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Soient par défaut deux fonctions \( f, g \), dépendantes de la variable \( x \) telles que :
$$ \Biggl \{ \begin{gather*} \forall x \in D_f, \enspace f: x \longmapsto f(x) \\ \forall x \in D_g, \enspace g: x \longmapsto g(x) \end{gather*} $$
Lorsqu'on dérive une fonction multipliée par une constante \( \lambda \in \mathbb{R} \), on peut sortir celle-ci et dériver la fonction à part.
Fonction multipliée par une constante : \( (\lambda f )' \)
Soit \( \lambda \in \mathbb{R} \) un réel quelconque.
Avec la définition de la dérivée, on a :
On peut factoriser par \( \lambda \):
Or, on sait grâce aux formules des limites que :
Soit :
De la même manière,
Somme de deux fonctions : \( (f+g )' \)
Avec la définition de la dérivée, on a :
La limite d'une somme étant la somme des limites :
De la même manière, une différence étant la somme d'un élément négatif, il s'en suit que :
La dérivée d'une combinaison linéaire de fonctions est la combinaison linéaire de chaque fonction dérivée.
Combinaison linéaire de deux fonctions : \( (\lambda f+ \mu g )' \)
Avec la dérivée d'une fonction somme,
Enfin, avec la dérivée d'une fonction multipliée par une constante \( \lambda \), on peut directement conclure que:
Produit de deux fonctions : \( (fg )' \)
Avec la définition de la dérivée, on a :
Ajoutons le terme \( f(x + h)g(x) \), puis retirons le aussitôt, afin de conserver l'intégrité de notre expression initiale :
On factorise par \( f(x + h) \) et \( g(x) \) :
La limite d'un produit étant le produit des limites :
On a à présent :
Et finalement,
Inverse de fonction : \( (1 / g )' \)
Avec la définition de la dérivée, on a :
Mettons le numérateur au même dénominateur.
On reconnaît la définition de la dérivée de \(g \) :
Et finalement,
Quotient de deux fonctions : \( (f / g )' \)
Avec la définition de la dérivée, on a :
On met le numérateur sous le même dénominateur :
Ajoutons le terme \( f(x)g(x) \), puis retirons le aussitôt, afin de conserver l'intégrité de notre expression.
On factorise par \( f(x) \) et \( g(x) \) :
À présent, séparons notre équation en deux parties distinctes :
La limite d'une différence étant la différence des limites :
Dans l'expression entre crochets on obtient :
De même, la limite d'un produit est le produit des limites :
Enfin, en appliquant la limite on obtient :
Soit finalement,
Soit deux fonctions \( f, g \).
On définit une fonction composée \( (f \circ g) \) comme :
Elle admet comme dérivée :
Soit :
On appelle cela aussi une dérivation en chaîne.
Composée de deux fonctions : \( (f \circ g )' \)
Soit deux fonctions \( f, g \).
On définit une fonction composée \( (f \circ g) \) comme :
Avec la définition de la dérivée, on a :
On multiplie maintenant par un quotient égal à \(1\), ce qui ne change rien :
La limite d'un produit est le produit des limites :
On peut écrire :
En utilisant le changement de variable :
Lorsque \( h \to 0 \), alors \( H \to 0 \).
De même, on a considéré plus haut que :
Alors,
Soit finalement,
Ceci est un tableau récapitulatif des fonctions composées de type \(f(u(x))\).
Dans tous ces différents cas, il faudra selon la fonction intermédiaire \(u\), restreindre le domaine de définition de \(f(u)\) au plus à celle de \(u\).
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$$ \underline{condition} $$
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$$ \underline{fonction \ compos\textit{é}e} $$
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$$ \underline{d\textit{é}riv\textit{é}e} $$
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|---|---|---|---|
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$$ \forall u \in \mathbb{R} $$
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$$ f(u) = u^2 $$
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$$ f'(u) = u' \times 2u $$
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$$ \forall u \in \hspace{0.03em}\mathcal{D}_{f} $$
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$$ f(u) = u^n $$
|
$$ f'(u) = u' \times nu^{n-1} $$
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$$ \biggl(avec \hspace{0.4em} \mathcal{D}_{f} \hspace{0.05em} = \Bigl \{ \hspace{0.05em} lorsque \ u \ et \ n \ sont \ tous \ deux \ d\textit{é}finis \Bigr \} \biggr) $$
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|||
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$$ \forall u \in \hspace{0.03em}\mathcal{D}_{f} $$
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$$ f(u) = n^u $$
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$$ f'(u) = u' \times ln(n)n^u $$
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$$ \biggl(avec \hspace{0.4em} \mathcal{D}_{f} \hspace{0.05em} = \Bigl \{ \hspace{0.05em} \forall u \in \mathbb{R}, \enspace \forall n \in \mathbb{R_+^*} \Bigr \} \biggr) $$
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$$ \forall u \in \hspace{0.05em} \mathbb{R^+}$$
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$$ f(u) = \sqrt{u} $$
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$$ f'(u) = \frac{u'}{2\sqrt{u}} $$
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$$ \forall u \in \hspace{0.05em} \mathbb{R^*}$$
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$$ f(u) = \frac{1}{u} $$
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$$ f'(u) = - \frac{u'}{u^2} $$
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|
$$ \forall u \in \mathbb{R}$$
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$$ f(u) = e^u $$
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$$ f'(u) = u' \times e^u $$
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$$ \forall u \in \mathbb{R^*_+}$$
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$$ f(u) = ln(u) $$
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$$ f'(u) = \frac{u'}{u} $$
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$$ \forall u \in \mathbb{R^*}$$
|
$$ f(u) = ln|u| $$
|
$$ f'(u) = \frac{u'}{u} $$
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$$ \forall u \in \hspace{0.03em}\mathcal{D}_{f} $$
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$$ f(u) = log_n{(u)} $$
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$$ f'(u) = \frac{u'}{u} \frac{1}{ln(n)} $$
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$$ \biggl(avec \hspace{0.4em} \mathcal{D}_{f} \hspace{0.05em} = \Bigl \{ \hspace{0.05em} \forall u \in \mathbb{R_+^*}, \enspace \forall n \in \mathbb{R^*_+} \Bigr \} \biggr) $$
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$$ \forall u \in \mathbb{R}$$
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$$ f(u) = sin(u) $$
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$$ f'(u) = u' \times cos(u) $$
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$$ \forall u \in \mathbb{R}$$
|
$$ f(u) = cos(u) $$
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$$ f'(u) = -u' \times sin(u) $$
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$$ \forall u \in \hspace{0.03em}\mathcal{D}_{f} $$
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$$ f(u) = tan(u) $$
|
$$ f'(u) = -u' \times (1 + tan^2(u)) $$
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$$ \Biggl(avec \hspace{0.4em} \mathcal{D}_{f} \hspace{0.05em} = \biggl \{ \hspace{0.05em} \forall k \in \mathbb{Z}, \enspace \forall u \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \Bigl\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \Bigr\} \Bigr] \biggr \} \Biggr) $$
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