\(5 + 3\) donne \(28\)
\(9 + 1\) donne \(810\)
\(8 + 6\) donne \(214\)
\(5 + 4\) donne \(19\)
Trouver ce que donne \(7 + 3\).
\(7 + 3\) donne \(410\).
Chaque résultat écrit la différence des deux nombres, puis leur somme : \(5 - 3 = 2\) et \(5 + 3 = 8\) donnent \(28\). Pour \(7 + 3\) : \(7 - 3 = 4\) et \(7 + 3 = 10\).
Tracer cette maison sans lever le crayon et sans repasser sur un trait.
Il faut partir d'un coin du bas, et finir à l'autre.
Ces deux coins sont les seuls points où arrivent trois traits. Partout ailleurs, il en arrive deux ou quatre : chaque fois que le crayon entre dans un tel point, il peut en ressortir. Un point à trois traits, lui, ne peut être qu'un départ ou une arrivée.
Compter tous les carrés de cette figure, petits et grands.
La figure compte \(30\) carrés :
\(16\) carrés d'un carreau de côté ;
\(9\) carrés de deux carreaux de côté ;
\(4\) carrés de trois carreaux de côté ;
\(1\) carré de quatre carreaux de côté, la figure entière.
\(16 + 9 + 4 + 1 = 30\).
Un escargot est au fond d'un puits de \(10 \ \text{m}\). Chaque jour, il monte de \(3 \ \text{m}\) ; chaque nuit, il redescend de \(2 \ \text{m}\).
Trouver le jour où il sort du puits.
Il sort le huitième jour, et non le dixième.
Un jour et une nuit le font monter de \(3 - 2 = 1 \ \text{m}\) : au matin du huitième jour, il est à \(7 \ \text{m}\). Ce jour-là, il monte de \(3 \ \text{m}\) et atteint le bord, à \(10 \ \text{m}\), avant que la nuit ne le fasse glisser.
Un grand cube est peint en rouge sur toutes ses faces, puis découpé en \(27\) petits cubes.
Compter les petits cubes qui ont exactement deux faces rouges.
\(12\) petits cubes ont exactement deux faces rouges : un au milieu de chacune des \(12\) arêtes du grand cube.
Les autres se rangent ainsi :
les \(8\) coins ont trois faces rouges ;
les \(6\) centres de face en ont une ;
le cube du centre n'en a aucune.
\(8 + 12 + 6 + 1 = 27\) : le compte est bon.
Relier ces neuf points avec seulement quatre segments, sans lever le crayon.
Il faut sortir du carré que dessinent les points : deux des segments s'achèvent en dehors.
Sans sortir du carré, il faut cinq segments.
Compléter cette suite :
$$ 2 \quad 4 \quad 5 \quad 6 \quad 4 \quad 3 \quad 4 \quad 4 \quad ? $$Le nombre suivant est \(4\).
La suite cache les nombres de \(1\) à \(9\) : chacun est remplacé par le nombre de lettres de son écriture en toutes lettres. « Un » en a \(2\), « deux » \(4\), « trois » \(5\), et ainsi de suite jusqu'à « neuf », qui en a \(4\).
Cette égalité, écrite en allumettes, est fausse.
Déplacer une seule allumette pour la rendre juste.
La barre verticale du signe \(+\) passe en haut à droite du \(6\) : le \(+\) devient un \(-\), et le \(6\) un \(8\).
\(9 - 8 = 1\) : l'égalité est juste. Aucun autre déplacement d'une seule allumette ne convient.
Un nénuphar double de surface chaque jour. Il couvre tout l'étang au bout de \(30\) jours.
Trouver le jour où il en couvrait la moitié.
Il couvrait la moitié de l'étang le vingt-neuvième jour, et non le quinzième.
Sa surface double chaque jour : la veille, il couvrait la moitié de ce qu'il couvre le lendemain. La veille du trentième jour, il couvrait donc la moitié de l'étang.
Un tiroir contient \(10\) chaussettes noires et \(10\) chaussettes blanches, mélangées. Dans le noir, Lucas en prend au hasard.
Trouver combien il doit en prendre pour être sûr d'avoir deux chaussettes de la même couleur, puis deux chaussettes noires.
Il lui faut \(3\) chaussettes pour en avoir deux de la même couleur, et \(12\) pour en avoir deux noires.
Avec deux chaussettes, il peut tomber sur une noire et une blanche. La troisième est forcément de la couleur de l'une des deux premières.
Pour deux noires, il faut prévoir la pire malchance : les \(10\) blanches d'abord. Les deux suivantes sont alors noires : \(10 + 2 = 12\).
Les marches de cet escalier n'ont pas toutes la même taille.
