresser la liste complète des comportements possibles.

Déterminer tous les points fixes de $f$ sur $\bigl[ 0 \ ; \ + \infty \bigr[$, puis étudier le signe de $f(x) - x$.

$$ f(x) = x \quad \Longleftrightarrow \quad x^2 + 6 = 5x \quad \Longleftrightarrow \quad x^2 - 5x + 6 = 0 $$

$$ \Delta = 25 - 24 = 1 \hspace{2em} x = 2 \quad \text{ou} \quad x = 3 $$

$$ \text{deux points fixes :} \ 2 \ \text{et} \ 3 $$

Le même trinôme donne le signe de la différence :

$$ f(x) - x = \frac{x^2 - 5x + 6}{5} = \frac{(x - 2)(x - 3)}{5} $$

$$ f(x) > x \ \text{sur} \ \bigl[ 0 \ ; \ 2 \bigr[ \ \text{et sur} \ \bigl] 3 \ ; \ + \infty \bigr[ \text{, et} \ f(x) < x \ \text{sur} \ \bigl] 2 \ ; \ 3 \bigr[ $$
On prend $u_0 = 1$. Démontrer par récurrence que $0 \leqslant u_n < 2$ pour tout $n$, puis déterminer la limite de la suite.

Initialisation. $u_0 = 1$, donc $0 \leqslant u_0 < 2$.

Hérédité. Supposons $0 \leqslant u_n < 2$. La fonction $f$ est croissante sur $\bigl[ 0 \ ; \ + \infty \bigr[$, puisque $f'(x) = \frac{2x}{5} \geqslant 0$. En appliquant $f$ à l'encadrement :

$$ f(0) \leqslant u_{n+1} < f(2) \hspace{2em} \text{c'est-à-dire} \hspace{2em} \frac{6}{5} \leqslant u_{n+1} < 2 $$

A fortiori $0 \leqslant u_{n+1} < 2$ : la propriété est héréditaire, et vraie à tout rang.

Comme $u_n < 2$, la première question donne $f(u_n) > u_n$, c'est-à-dire $u_{n+1} > u_n$ : la suite est croissante.

$$ \text{croissante et majorée par} \ 2 \text{, donc convergente} $$

Sa limite $\ell$ appartient à $\bigl[ 1 \ ; \ 2 \bigr]$, et $f$ étant continue, $\ell$ vérifie $\ell = f(\ell)$ : c'est un point fixe. Or $3$ n'est pas dans cet intervalle.

$$ \lim\limits_{n \to + \infty} u_n = 2 $$
On prend $u_0 = 3.5$. Démontrer que la suite est croissante, puis qu'elle ne converge pas.

Une récurrence identique, appuyée sur la croissance de $f$ et sur $f(3.5) = \frac{18.25}{5} = 3.65 > 3.5$, donne $u_n \geqslant 3.5$ pour tout $n$.

Comme $u_n > 3$, la première question donne $u_{n+1} > u_n$ : la suite est croissante.

Supposons qu'elle converge vers un réel $\ell$. Étant croissante à partir de $3.5$, on aurait $\ell \geqslant 3.5$. Mais $f$ est continue, donc $\ell$ serait un point fixe : or les seuls sont $2$ et $3$, tous deux inférieurs à $3.5$.

$$ \text{contradiction : la suite croissante ne converge pas, donc} \ \lim\limits_{n \to + \infty} u_n = + \infty $$

Dresser la liste complète des comportements de $(u_n)$ selon le réel positif $u_0$.

Les deux points fixes découpent $\bigl[ 0 \ ; \ + \infty \bigr[$ en cinq cas, et il n'y en a pas d'autre.

$$ u_0 $$	$$ \text{sens de variation} $$	$$ \text{limite} $$
$$ \bigl[ 0 \ ; \ 2 \bigr[ $$	$$ \text{croissante} $$	$$ 2 $$
$$ u_0 = 2 $$	$$ \text{constante} $$	$$ 2 $$
$$ \bigl] 2 \ ; \ 3 \bigr[ $$	$$ \text{décroissante} $$	$$ 2 $$
$$ u_0 = 3 $$	$$ \text{constante} $$	$$ 3 $$
$$ \bigl] 3 \ ; \ + \infty \bigr[ $$	$$ \text{croissante} $$	$$ + \infty $$

comportement de $(u_n)$ selon son premier terme

$$ 2 \ \text{attire, } 3 \ \text{sépare} $$

Des deux points fixes, l'un ramasse tout ce qui est en dessous de $3$, l'autre ne retient que lui-même. Le nombre $3$ est la frontière : à un millième près en dessous, la suite descend vers $2$ ; à un millième au-dessus, elle part à l'infini.

