Sommes, produits, quotients, composées : chaque façon de construire une fonction a sa règle de dérivation.
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Dériver une combinaison linéaire de fonctions
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Dériver un produit de deux fonctions
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Dériver l'inverse d'une fonction et le quotient de deux fonctions
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Dériver une fonction composée à l'aide du tableau récapitulatif
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Démontrer ces formules à partir de la définition de la dérivée
Le chiffre d'affaires d'un commerce est le produit du prix par la quantité vendue. Baisser le prix fait vendre plus :
les deux facteurs varient en même temps.
$$ (uv)' = u'v + uv' $$
La variation du produit ne se déduit pas des deux variations prises séparément : chaque facteur joue à son tour.
Dériver un produit, ce n'est pas multiplier les dérivées : chacun varie pendant que l'autre reste.
Soient par défaut deux fonctions \( f, g \), dépendantes de la variable \( x \) telles que :
$$ \Biggl \{ \begin{gather*} \forall x \in D_f, \enspace f: x \longmapsto f(x) \\ \forall x \in D_g, \enspace g: x \longmapsto g(x) \end{gather*} $$
Opérations élémentaires
Fonction multipliée par une constante : \( (\lambda f )' \)
Lorsqu'on dérive une fonction multipliée par une constante \( \lambda \in \mathbb{R} \), on peut sortir celle-ci et dériver la fonction à part.
$$ \forall f, \ \forall \lambda \in \mathbb{R},$$
$$ (\lambda f)' = \lambda f' $$
Fonction multipliée par une constante : \( (\lambda f )' \)
Soit \( \lambda \in \mathbb{R} \) un réel quelconque.
Avec
la définition de la dérivée, on a :
$$ (\lambda f)' = \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{\lambda f(x+h) - \lambda f(x)}{h} $$
On peut factoriser par \( \lambda \):
$$ (\lambda f)' = \lim_{h \to 0 } \enspace \lambda\frac{ f(x+h) - f(x)}{h} $$
Or, on sait grâce aux formules des limites que :
$$ lim (\lambda f) = \lambda lim (f)$$
Soit :
$$ \forall f, \ \forall \lambda \in \mathbb{R},$$
$$ (\lambda f)' = \lambda f'$$
Somme de deux fonctions : \( (f+g )' \)
$$ \forall (f,g),$$
$$ \bigl( f + g \bigr)' = f' + g' $$
De la même manière,
$$ \forall (f,g),$$
$$ \bigl( f - g \bigr)' = f' - g' $$
Somme de deux fonctions : \( (f+g )' \)
Avec
la définition de la dérivée, on a :
$$ ( f+ g)'(x) = \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ f(x+h) + g(x+h) - (f(x) + g(x))}{h} $$
$$ ( f+ g)'(x) = \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ f(x+h) + g(x+h) - f(x) - g(x)}{h} $$
La limite d'une somme étant la somme des limites :
$$ lim (f+g) = lim (f) + lim (g) $$
$$ ( f+ g)'(x) = \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ f(x+h) - f(x)}{h} + \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{g(x+h) - g(x)}{h} $$
$$ \forall (f,g),$$
$$ \bigl( f + g \bigr)' = f' + g'$$
De la même manière, une différence étant la somme d'un élément négatif, il s'en suit que :
$$ \bigl( f - g \bigr)' = f' - g' $$
Combinaison linéaire de deux fonctions : \( (\lambda f+ \mu g )' \)
$$ \forall (f,g), \ \forall (\lambda, \mu) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2 $$
$$ (\lambda f+ \mu g )' = \lambda f'+ \mu g' $$
La dérivée d'une combinaison linéaire de fonctions est la combinaison linéaire de chaque fonction dérivée.