Calculer son périmètre.
Le périmètre vaut \(28 \ \text{cm}\), quelles que soient les marches.
Glissées vers le haut, les marches, en rouge, recouvrent le côté du haut du rectangle : elles mesurent ensemble \(8 \ \text{cm}\). Glissées vers la droite, leurs hauteurs, en bleu, recouvrent le côté droit : \(6 \ \text{cm}\).
Le périmètre de l'escalier est donc celui du rectangle : \(2 \times (8 + 6) = 28 \ \text{cm}\).
Théo écrit tous les nombres entiers de \(1\) à \(100\).
Compter combien de fois il écrit le chiffre \(9\).
Théo écrit \(20\) fois le chiffre \(9\).
Au chiffre des unités : \(9\), \(19\), \(29\), et ainsi de suite jusqu'à \(99\), soit \(10\) fois.
Au chiffre des dizaines : de \(90\) à \(99\), soit \(10\) fois.
Le nombre \(99\) compte deux fois : il porte un \(9\) à chacune de ses deux places.
Une feuille carrée est pliée deux fois en deux. Dans le petit carré obtenu, on découpe un quart de disque au coin des deux plis, et on perce un petit trou.
Dessiner la feuille dépliée, puis compter ses trous.
La feuille dépliée compte \(5\) trous.
Chaque pli devient un axe de symétrie de la feuille dépliée. Le petit trou, percé dans quatre épaisseurs de papier, se retrouve dans chaque quart. Le quart de disque, découpé au coin où se croisent les deux plis, devient un seul disque, au centre.
Six amis se retrouvent : Anna, Bruno, Chloé, David, Emma et Félix. Chacun serre une fois la main de chacun des autres.
Compter les poignées de main.
Il y a \(15\) poignées de main.
Chacun des six amis serre \(5\) mains : cela fait \(6 \times 5 = 30\) mains serrées. Mais chaque poignée de main réunit deux personnes, et se compte ainsi deux fois : \(30 \div 2 = 15\).
Placer les nombres entiers de \(-4\) à \(4\), chacun une fois, pour que chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale ait pour somme \(0\).
La ligne du haut se complète d'abord : \(-3 + 2 + 1 = 0\). Le \(0\) va au centre : chaque alignement qui le traverse relie alors deux opposés, \(-3\) et \(3\), \(2\) et \(-2\), \(1\) et \(-1\). Il reste \(4\) et \(-4\) pour la ligne du milieu.
Une bouteille et son bouchon coûtent ensemble \(1.10 \ \text{€}\). La bouteille coûte \(1 \ \text{€}\) de plus que le bouchon.
Trouver le prix du bouchon.
Le bouchon coûte \(0.05 \ \text{€}\), et non \(0.10 \ \text{€}\) : avec un bouchon à \(0.10 \ \text{€}\), la bouteille coûterait \(1.10 \ \text{€}\), et les deux \(1.20 \ \text{€}\).
Sans l'euro d'écart, il reste \(1.10 - 1 = 0.10 \ \text{€}\) pour deux bouchons : un bouchon coûte \(0.05 \ \text{€}\), et la bouteille \(1.05 \ \text{€}\).
On dispose d'un robinet et de deux seaux sans graduations : l'un de \(3 \ \text{L}\), l'autre de \(5 \ \text{L}\).
Obtenir exactement \(4 \ \text{L}\) d'eau dans un seau.
Geste | \(3 \ \text{L}\) | \(5 \ \text{L}\) |
|---|---|---|
Remplir le seau de \(5 \ \text{L}\) | \(0\) | \(5\) |
Le verser dans celui de \(3 \ \text{L}\) | \(3\) | \(2\) |
Vider le seau de \(3 \ \text{L}\) | \(0\) | \(2\) |
Y verser les \(2 \ \text{L}\) restants | \(2\) | \(0\) |
Remplir le seau de \(5 \ \text{L}\) | \(2\) | \(5\) |
Compléter le seau de \(3 \ \text{L}\) | \(3\) | \(4\) |
Le seau de \(3 \ \text{L}\) n'avait de place que pour \(1 \ \text{L}\) : il en reste \(4 \ \text{L}\) dans celui de \(5 \ \text{L}\).
Calculer la somme des cinq angles marqués aux pointes de cette étoile, sans rapporteur.
La somme vaut \(180 \ [°]\), quelle que soit l'étoile.
Dans le triangle \(ACD\), la somme des angles vaut \(180 \ [°]\). Son angle en \(C\) se partage en la pointe \(C\) et l'angle \(\widehat{PCD}\) ; son angle en \(D\), en la pointe \(D\) et l'angle \(\widehat{PDC}\).