La récurrence qui déraille

Au tableau, une même suite et quatre affirmations, chacune présentée comme démontrée :

$$ u_0 = 1 \hspace{2em} u_{n+1} = 2 \, u_n + 1 $$

« Pour tout $n$, $u_n = 2^{\, n} - 1$ : c'est héréditaire, je l'ai vérifié. »
« Pour tout $n$, $u_n$ est impair. »
« Pour tout $n$, $u_n \geqslant 2^{\, n}$. »
« La limite $\ell$ vérifie $\ell = 2 \ell + 1$, donc la suite converge vers $- 1$. »

Il s'agit de trancher pour chacune.

Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.

$$ u_1 = 2 \times 1 + 1 = 3 \hspace{2em} u_2 = 7 \hspace{2em} u_3 = 15 $$
Trancher pour les affirmations (a) et (b).

(a). L'hérédité est correcte : si $u_n = 2^{\, n} - 1$, alors $u_{n+1} = 2 \left( 2^{\, n} - 1 \right) + 1 = 2^{\, n+1} - 1$, qui est bien la formule au rang suivant.

Mais l'initialisation est fausse : $2^{\, 0} - 1 = 0$, alors que $u_0 = 1$. Et la formule l'est aussi :

$$ u_1 = 3 \hspace{2em} \text{alors que} \hspace{2em} 2^{\, 1} - 1 = 1 $$

$$ \text{(a) est fausse : l'hérédité seule ne démontre rien} $$

Une propriété héréditaire fausse au départ reste héréditaire, et reste fausse à tous les rangs. C'est le cas ici : aucun terme ne vaut $2^{\, n} - 1$.

(b). Initialisation : $u_0 = 1$ est impair. Hérédité : si $u_n = 2k + 1$ avec $k$ entier, alors $u_{n+1} = 4k + 3 = 2(2k + 1) + 1$, impair.

$$ \text{(b) est démontrée} $$
Trancher pour les affirmations (c) et (d).

(c). Initialisation : $u_0 = 1 = 2^{\, 0}$. Hérédité : si $u_n \geqslant 2^{\, n}$, alors :

$$ u_{n+1} = 2 \, u_n + 1 \geqslant 2 \times 2^{\, n} + 1 > 2^{\, n+1} $$

$$ \text{(c) est démontrée} $$

(d). Le calcul est juste - si la suite converge, sa limite vérifie cette équation. Mais cette convergence n'a pas été établie, et l'affirmation (c) montre qu'elle est fausse : $u_n \geqslant 2^{\, n}$, donc par comparaison la suite tend vers $+ \infty$.

$$ \text{(d) est fausse : elle suppose ce qu'elle devrait démontrer} $$

Le $- 1$ obtenu n'est pas un hasard pour autant : c'est le point fixe de $x \mapsto 2x + 1$, la seule limite possible - si limite il y avait.
Établir l'expression exacte de $u_n$, et dire en une phrase ce que chacune des deux affirmations fausses avait oublié.

On pose $v_n = u_n + 1$, le $1$ étant l'opposé du point fixe trouvé en (d) :

$$ v_{n+1} = u_{n+1} + 1 = 2 \, u_n + 2 = 2 \bigl( u_n + 1 \bigr) = 2 \, v_n $$

$(v_n)$ est géométrique de raison $2$, avec $v_0 = 2$, donc $v_n = 2^{\, n+1}$ :

$$ u_n = 2^{\, n+1} - 1 $$

Vérification : $u_3 = 2^4 - 1 = 15$.

L'affirmation (a) avait oublié l'initialisation, et son auteur était à un rang près : la bonne formule est celle de (a), décalée d'un cran.

L'affirmation (d) avait oublié que l'équation du point fixe ne donne la limite qu'une fois la convergence acquise. Une seule des deux erreurs se voit en lisant la démonstration ; l'autre se voit en lisant son énoncé.