Produit de deux fonctions : \( (fg )' \)
$$ \forall (f,g),$$
$$ \left ( f g \right)' = f'g + g'f $$
Produit de deux fonctions : \( (fg )' \)
Avec
la définition de la dérivée, on a :
$$ \left ( fg \right)'(x) = \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ f(x+h)g(x+h) - fg}{h} $$
Ajoutons le terme \( f(x + h)g(x) \), puis retirons le aussitôt, afin de conserver l'intégrité de notre expression initiale :
$$ \left ( fg \right)'(x) = \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ f(x+h)g(x+h) + f(x + h)g(x) - f(x + h)g(x) - fg}{h} $$
On factorise par \( f(x + h) \) et \( g(x) \) :
$$ \left ( fg \right)'(x) = \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ g(x)(f(x + h) - f(x))}{h} \ + \ \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ f(x+h)(g(x+h) - g(x))}{h} $$
La limite d'un produit étant le produit des limites :
$$ lim (fg) = lim (f) \ lim(g)$$
On a à présent :
$$ \left ( fg \right)'(x) = \lim_{h \to 0 } \enspace g(x) . \left( \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ f(x+h) - f(x)}{h} \right) \ + \ \lim_{h \to 0 } \enspace f(x+h) \left( \lim_{h \to 0 }
\enspace \frac{ g(x+h) - g(x)}{h} \right) $$
Et finalement,
$$ \forall (f,g),$$
$$ \left ( f g\right)' = f'g + g'f $$
Inverse de fonction : \( (1 / g )' \)
$$ \forall g \neq 0, $$
$$ \left ( 1 \over g \right)' = \frac{g'}{g^2} $$
Inverse de fonction : \( (1 / g )' \)
Avec
la définition de la dérivée, on a :
$$ \left ( 1 \over g \right)'(x) = \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ \frac{1}{g(x+h)} - \frac{1}{g(x)} }{h} $$
Mettons le numérateur au même dénominateur.
$$ \left ( 1 \over g \right)'(x) = \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{1}{h} . \frac{ g(x) - g(x +h) }{g(x +h)g(x)} $$
$$ \left ( 1 \over g \right)'(x) = \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{g(x) - g(x +h)}{h} . \frac{ 1 }{g(x +h)g(x)} $$
On reconnaît
la définition de la dérivée
de \(g \) :
$$ \left ( 1 \over g \right)'(x) = \lim_{h \to 0 } \enspace - \frac{g(x +h)- g(x) }{h} . \frac{ 1 }{g(x +h)g(x)} $$
$$ \left ( 1 \over g \right)'(x) = - g'(x) . \frac{ 1 }{g(x)^2} $$
Et finalement,
$$ \forall g \neq 0, $$
$$ \left ( 1 \over g \right)' = -\frac{ g' }{g^2}$$
Quotient de deux fonctions : \( (f / g )' \)
$$ \forall (f,g), \ g \neq 0, $$
$$ \left ( f \over g \right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2} $$
Quotient de deux fonctions : \( (f / g )' \)
Avec
la définition de la dérivée, on a :
$$ \left ( f \over g \right)'(x) = \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ \frac{f(x+h)}{g(x+h)} - \frac{f(x)}{g(x)} }{h} $$
On met le numérateur sous le même dénominateur :
$$ \left ( f \over g \right)'(x) = \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ f(x+h)g(x) - f(x)g(x+h) }{h.g(x).g(x+h)} $$
Ajoutons le terme \( f(x)g(x) \), puis retirons le aussitôt, afin de conserver l'intégrité de notre expression.