Les triangles \(PCD\) et \(PBE\) ont en \(P\) des angles opposés par le sommet, donc égaux : leurs deux autres angles ont la même somme. Ainsi \(\widehat{PCD} + \widehat{PDC}\) vaut la pointe \(B\) plus la pointe \(E\), et les cinq pointes réunies remplissent le triangle \(ACD\) : \(180 \ [°]\).
Un marchand lègue \(17\) chameaux à ses trois fils : la moitié à l'aîné, le tiers au cadet, le neuvième au benjamin. Aucun ne veut couper de chameau. Un voisin prête alors le sien, chaque fils repart avec sa part, et le voisin récupère son chameau.
Trouver la part de chaque fils, puis expliquer pourquoi un chameau reste.
Avec \(18\) chameaux, l'aîné en prend \(9\), le cadet \(6\), le benjamin \(2\). Cela fait \(17\) : le dix-huitième retourne au voisin.
Le testament ne partageait pas tout :
Il manquait \(\frac{1}{18}\) du troupeau, soit le chameau prêté.
\(2 + 2\) donne \(4\)
\(3 + 4\) donne \(11\)
\(5 + 6\) donne \(22\)
Trouver ce que donne \(7 + 8\).
\(7 + 8\) donne \(37\).
Chaque résultat ajoute la somme des deux nombres au résultat précédent :
Écrire chaque nombre entier de \(1\) à \(9\) avec exactement quatre chiffres 4, des opérations et des parenthèses.
Par exemple : \(0 = 4 + 4 - 4 - 4\).
Une écriture possible pour chacun, en respectant les priorités des opérations :
D'autres écritures conviennent, comme \(4 \times 4 \div (4 + 4) = 2\).
Calculer l'angle formé par les deux aiguilles de cette horloge, à \(3 \ \text{h} \ 30\).
L'angle vaut \(75 \ [°]\), et non \(90 \ [°]\).
Le cadran se partage en \(12\) heures : d'un nombre au suivant, l'angle vaut \(360 \div 12 = 30 \ [°]\). À \(3 \ \text{h} \ 30\), la grande aiguille est sur le \(6\), mais la petite a fait la moitié du chemin du \(3\) au \(4\). Elle est donc à \(2.5\) intervalles du \(6\) :
Sur une piste, Hugo fait un tour en \(4 \ \text{min}\), et Léa en \(6 \ \text{min}\). Ils partent ensemble de la ligne de départ.
Trouver au bout de combien de temps ils repasseront ensemble sur la ligne.
Ils repassent ensemble sur la ligne au bout de \(12 \ \text{min}\).
Leurs passages sur la ligne, en minutes :
Passage | 1er | 2e | 3e |
|---|---|---|---|
Hugo | \(4\) | \(8\) | \(12\) |
Léa | \(6\) | \(12\) | \(18\) |
\(12\) est le plus petit nombre qui soit à la fois un multiple de \(4\) et un multiple de \(6\) : Hugo a alors fait \(3\) tours, et Léa \(2\).
Calculer cette somme sans additionner les nombres un à un :
$$ 1 + 2 + 3 + \ldots + 98 + 99 + 100 $$La somme vaut \(5\,050\).
On range les nombres par paires, le premier avec le dernier, le deuxième avec l'avant-dernier, et ainsi de suite :
Les \(100\) nombres forment \(50\) paires, qui valent chacune \(101\) : \(50 \times 101 = 5\,050\). On prête cette astuce à Carl Friedrich Gauss, à neuf ans.
Suivre ce programme avec plusieurs nombres de départ :
Choisir un nombre.
Le multiplier par \(3\).
Ajouter \(6\).
Diviser le résultat par \(3\).
Retirer le nombre choisi.
Expliquer pourquoi on trouve toujours \(2\).
Le nombre choisi s'efface en route : il reste toujours \(2\).
En notant \(x\) le nombre choisi, le programme donne successivement :
Diviser \(3x + 6\) par \(3\) divise chacun de ses deux termes : on obtient \(x + 2\). Retirer ensuite \(x\) ne laisse que \(2\).
Les sommets de ce carré vert sont des nœuds du quadrillage.
Calculer son aire, en carreaux.
Le carré vert mesure \(10\) carreaux.
Il remplit le carré de \(4\) carreaux de côté qui l'entoure, moins quatre triangles rectangles. Chacun a des côtés de \(1\) et de \(3\) carreaux autour de l'angle droit, donc une aire de \(\frac{1 \times 3}{2} = 1.5\) carreau :
\(1 \star 3\) donne \(10\)
\(2 \star 3\) donne \(13\)
\(4 \star 1\) donne \(17\)
Trouver ce que donne \(5 \star 2\).
\(5 \star 2\) donne \(29\).
L'opération ajoute les carrés des deux nombres :
Pour \(5 \star 2\) : \(5^2 + 2^2 = 25 + 4 = 29\).
Une corde fait le tour de la Terre à l'équateur, bien tendue : environ \(40\,000 \ \text{km}\). On la rallonge de \(1 \ \text{m}\), puis on la soulève partout de la même hauteur \(h\).
Calculer \(h\) : un chat peut-il passer sous la corde ?
La corde se soulève d'environ \(16 \ \text{cm}\) : un chat passe dessous.
Autour d'un rayon \(R\), la corde mesure \(2\pi R\). Soulevée de \(h\) mètres, elle mesure un mètre de plus :
En développant, \(2\pi R + 2\pi h = 2\pi R + 1\), donc \(2\pi h = 1\) et \(h = \frac{1}{2\pi} \approx 0.16 \ \text{m}\).
Le rayon a disparu du calcul : autour d'une orange, la corde se soulèverait d'autant.
Une fourmi se trouve au coin \(A\) d'un cube de \(10 \ \text{cm}\) d'arête. Elle veut rejoindre le coin opposé \(G\) en marchant sur les faces.
Trouver le chemin le plus court et calculer sa longueur.
Il faut déplier deux faces : elles forment un rectangle de \(20 \ \text{cm}\) sur \(10 \ \text{cm}\), où le plus court chemin est la diagonale.
D'après le théorème de Pythagore, sa longueur \(\ell\) vérifie :
\(\ell = \sqrt{500} \approx 22.4 \ \text{cm}\). La fourmi passe par le milieu \(M\) de l'arête \(\bigl[BF\bigr]\) : elle bat le trajet par les arêtes, \(30 \ \text{cm}\), et la diagonale d'une face suivie d'une arête, environ \(24.1 \ \text{cm}\).
Une feuille de papier a une épaisseur de \(0.1 \ \text{mm}\). Chaque pliage en deux double son épaisseur.
Calculer l'épaisseur de la feuille après \(42\) pliages, puis la comparer à la distance de la Terre à la Lune, \(384\,400 \ \text{km}\).
Après \(42\) pliages, la feuille mesure \(0.1 \times 2^{42} \ \text{mm}\) : plus que la distance de la Terre à la Lune.
Comme \(2^{10} = 1\,024\), proche de \(10^3\), le produit \(2^{40}\) de quatre facteurs \(2^{10}\) est proche de \(10^{12}\) :
L'épaisseur vaut environ \(4 \times 10^{11} \ \text{mm}\), soit \(4 \times 10^{5} \ \text{km}\) : \(400\,000 \ \text{km}\). Le calcul exact donne environ \(439\,800 \ \text{km}\).
Sur cette balance en équilibre, une brique pèse autant qu'un poids de \(1 \ \text{kg}\) et une demi-brique.
Trouver la masse d'une brique.
Une brique pèse \(2 \ \text{kg}\).
Retirer une demi-brique de chaque plateau garde l'équilibre : il reste une demi-brique d'un côté, \(1 \ \text{kg}\) de l'autre. En notant \(x\) la masse d'une brique, en kilogrammes :
Donc \(\frac{x}{2} = 1\) et \(x = 2\).
Nina fait \(120 \ \text{km}\) en voiture pour aller chez sa grand-mère. À l'aller, elle roule à \(40 \ \text{km/h}\) ; au retour, à \(60 \ \text{km/h}\).
Calculer sa vitesse moyenne sur l'aller-retour.
Sa vitesse moyenne vaut \(48 \ \text{km/h}\), et non \(50 \ \text{km/h}\).
L'aller dure \(120 \div 40 = 3 \ \text{h}\).
Le retour dure \(120 \div 60 = 2 \ \text{h}\).
Nina parcourt \(240 \ \text{km}\) en \(5 \ \text{h}\) :
Elle roule plus longtemps à \(40 \ \text{km/h}\) qu'à \(60 \ \text{km/h}\) : la moyenne penche vers la vitesse la plus lente.
Trouver le chiffre des unités de \(7^{2026}\).
Le chiffre des unités de \(7^{2026}\) est \(9\).
Le chiffre des unités d'un produit ne dépend que de ceux des facteurs : il suffit de multiplier par \(7\) le chiffre des unités de la puissance précédente.
Puissance | Chiffre des unités |
|---|---|
\(7^1\) | \(7\) |
\(7^2\) | \(9\) |
\(7^3\) | \(3\) |
\(7^4\) | \(1\) |
\(7^5\) | \(7\) |
Les chiffres reviennent tous les \(4\) exposants. Or \(2026 = 4 \times 506 + 2\) : \(7^{2026}\) finit comme \(7^2 = 49\).