$$ \left ( f \over g \right)'(x) = \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ f(x+h)g(x) - f(x)g(x+h) + f(x)g(x) - f(x)g(x)}{h.g(x).g(x+h)} $$
On factorise par \( f(x) \) et \( g(x) \) :
$$ \left ( f \over g \right)'(x) = \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ g(x).\Bigl[f(x+h) - f(x)\Bigr] - f(x)\Bigl[g(x + h) - g(x)\Bigr]}{h.g(x).g(x+h)} $$
À présent, séparons notre équation en deux parties distinctes :
$$ \left ( f \over g \right)'(x) = \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{1}{g(x).g(x+h)} \enspace . \biggl[ \lim_{h \to 0 } \enspace \biggl( \frac{ g(x).\left(f(x+h) - f(x)\right)}{h} - \frac{
f(x)\left(g(x + h) - g(x)\right)}{h} \biggr) \Biggr] $$
La limite d'une différence étant la différence des limites :
$$ lim (f-g) = lim (f)-lim (g) $$
Dans l'expression entre crochets on obtient :
$$ \left ( f \over g \right)'(x) = \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{1}{g(x).g(x+h)} \enspace . \biggl[ \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{ g(x).\left(f(x+h) - f(x)\right)}{h} - \lim_{h \to 0 }
\enspace \frac{f(x)\left(g(x + h) - g(x)\right)}{h} \Biggr] $$
De même, la limite d'un produit est le produit des limites :
$$ lim (fg) = lim (f) \ lim (g) $$
$$ \left ( f \over g \right)'(x) = \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{1}{g(x).g(x+h)} \enspace . \biggl[ \Bigl( \lim_{h \to 0 } \enspace g(x) \Bigr). \lim_{h \to 0 } \enspace \Biggl( \frac{
f(x+h) - f(x)}{h}\Biggr) - \Bigl( \lim_{h \to 0 } \enspace f(x) \Bigr).\lim_{h \to 0 } \enspace \Biggl( \frac{g(x + h) - g(x)}{h} \Biggr) \Biggr] $$
Enfin, en appliquant la limite on obtient :
$$ \left ( f \over g \right)'(x) = \frac{1}{g(x)^2} \enspace . \biggl( g(x).f'(x) - f(x).g'(x) \biggr) $$
Soit finalement,
$$ \forall (f,g), \ g \neq 0, $$
$$ \left ( f \over g \right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2} $$
Compositions de fonctions
Composée de deux fonctions : \( (f \circ g )' \)
Soit deux fonctions \( f, g \).
$$ g : I \longmapsto J , \enspace x \longmapsto g(x) $$
$$ f : J \longmapsto K, \enspace y = g(x) \longmapsto f(y) = f \left(g(x)\right) $$
On définit une fonction composée \( (f \circ g) \) comme :
$$ (f \circ g)(x) = f \left(g(x)\right) $$
Elle admet comme dérivée :
$$ \forall (f,g),$$
$$ (f \circ g)' = g'(f' \circ g) $$
Soit :
$$ (f \circ g)' = g'.f' \left(g\right) $$
On appelle cela aussi une dérivation en chaîne.
Composée de deux fonctions : \( (f \circ g )' \)
Soit deux fonctions \( f, g \).
$$ g : I \longmapsto J , \enspace x \longmapsto g(x) $$
$$ f : J \longmapsto K, \enspace y = g(x) \longmapsto f(y) = f \left(g(x)\right) $$
On définit une fonction composée \( (f \circ g) \) comme :
$$ (f \circ g)(x) = f \left(g(x)\right) $$
Avec
la définition de la dérivée, on a :
$$ (f \circ g)'(x) = \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{(f \circ g)(x + h) - (f \circ g)(x)}{h} $$
$$ (f \circ g)'(x) = \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{f\bigl(g(x + h) \bigr)- f\bigl(g(x)\bigr)}{h} $$
On multiplie maintenant par un quotient égal à \(1\), ce qui ne change rien :
$$ (f \circ g)'(x) = \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{f\bigl(g(x + h) \bigr)- f\bigl(g(x)\bigr)}{h} . \frac{g(x+ h) - g(x)}{g(x+ h) - g(x)} $$
$$ (f \circ g)'(x) = \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{f\bigl(g(x + h) \bigr)- f\bigl(g(x)\bigr)}{g(x+ h) - g(x)} . \frac{g(x+ h) - g(x)}{h} $$
La limite d'un produit est le produit des limites :
$$ lim (fg) = lim (f) \ lim (g) $$
On peut écrire :
$$ (f \circ g)'(x) = \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{f(g(x + h))- f\bigl(g(x)\bigr)}{g(x+ h) - g(x)} . \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{g(x+ h) - g(x)}{h} $$
En utilisant le changement de variable :
$$ g(x + h) - g(x) = H $$
Lorsque \( h \to 0 \), alors \( H \to 0 \).