Dans une basse-cour, on compte \(35\) têtes et \(94\) pattes, de poules et de lapins.
Trouver le nombre de poules et le nombre de lapins.
Il y a \(23\) poules et \(12\) lapins.
Si les \(35\) animaux étaient des poules, ils auraient \(35 \times 2 = 70\) pattes. Il en manque \(94 - 70 = 24\). Un lapin a \(2\) pattes de plus qu'une poule : il y a donc \(24 \div 2 = 12\) lapins.
Une équation donne le même résultat. En notant \(x\) le nombre de lapins :
Elle donne \(70 + 2x = 94\), puis \(x = 12\). Vérification : \(23 \times 2 + 12 \times 4 = 46 + 48 = 94\).
Une corde porte \(13\) nœuds régulièrement espacés : ils la partagent en \(12\) intervalles égaux. Les bâtisseurs du Moyen Âge la tendaient en triangle, ses deux bouts réunis, pour tracer un angle droit.
Trouver ce triangle, puis justifier son angle droit.
Le triangle a des côtés de \(3\), de \(4\) et de \(5\) intervalles : \(3 + 4 + 5 = 12\).
Le plus grand côté mesure \(5\) intervalles. Or :
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle : l'angle droit est entre les côtés de \(3\) et de \(4\) intervalles.
Un bambou de \(10 \ \text{m}\) se casse sous le vent, sans se détacher. Son sommet touche le sol à \(3 \ \text{m}\) de son pied.
Calculer la hauteur à laquelle il s'est cassé.
Le bambou s'est cassé à \(4.55 \ \text{m}\) du sol.
La partie debout, la partie cassée et le sol forment un triangle rectangle. En notant \(x\) la hauteur de la cassure, en mètres, la partie cassée mesure \(10 - x\). D'après le théorème de Pythagore :
En développant, \(x^2 + 9 = 100 - 20x + x^2\), donc \(20x = 91\) et \(x = 4.55\).
Comparer ces deux nombres, sans les calculer :
$$ 2\,025 \times 2\,027 \quad \text{et} \quad 2\,026^2 $$\(2\,026^2\) est le plus grand, de \(1\) exactement.
Le produit s'écrit \((2\,026 - 1)(2\,026 + 1)\). D'après l'identité remarquable \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\) :
Au même instant, l'ombre d'un bâton de \(1 \ \text{m}\), planté droit, mesure \(1.6 \ \text{m}\), et l'ombre de la pyramide s'étend à \(234 \ \text{m}\) du centre de sa base.
Calculer la hauteur \(h\) de la pyramide.
La pyramide mesure \(146.25 \ \text{m}\) de haut.
Les rayons du soleil sont parallèles : le bâton et son ombre forment un triangle rectangle de même forme que celui de la hauteur de la pyramide et de son ombre, comptée depuis le centre de la base. Leurs côtés sont proportionnels :
Donc \(h = \frac{234}{1.6} = 146.25\). On raconte que Thalès mesura ainsi la pyramide de Khéops, haute d'environ \(146 \ \text{m}\) à l'origine.
Une marchande range ses œufs par paquets de \(2\), de \(3\), de \(4\), de \(5\) puis de \(6\) : il en reste chaque fois un. Par paquets de \(7\), il n'en reste aucun.
Trouver le plus petit nombre d'œufs possible.
La marchande a au moins \(301\) œufs.
Sans l'œuf qui reste, le nombre d'œufs est un multiple de \(2\), de \(3\), de \(4\), de \(5\) et de \(6\). Avec \(4 = 2^2\) et \(6 = 2 \times 3\), le plus petit de ces multiples communs est :
Le nombre d'œufs est donc un multiple de \(60\) augmenté de \(1\) : \(61\), \(121\), \(181\), \(241\), \(301\)... Le premier divisible par \(7\) est \(301 = 7 \times 43\).
Les deux figures sont faites des quatre mêmes pièces. Pourtant, la seconde laisse un carreau vide.
Expliquer d'où vient ce carreau.
Aucune des deux figures n'est un triangle : leur grand côté est cassé.
Le triangle rouge monte de \(3\) carreaux pour \(8\), le bleu de \(2\) pour \(5\) : des pentes de \(\frac{3}{8} = 0.375\) et de \(\frac{2}{5} = 0.4\), différentes. Avec \(O(0 \ ; \ 0)\), \(P(8 \ ; \ 3)\) et \(S(13 \ ; \ 5)\) :
Les points \(O\), \(P\) et \(S\) ne sont pas alignés. Le vrai triangle aurait une aire de \(\frac{13 \times 5}{2} = 32.5\) carreaux : la première figure, creusée, en couvre \(0.5\) de moins ; la seconde, bombée, \(0.5\) de plus. L'écart fait le carreau vide.
Une voiture se cache derrière l'une de trois portes, une chèvre derrière chacune des deux autres. Le joueur choisit une porte. L'animateur, qui sait où est la voiture, ouvre une autre porte, sur une chèvre, puis propose au joueur de changer.
Calculer la probabilité de gagner la voiture si le joueur garde sa porte, puis s'il en change.
Garder la porte gagne avec une probabilité de \(\frac{1}{3}\), en changer avec une probabilité de \(\frac{2}{3}\) : le joueur a intérêt à changer.
Voiture derrière | Garder la 1 | Changer |
|---|---|---|
la porte 1 | gagne | perd |
la porte 2 | perd | gagne |
la porte 3 | perd | gagne |
Le joueur a choisi la porte 1. Garder ne gagne que si la voiture y était, une fois sur trois. Les deux autres fois, l'animateur doit ouvrir la seule chèvre restante : la porte qu'il laisse fermée cache la voiture.
Quatre amis doivent traverser un pont, de nuit, avec une seule lampe. Le pont porte deux personnes au plus ; chaque traversée se fait avec la lampe, au pas du plus lent.
Anna traverse en \(1 \ \text{min}\).
Bruno traverse en \(2 \ \text{min}\).
Chloé traverse en \(5 \ \text{min}\).
David traverse en \(10 \ \text{min}\).
Faire passer les quatre amis en 17 minutes.
Traversée | Durée |
|---|---|
Anna et Bruno passent | \(2 \ \text{min}\) |
Anna revient avec la lampe | \(1 \ \text{min}\) |
Chloé et David passent | \(10 \ \text{min}\) |
Bruno revient avec la lampe | \(2 \ \text{min}\) |
Anna et Bruno passent | \(2 \ \text{min}\) |
\(2 + 1 + 10 + 2 + 2 = 17\). L'idée est de faire passer ensemble les deux plus lents : les \(5 \ \text{min}\) de Chloé se cachent dans les \(10 \ \text{min}\) de David. Si Anna accompagne chacun à son tour, il faut \(10 + 1 + 5 + 1 + 2 = 19 \ \text{min}\).
Deux articles coûtent le même prix. Le premier augmente de \(20 \ \%\), puis baisse de \(20 \ \%\). Le second baisse de \(20 \ \%\), puis augmente de \(20 \ \%\).
Comparer les deux prix d'arrivée au prix de départ.
Les deux articles finissent au même prix, \(4 \ \%\) moins cher qu'au départ.
Une hausse de \(20 \ \%\) multiplie le prix par \(1.2\), une baisse de \(20 \ \%\) par \(0.8\). Dans les deux ordres, le prix est multiplié par :
La baisse porte sur un prix déjà augmenté, la hausse sur un prix déjà baissé : elles ne se compensent pas.
Sur une île, les chevaliers disent toujours la vérité et les fripons mentent toujours. Un voyageur y rencontre Alice et Hugo. Alice déclare : « Nous sommes tous les deux des fripons. »
Trouver qui est chevalier et qui est fripon.
Alice est une friponne, Hugo un chevalier.
Si Alice était chevalier, elle dirait vrai et serait donc friponne : c'est impossible. Alice ment, et sa phrase est fausse : ils ne sont pas tous les deux fripons. Comme Alice l'est, Hugo est chevalier.
Un couloir compte \(100\) casiers fermés, numérotés de \(1\) à \(100\). Cent élèves passent l'un après l'autre. Le \(k\)-ième élève change l'état de chaque casier dont le numéro est un multiple de \(k\) : il ouvre ceux qui sont fermés, ferme ceux qui sont ouverts. Ainsi, le premier ouvre tous les casiers, et le deuxième ferme les casiers pairs.
Trouver les casiers qui restent ouverts à la fin.
Restent ouverts les \(10\) casiers dont le numéro est un carré parfait : \(1\), \(4\), \(9\), \(16\), \(25\), \(36\), \(49\), \(64\), \(81\) et \(100\).
Le casier \(n\) change d'état une fois pour chaque diviseur de \(n\) : il finit ouvert s'il a un nombre impair de diviseurs. Or les diviseurs vont par paires, \(d\) avec \(\frac{n}{d}\) :
Le casier \(12\) a \(6\) diviseurs : il finit fermé. Une paire ne se réduit à un seul nombre que si \(d = \frac{n}{d}\), c'est-à-dire \(n = d^2\). Ainsi \(36\) a pour diviseurs \(1\) et \(36\), \(2\) et \(18\), \(3\) et \(12\), \(4\) et \(9\), puis \(6\) seul : \(9\) diviseurs, et le casier finit ouvert.