De même, on a considéré plus haut que :
$$ g(x) = y $$
Alors,
$$ (f \circ g)'(x) = \lim_{H \to 0 } \enspace \frac{f(y + H) - f(y)}{H} . \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{g(x+ h) - g(x)}{h} $$
$$ (f \circ g)'(x) = f' \left(y\right) . g'(x) $$
$$ (f \circ g)'(x) = f' \bigl(g(x)\bigr) . g'(x) $$
Soit finalement,
$$ \forall (f,g),$$
$$ (f \circ g)' = g'(f' \circ g) $$
Ceci est un tableau récapitulatif des fonctions composées de type \(f(u(x))\).
$$x \longmapsto u(x) \longmapsto f(u(x))$$
Dans tous ces différents cas, il faudra selon la fonction intermédiaire \(u\), restreindre le domaine de définition de \(f(u)\) au plus à celle de \(u\).
$$ \underline{\text{condition}} $$ |
$$ \underline{\text{fonction composée}} $$ |
$$ \underline{\text{dérivée}} $$ |
$$ \forall u \in \mathbb{R} $$ |
$$ f(u) = u^2 $$ |
$$ f'(u) = u' \times 2u $$ |
|
$$ \forall u \in \hspace{0.03em}\mathcal{D}_{f} $$
|
$$ f(u) = u^n $$ |
$$ f'(u) = u' \times nu^{n-1} $$ |
|
$$ \biggl(\text{avec} \hspace{0.4em} \mathcal{D}_{f} \hspace{0.05em} = \Bigl \{ \hspace{0.05em} \text{lorsque} \ u \text{ et } n \ \text{sont tous deux définis} \Bigr \} \biggr) $$
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$$ \forall u \in \hspace{0.03em}\mathcal{D}_{f} $$ |
$$ f(u) = n^u $$ |
$$ f'(u) = u' \times \ln(n)n^u $$ |
|
$$ \biggl(\text{avec} \hspace{0.4em} \mathcal{D}_{f} \hspace{0.05em} = \Bigl \{ \hspace{0.05em} \forall u \in \mathbb{R}, \enspace \forall n \in \mathbb{R_+^*} \Bigr \} \biggr) $$
|
$$ \forall u \in \hspace{0.05em} \mathbb{R^+}$$ |
$$ f(u) = \sqrt{u} $$ |
$$ f'(u) = \frac{u'}{2\sqrt{u}} $$ |
$$ \forall u \in \hspace{0.05em} \mathbb{R^*}$$ |
$$ f(u) = \frac{1}{u} $$ |
$$ f'(u) = - \frac{u'}{u^2} $$ |
$$ \forall u \in \mathbb{R}$$ |
$$ f(u) = e^u $$ |
$$ f'(u) = u' \times e^u $$ |
$$ \forall u \in \mathbb{R^*_+}$$ |
$$ f(u) = \ln(u) $$ |
$$ f'(u) = \frac{u'}{u} $$ |
$$ \forall u \in \mathbb{R^*}$$ |
$$ f(u) = \ln|u| $$ |
$$ f'(u) = \frac{u'}{u} $$ |
$$ \forall u \in \hspace{0.03em}\mathcal{D}_{f} $$ |
$$ f(u) = log_n{(u)} $$ |
$$ f'(u) = \frac{u'}{u} \frac{1}{\ln(n)} $$ |
|
$$ \biggl(\text{avec} \hspace{0.4em} \mathcal{D}_{f} \hspace{0.05em} = \Bigl \{ \hspace{0.05em} \forall u \in \mathbb{R_+^*}, \enspace \forall n \in \mathbb{R^*_+} \Bigr \} \biggr) $$
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$$ \forall u \in \mathbb{R}$$ |
$$ f(u) = \sin(u) $$ |
$$ f'(u) = u' \times \cos(u) $$ |
$$ \forall u \in \mathbb{R}$$ |
$$ f(u) = \cos(u) $$ |
$$ f'(u) = -u' \times \sin(u) $$ |
$$ \forall u \in \hspace{0.03em}\mathcal{D}_{f} $$ |
$$ f(u) = \tan(u) $$ |
$$ f'(u) = -u' \times (1 + \tan^2(u)) $$ |
|
$$ \Biggl(\text{avec} \hspace{0.4em} \mathcal{D}_{f} \hspace{0.05em} = \biggl \{ \hspace{0.05em} \forall k \in \mathbb{Z}, \enspace \forall u \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash
\Bigl\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \Bigr\} \Bigr] \biggr \} \Biggr) $$
|
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