Un moine part du pied d'une montagne à \(6 \ \text{h}\) et atteint le sommet à \(18 \ \text{h}\), à son rythme, avec des pauses. Le lendemain, il redescend par le même chemin, de \(6 \ \text{h}\) à \(18 \ \text{h}\), à un autre rythme.
Montrer qu'il passe au même endroit à la même heure les deux jours.
Il suffit d'imaginer les deux journées le même jour : un moine monte pendant qu'un autre descend, sur le même chemin. Ils finissent forcément par se croiser, à un endroit et à une heure précis.
Sur un graphique, la position du moine en fonction de l'heure donne deux courbes : la montée part du pied pour finir au sommet, la descente part du sommet pour finir au pied. Tracées sans lever le crayon, elles se coupent forcément : l'abscisse du point commun est l'heure cherchée.
Deux trains, à \(100 \ \text{km}\) l'un de l'autre, roulent l'un vers l'autre sur deux voies parallèles, chacun à \(50 \ \text{km/h}\). Une mouche part du premier à \(75 \ \text{km/h}\), touche le second, revient vers le premier, et fait ainsi des allers-retours jusqu'à ce que les trains se croisent.
Calculer la distance parcourue par la mouche.
La mouche parcourt \(75 \ \text{km}\).
Inutile d'additionner ses allers-retours, de plus en plus courts. Les trains se rapprochent de \(50 + 50 = 100 \ \text{km}\) par heure : ils se croisent au bout de \(1 \ \text{h}\). La mouche vole donc pendant \(1 \ \text{h}\), à \(75 \ \text{km/h}\).
Une maladie touche \(1 \ \%\) de la population. Un test de dépistage est positif chez \(99 \ \%\) des malades, mais aussi chez \(1 \ \%\) des personnes saines. Le test de Marc est positif.
Calculer la probabilité que Marc soit malade.
Marc n'a qu'une chance sur deux d'être malade : la probabilité vaut \(0.5\).
Sur \(10\,000\) personnes testées, \(100\) sont malades et \(9\,900\) saines :
Test | Positif | Négatif |
|---|---|---|
Malades | \(99\) | \(1\) |
Saines | \(99\) | \(9\,801\) |
Total | \(198\) | \(9\,802\) |
Parmi les \(198\) tests positifs, \(99\) seulement sont ceux de malades :
La maladie est rare : les erreurs du test chez les \(9\,900\) personnes saines sont aussi nombreuses que les malades repérés.
Dans un repère, un berger se trouve en \(A(1 \ ; \ 3)\). Il doit mener son troupeau boire à la rivière, le long de l'axe des abscisses, puis rentrer à sa bergerie, en \(B(7 \ ; \ 5)\).
Trouver le point \(M\) de la rivière qui rend le trajet le plus court, puis calculer sa longueur.
Le troupeau doit boire en \(M(3.25 \ ; \ 0)\) ; le trajet mesure alors \(10\) unités.
Soit \(B'(7 \ ; \ {-}5)\) le symétrique de \(B\) par rapport à l'axe des abscisses. Pour tout point \(M\) de la rivière, \(MB = MB'\) : le trajet \(AM + MB\) a la longueur de la ligne brisée \(AM + MB'\), la plus courte quand \(A\), \(M\) et \(B'\) sont alignés.
La droite \((AB')\) a pour coefficient directeur \(\frac{-5 - 3}{7 - 1} = -\frac{4}{3}\). Son équation réduite est :
Elle coupe l'axe des abscisses pour \(y = 0\), en \(x = \frac{13}{4} = 3.25\). Le trajet mesure alors :
Pour remercier l'inventeur des échecs, un roi lui promet un grain de riz sur la première case de l'échiquier, \(2\) sur la deuxième, \(4\) sur la troisième, et ainsi de suite, en doublant à chaque case jusqu'à la soixante-quatrième.
Calculer le nombre total de grains, puis estimer leur masse, à \(50\) grains par gramme.
Le roi doit \(2^{64} - 1\) grains, environ \(1.8 \times 10^{19}\) : quelque \(3.7 \times 10^{11}\) tonnes de riz.
Les nombres de grains forment une suite géométrique de premier terme \(1\) et de raison \(2\). Leur somme vaut :
À \(50\) grains par gramme, la masse vaut \(\frac{2^{64} - 1}{50} \approx 3.7 \times 10^{17} \ \text{g}\), soit \(3.7 \times 10^{11} \ \text{t}\) : des centaines d'années de la récolte mondiale de riz.
Avec \(100 \ \text{m}\) de grillage, Pierre veut fermer un enclos rectangulaire contre un mur, qui en forme un côté.
Trouver les dimensions de l'enclos le plus grand, puis calculer son aire.
L'enclos le plus grand mesure \(25 \ \text{m}\) de profondeur et \(50 \ \text{m}\) le long du mur : \(1\,250 \ \text{m}^2\).
Avec deux côtés de \(x\) mètres perpendiculaires au mur, il reste \(100 - 2x\) mètres pour le côté parallèle. L'aire vaut :
Le coefficient de \(x^2\) est négatif : ce trinôme atteint son maximum en \(x = -\frac{100}{2 \times (-2)} = 25\), où \(A(25) = 25 \times 50 = 1\,250\). Un enclos carré, d'environ \(33.3 \ \text{m}\) de côté, ne ferait qu'environ \(1\,111 \ \text{m}^2\).
Une famille a deux enfants, dont au moins une fille. Chaque enfant est une fille ou un garçon avec la même probabilité, indépendamment de l'autre.
Calculer la probabilité que les deux soient des filles.
La probabilité vaut \(\frac{1}{3}\), et non \(\frac{1}{2}\).
En notant \(F\) une fille et \(G\) un garçon, l'aîné en premier, les familles \(FF\), \(FG\), \(GF\) et \(GG\) ont chacune la probabilité \(\frac{1}{4}\). Soit \(A\) l'événement « au moins une fille », et \(B\) l'événement « deux filles » :
Savoir qu'il y a au moins une fille n'écarte que \(GG\) : il reste trois familles possibles, dont une seule a deux filles.
Une classe compte \(23\) élèves. On suppose les \(365\) jours de l'année équiprobables pour une naissance, et on oublie le \(29\) février.
Calculer la probabilité qu'au moins deux élèves soient nés le même jour de l'année.
La probabilité vaut environ \(0.507\) : plus d'une chance sur deux.
L'événement contraire dit que les \(23\) anniversaires sont tous différents. Les dates des \(23\) élèves forment une liste de \(23\) jours parmi \(365\) : il y a \(365^{23}\) listes possibles, dont \(365 \times 364 \times \ldots \times 343\) sans répétition. Ainsi :
Il y a \(\binom{23}{2} = 253\) paires d'élèves : autant d'occasions de partager une date.
Compter les chiffres de l'écriture décimale de \(2^{2026}\), sans la calculer.
On donne \(\frac{\ln 2}{\ln 10} \approx 0.30103\).
\(2^{2026}\) s'écrit avec \(610\) chiffres.
Un entier \(N\) s'écrit avec \(n\) chiffres quand \(10^{n-1} \leqslant N < 10^n\). La fonction \(\ln\) est strictement croissante :
En divisant par \(\ln 10\), qui est positif : \(n - 1 \leqslant 2026 \times \frac{\ln 2}{\ln 10} < n\). Or \(2026 \times 0.30103 \approx 609.89\) : \(n - 1 = 609\), donc \(n = 610\).
Une banque verse \(100 \ \%\) d'intérêts par an : \(1 \ \text{€}\) placé devient \(2 \ \text{€}\) au bout d'un an. Une deuxième verse \(50 \ \%\) tous les six mois, une troisième \(\frac{100}{12} \ \%\) tous les mois, chaque fois sur la somme déjà acquise.
Calculer ce que devient \(1 \ \text{€}\) en un an dans chaque banque, puis si les intérêts sont versés de plus en plus souvent.
Plus les versements sont fréquents, plus la somme grandit, mais elle ne dépasse jamais \(e \approx 2.72 \ \text{€}\).
Au bout d'un an, \(1 \ \text{€}\) devient :
dans la deuxième banque, \(1.5^2 = 2.25 \ \text{€}\) ;
dans la troisième, \(\left(1 + \frac{1}{12}\right)^{12} \approx 2.61 \ \text{€}\) ;
avec des intérêts versés chaque jour, \(\left(1 + \frac{1}{365}\right)^{365} \approx 2.71 \ \text{€}\).
Avec \(n\) versements par an, \(1 \ \text{€}\) devient \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e^{n \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)}\). En posant \(h = \frac{1}{n}\), l'exposant vaut \(\frac{\ln(1 + h)}{h}\), et :
C'est le nombre dérivé de \(\ln\) en \(1\). La somme tend donc vers \(e^1 = e \approx 2.718 \ \text{€}\). Jacques Bernoulli a posé ce problème en \(1683\).
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